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1、第2课时绝对值不等式1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.(1)含绝对值不等式的解法：设 a0，|f(x)|aaf(x)af(x)a.(2)理解绝对值的几何意义：|a|b|ab|a|b|.1.(2015 年新课标)不等式 x|2x3|2的解集是_.A2.(2015 年山东)不等式|x1|x5|1 的解集.图 10-4-1解：(1)如图 D104.图 D104【规律方法】形如
2、|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设 ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb|xa(xb)|ab|.图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.【互动探究】1.(2015 年新课标)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求实数 a的取值范围.解：(1)当 a1 时，不等式 f(x)1 化为|x1|2|x1|1，考点
3、 2 绝对值的几何意义例 3：(2018 年新课标)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求实数 a 的取值范围.可得f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立.故 f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4，可得 a6 或 a2，所以实数 a 的取值范围是(，62，).【规律方法】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件.对|ab|a|b|，当且仅当ab0 时，等号成立；对|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|，且 ab0 时左边等号成立，当且仅
4、当 ab0 时右边等号成立.【互动探究】2.(2016 年新课标)已知函数 f(x)|2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求实数a 的取值范围.解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26，得1x3.因此，f(x)6 的解集为x|1x3.(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解；当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以实数 a 的取
5、值范围是2，).考点 3 绝对值不等式中的恒成立问题例 4：(2018 年新课标)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求实数 a 的取值范围.解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，(2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|1 成立.若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；综上所述，实数 a 的取值范围为(0,2.【互动探究】3.已知f(x)|2x3a2|.(1)当 a0 时，求不等式 f(x)|x2|3 的解集；(2)对于任意实数 x，不等式|2x1
6、|f(x)2a 成立，求实数 a的取值范围.解：(1)当 a0 时，f(x)|x2|2x|x2|3，(2)对于任意实数x，不等式|2x1|f(x)2a成立，即|2x1|2x3a2|2a恒成立.因为|2x1|2x3a2|2x12x3a2|3a21|，所以原不等式恒成立只需|3a21|2a.当a0时，无解；难点突破绝对值不等式中的存在性问题例题：已知函数 f(x)3|xa|3x1|，g(x)|4x1|x2|.(1)求不等式 g(x)6 的解集；(2)若存在x1，x2R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求实数 a 的取值范围.【互动探究】4.已知函数 f(x)|x1|x3|.(1)解不等式 f(x)8；(2)若不等式f(x)a23a的解集不是空集，求实数a的取值范围.当x1时，由2x28，解得x3.不等式f(x)8的解集为x|x5，或x3.(2)f(x)|x1|x3|4，f(x)min4.又不等式f(x)4.a4或a1.即实数a的取值范围是(，1)(4，).
