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1、复 变 函 数（第四版）电 子 教 案刘素芳 邓卓燊 编写7/28/20241最新复变函数第1章第一章 复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念复变函数自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象: 解析函数复变函数论又称为解析函数论i 虚数单位 i 2 =1复数：z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 为实数实部：x = Re(z)虚部：y = Im(z)纯虚数：z = iy( y 0 )7/28/20242最新复变函数第1章2. 复数的代数运算(1) 加(减)法: (2) 乘法: 按多项式法则相乘z = 0x = y = 0z1= x1 + iy1 ,z2=
2、 x2 + iy2 ,z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2注意：任意两个复数不能比较大小.z1= x1 + iy1 ,z2= x2 + iy2 ,共轭复数：z1 z2 = ( x1 x2 ) + i ( y1 y2 )z1 z2 =( x1+ iy1 )( x2+ iy2 ) = ( x1 x2 y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 ) 7/28/20243最新复变函数第1章(3) 除法: 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质i)ii)iii)iv)7/28/20244最新复变函数第1章证例1解:P.4设 z1= 55i , z2= 3 +
3、4i , 求与7/28/20245最新复变函数第1章例2解:设求 Re(z), Im(z)与7/28/20246最新复变函数第1章2 复数的几何意义1. 复平面, 复数的其它表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1) z = x + iy点( x, y )( 几何表示法 )直角坐标平面 xoy复平面.x 实轴y 虚轴(2) z = x + iy( 向量表示法 )模由此:or7/28/20247最新复变函数第1章结论: 辐角: 辐角主值: (两边之和大于第三边)(两边之差小于第三边)( z 0 )无穷多个, 相差2k .k = 0, 1, 2, 当z = 0时, | z |
4、= 0 , 而辐角不确定. 7/28/20248最新复变函数第1章Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan 的主值arc tan 来确定:例:其中z = 3 + 3i(图示)7/28/20249最新复变函数第1章(3) 三角表示法(4) 指数表示法例由欧拉公式得求和的辐角主值.解:7/28/202410最新复变函数第1章例1解: 1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1) 2) (或 z 在第三象限 ) 三角式:指数式:书 P.77/28/202411最新复变函数第1章解: 2)例2. 见书 P.8 ( 自阅 )续上页例 1三角式:指数式:7/28/202412最新复变函数
5、第1章平面图形与复数形式方程例3通过两点 z1= x1+iy1与z2= x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1, y1), (x2, y2)的直线的参数方程得复数形式的参数方程解法二:如图,z z1与z2 z1共线即z2ozz17/28/202413最新复变函数第1章例4解: 1)解: 2)求下列方程所表示的曲线1) | z + i | = 2 ;2) | z 2i | = | z +2 | ;3)几何上看| z + i | = | z (i ) | = 2 :的距离为2的点轨迹, 即中心为(i ),半径为2的圆. 代数推导: 设 z = x + iy 则 | x + (y + 1)i
6、 | = 2x2 + (y + 1)2 = 4| z 2i | = | z +2 | 到点 2i 和2 距离连结2i 和2 的线段的垂直平分线.与点i相等的点轨迹 :| x +(y2)i | = | (x +2) + yi |x2 +(y2)2 = (x +2)2 + y2 y = x(见书P10 图1.5)7/28/202414最新复变函数第1章解: 3)问: 续上页例 41y = 4 y = 3| z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹?到定点 z = 3和 z = 1的距离和为常数 椭圆.(左焦点)(右焦点)7/28/202415最新复变函数第1章2. 复球面 任取一
7、与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极. 连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点与球面北极对应, 构成扩充复平面与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称为复球面.7/28/202416最新复变函数第1章规定:注:1.在高等数学中, 可以分为+和. 而在复 变函数中只有唯一的无穷远点. (这样才能 与复球面一一对应)2. 引入唯一无穷远点在理论上有重要意义. 可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复平面上, 直线可看成是一个圆. | | = +, + = + = = = = =
8、无特殊说明, 平面仍指有限平面.7/28/202417最新复变函数第1章3 复数的乘幂与方根1. 乘积与商(两端可能值相等,即集相等 )7/28/202418最新复变函数第1章几何意义:特别:z1z2 : z1 逆时针旋转一个角度arg z2 , 并伸长 | z1| 到 | z2| 倍.z2 顺时针旋转一个角度arg z1 ,并伸长i z1 对 z1 实行一次旋转变换, 旋转角 7/28/202419最新复变函数第1章例1方法一:已知正三角形的两个顶点为 z1= 1 与z2 = 2 + i , 求它的另一个顶点. 解:设 z3 = x + yi 7/28/202420最新复变函数第1章方法二:
9、类似可得续上页例 1(书P14 图1.8)Z3xy0Z1Z2Z3 /37/28/202421最新复变函数第1章2. 幂与根 棣莫弗(De Moivre)公式 z 的 n 次方根 :( n为负整数时亦成立)r = 1 :( k = 0, 1, 2, , n-1)为以原点为中心, 为半径的圆的内接正n 边形的 n 个顶点.7/28/202423最新复变函数第1章特别:补例1:1 的 n 次方根也叫 n 次单位根.1 的三次方根: x11 + x7 + x3 = x2 + x + 1解: x31 = (x1)(x2 + x + 1),而 x2 + x + 1 = 0故 x 是一个三次单位根. 从而
10、x11 = x9 x2 = x2 , x7 = x ,x3 =1 .= 0已知 x2 + x + 1 = 0 , 求 x11 + x7 + x3 的值.7/28/202424最新复变函数第1章补例2:证:求证易知比较虚部与实部, 即得所证. 7/28/202425最新复变函数第1章补例3:解:但(1 + z )5 = (1z )5 验证知 z1 .故原方程可写成:则 w5 = 1 .k = 0, 1, 2, 3, 4故原方程的根为:解方程7/28/202426最新复变函数第1章4 区域1. 区域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的邻域: |zzo|的全体点. (半径为的圆域)
11、模zo的去心邻域: 0 |zzo| M内点: zoG, zo的某个邻域属于G, zo为G的内点开集: 集内的每个点都是内点.连通集: 连接G内任意两点的折线也属于G.区域: 连通的开集.边界点: zo的任意一个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点. zo为边界点。闭区域: 区域 + 边界 = 边界可以是曲线, 也可以是孤立点. 7/28/202427最新复变函数第1章2. 单连通域与多连通域(1) 简单闭曲线:(2) 光滑曲线:设 z(t) = x(t) + i y(t)(atb)为复平面上一条连续曲线, ( x(t), y(t)连续)一条没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线, 如果简单曲
12、线的起点与终点重合, 称为简单闭曲线.简单曲线自身不相交( t1 t2z(t1) z(t2) )称为光滑曲线.(a t b)由几条光滑曲线依次连接而成的曲线, 称为按段光滑曲线.曲线 z = z(t) = x(t) + i y(t)7/28/202428最新复变函数第1章(3) 单连通域:从几何上看:特征: 若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G, 则称G为单连通域; 否则称为多连通域.单连通域即是无洞、无割痕的域.属于单连通域的任何一条简单闭曲线, 在域内可以经过连续变形而缩成一点. 常见曲线与区域:7/28/202429最新复变函数第1章常见曲线与区域:7/28/202430最新复变
13、函数第1章1. 定义 设 G 是复平面上的一个点集, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则,对于集合G中的每一个复数 z, 都有一个或几个复数w = u + i v 与之对应, 那么称复变数w 是复变数 z 的函数 (简称复变函数), 记作w = f (z) 单值: 一个 z 对应 w 的一个值.多值: 一个 z 对应 w 的两个或两个以上的值.5 复变函数7/28/202431最新复变函数第1章 一个复变函数确定了自变量为 x、y 的两个二元实变函数.例:z = x + y i ,w = f (z) = f (x + i y) = u + i v相当于两个关系式: u = u (x, y
14、),v = v (x, y).令 z = x + i y , w = u + i v 7/28/202432最新复变函数第1章例: 涉及四个变量 x、y、u、v , 故不能用一个平面, 也不能用三维空间中的几何图形表示. 反映 z 平面上的一个点集 G (定义集合)到 w平面上一个点集 G* (函数值集合)的一个映射.x2 + y21u2 + v21 几何意义:7/28/202433最新复变函数第1章代入法：已知将其写成关于 z = x + i y 的解析式.补例:解: 常用的方法有三种.7/28/202434最新复变函数第1章设零法：将式中项凑成 x iy 的组合设式中 y = 0, 得 f
15、 (x), 代回 f (z)最简单拼凑法：7/28/202435最新复变函数第1章Gz平面G*w平面z原象w象(映象)w = f (z)今后不再区分函数与映射(变换). 若 G 与 G* 的映射是一一对应, 则有逆映射 z = (w). 即 w = f (w), z = f (z).2. 映射的概念7/28/202436最新复变函数第1章(1) w = 关于实轴的一个对称映射 (将z与w重叠)象与映象是关于实轴对称的全同图形.例:7/28/202437最新复变函数第1章(2) w = z2z = x + y i w = u + i v , u = x2y2 ,v = 2xy.arg w = 2
16、arg z 辐角增大一倍.角形域角形域7/28/202438最新复变函数第1章z 平面:x2y2 = c1 ,2xy = c2(以 y = x 和坐标轴为渐近线的等轴双曲线)两族平行直线:u = c1 ,v = c2 .(图示见书 P24 图1.17 )7/28/202439最新复变函数第1章1. 函数的极限(1) 定义:(2) 几何意义w = f (z)在 zo的去心邻域 0 |zzo| 0, () 0, 使 0 |zzo| 时, 有| f (z)A | 0, 0, 当 0 | (x + i y) (xo + i yo ) | 时, | (u + i v) (uo + i vo ) | ,
17、| (uuo ) + i (vvo ) | . | uuo | , | vvo | 0, 0, | f (z)A| = | (uuo ) + i (vvo ) | | uuo | + | vvo |= 证: 充分性.7/28/202443最新复变函数第1章由此知：复变函数极限的定义，形式上与一 元实函数类似，实质上却相当于二元函数的极限。（导致导数概念的苛刻）例:7/28/202444最新复变函数第1章Th2.同样有基本式:如果则7/28/202445最新复变函数第1章证:证明函数当 z 0 时的极限不存在.它随 k 的不同而不同,例: 7/28/202446最新复变函数第1章当 z 沿不同射
18、线 arg z = 趋于零时, f (z) 趋于不同的值. 如,沿正实轴, f (z) 1 ;沿正虚轴, f (z) 0 ;另证:7/28/202447最新复变函数第1章Th3.Th4.(与实函数有类似的结论)定义:f (z)在 z = zo处连续.f (z)在D内连续f (z)在D内处处连续.f (z) = u + i v 在 zo =xo+ i yo连续u(x, y) 和 v(x, y)在( xo, yo)处连续.连续函数的和、差、积、商(分母不为0)及复合仍连续.注: 在连续点上2. 函数的连续性7/28/202448最新复变函数第1章解: 1)计算下列极限补例:7/28/202449最新复变函数第1章解: 2)7/28/202450最新复变函数第1章解: 3)7/28/202451最新复变函数第1章重点:难点:复数: 定义、表示法及运算.区域: 单连通域、多连通域; 简单曲线.复球面及无穷远点; 复变函数: 定义、极限、连续.复数表示法之间的转换、区域的确定、复变函数的概念.复球面概念, 复变函数理解为复平面上两个集合间的映射, 以及复变函数的极限与连续性.小 结7/28/202452最新复变函数第1章
