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1、4.1 4.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念 我们知道我们知道,对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,当当b2-4ac0时时,没有实数根没有实数根.这说明这说明,人们在研究代数方人们在研究代数方程的过程中程的过程中,限制实数集合限制实数集合,有些问题就无法解决有些问题就无法解决.因此因此,需要把实数集进一步扩充需要把实数集进一步扩充,这就是本章里我们将要学习这就是本章里我们将要学习的复数的知识的复数的知识. 复数是复数是16世纪人们在解决二次方程、三次方程时世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的引入的.大约经过了一个世纪大约经过了一个世纪,才逐步形
2、成完整的理论才逐步形成完整的理论.现在现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具. 复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,复复数也是初等数学的基础知识数也是初等数学的基础知识.知识引入知识引入知识引入知识引入 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考思考？ 我们知道我们知道，对于实系数一元二次方程对于实系数一元二次方
3、程ax2+bx+c=0，当当b b2 24 4acac00时，没有实数根。如果要解决这一问题，时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决其最根本的就是要解决 1 1的开平方问题，即怎样的一的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于个数，它的平方会等于1 1。 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i ，把把 i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：形如形如a+bi(a,b R)的数叫做复数的数叫做复数. . 全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母一般用字母C表示表示 . . （2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，
4、在进行进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率四则运算时，原有的加法与乘法的运算率( (包包括交换率、结合率和分配率括交换率、结合率和分配率) )仍然成立。仍然成立。（1）i2 1；讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课实部实部实部实部复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。复数集复数集C C和实数集和实数集R R之间有什么关系？之间有什么关系？讨论讨论？复数复数a+bi练一练练一练说出下列复数的实部与虚部.并指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?复数复数实部实部虚部虚部实数实数虚数虚数纯虚数纯
5、虚数42-3i0-6i例例1: 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 （1）实数？）实数？ （2）虚数？（）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习: :当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数(3)m=-2(3)m=-2(1)m=(1)m=(2)m(2)m 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相分别相等，那么我们就说这等，那么我们就说这
6、两个复数相等两个复数相等复数相等的定义：复数相等的定义： 由这个定义得到由这个定义得到 a+bi=0 . 一般地，两个复数只能说它们相等或不一般地，两个复数只能说它们相等或不相等，而不能比较大小。例如，相等，而不能比较大小。例如，1+i与与3+5i不能比较大小。不能比较大小。 当且仅当两个复数均为实数时，才能比较当且仅当两个复数均为实数时，才能比较大小。大小。例例2: 已知已知 ，其中其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得1 1、若、若x x，y y为实数，且为实数，且 求求x x，y.y.x=-3,y=4x=-3,y=42 2、若、若(2x(2x2 2
7、-3x-2)+(x-3x-2)+(x2 2-5x+6) -5x+6) =0=0，求，求x x的值的值. .x=2x=23、已知复数、已知复数x=1x=1在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实来表示实数数? ?想想一一想想？实数的几何意义实数的几何意义类比类比实数的表实数的表示，可以用什示，可以用什么来表示复数么来表示复数？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)一一 一对应一对应 回回忆忆复数的复数的一般形一般形式？式？Z=a+bi(a, bR)实部实部! !虚部虚部! !一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定？一确定？
8、根据复数相等的定义知，一个根据复数相等的定义知，一个复数由实部和虚部唯一确定复数由实部和虚部唯一确定.复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 这个建立了平面这个建立了平面直角坐标系来表示复直角坐标系来表示复数的平面数的平面x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 ( (简称简称复平面复平面) )一一对应一一对应z=a+bi复数的几何意义复数的几何意义复数复数z=a+bi复平面中的点复平面中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应复数的几何意义复数的几何意义注：
9、实轴上的点都表示实数，除原点外，注：实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数虚轴上的点都表示纯虚数.(A)(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。1 1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解2.2.已知复
10、数已知复数z=(mz=(m2 2 +m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所在表示复数的点所在象限的问题象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化( (几何问题几何问题) )( (代数问题代数问题) )一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解2.2.已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i
11、+m-2)i在复平面内所对在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 变式：证明对一切变式：证明对一切m m，此复数所对应的点不可能位于第四，此复数所对应的点不可能位于第四象限。象限。不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限. .实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义: :能能否否把把绝绝对对值值概概念念推推广广到到复复数范围呢？数范围呢？XOAa| | a a | = | OA | | = | OA |实实数数a a在在数数轴轴上上所所对对应应的的点点A A到原点到
12、原点O O的距离。的距离。z=a+bixOy复复数数的的绝绝对对值值( (复复数数的的模模) )的的几何意义几何意义: :复数复数 z=a+biz=a+bi在复平面上对应的在复平面上对应的点点Z(a,b)Z(a,b)到原点的距离。到原点的距离。Z Z ( (a a, ,b b) )复数的模复数的模复数的几何意义复数的几何意义 例例 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z(1)z1 1=-2i (2)z=-2i (2)z2 2=5-5i=5-5i(3)(3)上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？的图形？ 思考：思考：(2)(2)满足满足|
13、z|=5(zC)的的z值有几个？值有几个？(3)z(3)z4 4=1+mi(mR) (4)z=1+mi(mR) (4)z5 5=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0)(1)(1)复数的模能否比较大小？复数的模能否比较大小？例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解xO5 55555设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)2. 2. 复数：复数： 形如形如 a+bi (a,bR)的数的数3 .3 .两个复数相等的充要条件两个复数相等的充要条件4. 4. 两个复数两个复数（不全为实数）（不全为实数）不能比较大小。不能比较大小。a a实部实部b b虚部虚部a+bi=c+dia=cb=d（a，b
14、，c，d R）实数（实数（b=0）虚数虚数 (b0)纯虚数（纯虚数（a=0且且b0）非纯虚数（非纯虚数（a0,b0)i2 = -1复数复数小结:1.1. 数系的扩充数系的扩充: :自然数集自然数集(N)整数集整数集(Z)有理数集有理数集(Q)复数集复数集(C)实数集实数集(R)复数复数z=a+bi复平面中的点复平面中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应5.5. 复数的几何意义：复数的几何意义：表示复数表示复数 z=a+bi在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离到原点的距离，即，即复数的绝对值复数的绝对值( (复数的模复数的模) )的几何意义的几何意义: :
