《理论力学课件第十二章动能定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学课件第十二章动能定理（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二章第十二章动动 能能 定定 理理12-1 12-1 力的功力的功 一、一、常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功元功元功记记1.1.重力的功重力的功质点系质点系由由重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。得得三、几种常见力的功三、几种常见力的功质点质点2.2.弹性力的功弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数k( (N/m) )弹性力的功为弹性力的功为得得即即弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关3. 3. 定轴转动刚物体上作用力的功定轴转动刚物体上作用力的功则则若若 常量常量由由从角从角 转动到角
2、转动到角 过程中力过程中力 的功为的功为4. 4. 任意运动刚体上力系的功任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。的代数和。 对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有系中所有力所作元功的和，有平面运动刚体平面运动刚体说明说明:1
3、.:1.对任何运动的刚体对任何运动的刚体, ,上述结论都适用上述结论都适用; ; 2.2.C点不是质心点不是质心, ,而是刚体上任意一点时而是刚体上任意一点时, ,上述结论也成立上述结论也成立 3. 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 当质心由当质心由 , ,转角由转角由 时时, ,力系的功为力系的功为思考：已知已知: :均质圆盘均质圆盘R ,m ,F =常量常量, ,且很大且很大, ,使使O 向右运动向右运动, , f , 初静止初静止。 求求: O 走过走过S 路程时力的功。路程时力的功。 例例12-112-1 F 重力，摩擦力
4、，法向约束力都不作功，只有力重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，作功，将力将力F向质心简化，得向质心简化，得解：解：CFSPFNF12-2 12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能2.2.质点系的动能质点系的动能1.1.质点的动能质点的动能（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能 即即 （2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能 即即 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和的动能之和. .得得速度瞬心为速度瞬心为P（3 3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能 对于任意质点系（可以是非刚体）的任意
5、运动，质点系对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。平移坐标系运动的动能之和。将将 两端点乘两端点乘 , ,12-3 12-3 动能定理动能定理1.1.质点的动能定理质点的动能定理因此因此得得质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中在质点运动的某个过程中, ,质点动能的改变量等于作用质点动能的改变量等于作用于
6、质点的力作的功于质点的力作的功. .2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和. . 由由得得质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中质点系在某一段运动过程中, ,起点和终点的动能改变量起点和终点的动能改变量, ,等于等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和. .3.3.理想约束及内力的功理想约束及内力的功 光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔光滑固定
7、面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零索等约束的约束力作功等于零. .称约束力作功等于零的约束为称约束力作功等于零的约束为理想约束理想约束. .对理想约束对理想约束, ,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可. .内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零. .当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？思考：思考：为什么？已知已知: :m, h, k, 其它质量不计其它质量不计. .求求: : 例例12-212-2 解解: :已知：轮已知：轮O ：R1 ，m1 1 , ,质量分布在轮
8、缘上质量分布在轮缘上; ; 均质轮均质轮C ：R2 2 ， m2 2 ，纯滚动，纯滚动, , 初始静止初始静止 ; ; , ,M 为常力偶。为常力偶。求求: :轮心轮心C 走过路程走过路程s 时的速度和加速度时的速度和加速度例例12-312-3轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解解:式式(a)(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t 求导求导, ,得得求求: :冲断试件需用的能量。冲断试件需用的能量。已知已知: :冲击试验机冲击试验机m=18kg, l=840mm, , 杆重不计，在杆重不计，在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至例例12-412-4
9、得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为解解: :冲击韧度：冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。衡量材料抵抗冲击能力的指标。 例例12-512-5已知已知: :均质圆盘均质圆盘R ,m ,F=常量常量, ,且很大且很大, ,使使O 向右运动向右运动, , f , ,初静止。初静止。 求求: :O 走过走过S 路程时路程时， 。圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C 解解: :将式将式( (a) )两端对两端对t t 求导求导, ,并利用并利用得得已知已知: , : , 均质均质; ;杆杆m 均质均质, , = =l , , M= =常量常量, ,纯滚动纯滚动, ,处于水处于水平面内平面内, ,初
10、始静止初始静止. . 例例12-612-6求求: : 转过转过角的角的研究整个系统研究整个系统解解: :求导得求导得注意注意: :轮轮、接触点接触点C是理想约束是理想约束, ,其摩擦力其摩擦力Fs尽管在尽管在空间是移动的空间是移动的, ,但作用于速度瞬心但作用于速度瞬心, ,故不作功故不作功. .已知已知: :均质杆均质杆OB= =AB= =l, , m，在铅垂面内在铅垂面内; ;M= =常量常量, ,初始静止初始静止, , 不计摩擦不计摩擦. . 求求: :当当A 运动到运动到O点时点时, ,例例12-712-7解解: :提问：提问：是否可以利用求导求此瞬时的角加速度？是否可以利用求导求此瞬
11、时的角加速度？ 12-4 12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率 1.1.功率功率：单位时间力所作的功单位时间力所作的功. .即即: :功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. . 由由 , ,得得作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为单位单位W（瓦特）（瓦特）, ,1 1W=1=1J/S2.2.功率方程功率方程功率方程功率方程: :即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数, ,等于作用于质点等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和系的所有力的功率的代数和. .或或车床车床3.3.机械效率机械效率机械效率机械效
12、率 有效功率有效功率 多级传动系统多级传动系统 例例12-8 12-8 求求: :切削力切削力F的最大值。的最大值。已知已知: :解解: :当当时时已知已知 : :m ，l0 ，k ， R ， J。求求: :系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。例例12-9 12-9 解解: :令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg= =k , ,以平衡位置为原点以平衡位置为原点12-5 12-5 势力场势力场. .势能势能. .机械能守恒定律机械能守恒定律 1.1.势力场势力场势力场势力场( (保守力场保守力场) ): :力的功只与力作用点的始、末位置有关力的功只与力作用点的始、末位置有关, , 与路
13、径无关与路径无关. . 力场力场 : :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由 所在位置确定的力的作用所在位置确定的力的作用. .势力场中势力场中, ,物体所受的力为有势力物体所受的力为有势力. .2.2.势能势能 在势力场中在势力场中, ,质点从点质点从点M运动到任意位置运动到任意位置M0,有势力所作有势力所作的功为质点在点的功为质点在点M相对于相对于M0的势能的势能. .（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能 称势能零点称势能零点 （3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能取零势能点在无穷
14、远取零势能点在无穷远 质点系质点系重力场重力场（4 4）质点系受到多个有势力作用）质点系受到多个有势力作用质点系的零势能位置质点系的零势能位置: :各质点都处于其零势能点的一组位置各质点都处于其零势能点的一组位置. .质点系的势能质点系的势能: :质点系从某位置到其零势能位置的运动过程质点系从某位置到其零势能位置的运动过程 中中, ,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能. .已知已知: :均质杆均质杆 l ,m , ,弹簧刚度系数弹簧刚度系数 k , , AB 水平时平衡，弹水平时平衡，弹 簧变形为簧变形为 . .举例举例: :求求: :杆有
15、微小摆角时系统势能杆有微小摆角时系统势能. . 重力以杆的水平位置为零势能位置重力以杆的水平位置为零势能位置, ,弹簧以自然位置弹簧以自然位置O为为 零势能位置零势能位置: :取杆平衡位置为零势能点取杆平衡位置为零势能点: :即即质点系在势力场中运动质点系在势力场中运动, ,有势力功为有势力功为 对于不同的零势能位置对于不同的零势能位置, ,系统的势能是不同的系统的势能是不同的. .3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律 由由 质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时, ,机械能守恒机械能守恒. .此此类系统称类系统称保守系统保守系统. .得得机械能机械能: :质点系在某瞬时
16、动能和势能的代数和质点系在某瞬时动能和势能的代数和. .质点系仅在有势力作用下质点系仅在有势力作用下, ,有有非保守系统的机械能是不守恒的非保守系统的机械能是不守恒的. .已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k=3.35 N/m . 求求: : 轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力. .例例12-10 12-10 卡住前卡住前 卡住后卡住后 解解: :得得即即由由 有有取水平位置为零势能位置取水平位置为零势能位置已知：已知：m, , k，水平位置平衡水平位置平衡 ，OD=CD=b。初角初角速速 度为度为 。求：角速度与求
17、：角速度与 角的关系。角的关系。解解:例例12-11 12-11 4. 4. 势力场的其他性质：势力场的其他性质：(1)(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标 的偏导数冠以负号。的偏导数冠以负号。 （2 2）势能相等的点构成等势能面）势能相等的点构成等势能面 。 （3 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。系统有多个有势力作用系统有多个有势力作用 等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。 12-6 12-6 普遍定理的综
18、合应用普遍定理的综合应用动量、动量矩动量、动量矩 动能动能矢量，有大小方向矢量，有大小方向内力不能使之改变内力不能使之改变只有外力能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点当外力对定点O 或质心的主矩为零或质心的主矩为零时，系统对定点或者质心的动量矩时，系统对定点或者质心的动量矩守恒。守恒。动量定理描述质心的运动变化动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的动量矩定理描述绕质心
19、或绕定点的运动变化。运动变化。非负的标量，与方向无关非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能内力作功时可以改变动能理想约束不影响动能理想约束不影响动能在保守系统中，机械能守恒在保守系统中，机械能守恒动能定理描述质心运动及相对质动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。心运动中动能的变化。已知已知: :均质圆轮均质圆轮 m, , r, , R , ,纯滚动纯滚动. .求求: :轮心轮心的运动微分方程的运动微分方程. .例例1 1解解: :本题也可用机械能守恒定律求解本题也可用机械能守恒定律求解. .得得已知已知: :两均质轮两均质轮m , ,R ; ; 物块物块m , ,纯滚动纯滚动,
20、 ,于弹簧原长处无于弹簧原长处无 初速释放，轮与地面间无滑动初速释放，轮与地面间无滑动. .求求: :重物下降重物下降h 时时, ,v，a 及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力. .例例2 2解解: :（a）将式（将式（a a）对）对t t 求导求导得得其中其中已知已知: : l, m，地面光滑地面光滑. .求求: :杆由铅直倒下杆由铅直倒下, ,刚到达地面时的角速度和地面约束力刚到达地面时的角速度和地面约束力. .例例3 3解解: :时时(a)(b)(b)(c(c) )已知已知: :轮轮I:I:r, m1 ; 轮轮III:III:r, m3 ; 轮轮II:II:R=2r, m2 ; 压力
21、角（即压力角（即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为2020度度, ,物块物块: :mA ;在在轮轮I I 上作用有力偶上作用有力偶M ，摩擦力不计摩擦力不计. .求求: :O1 , O2处的约束力处的约束力. .例例4 4其中其中解解: :其中其中研究研究I I轮轮压力角为压力角为研究物块研究物块A研究研究IIII轮轮例例5 5已知：塔轮质量已知：塔轮质量 ，大半径，大半径 ，小半径，小半径 ，对轮心，对轮心C的回转半径的回转半径 ，质心，质心在几何中心在几何中心C。小半径上缠绕无重细绳，绳水平拉出后。小半径上缠绕无重细绳，绳水平拉出后绕过无重滑轮绕过
22、无重滑轮B悬挂一质量为悬挂一质量为 的重物的重物A。求：求：（1）若塔轮和水平地面间为纯滚动，）若塔轮和水平地面间为纯滚动，C点加速度，点加速度，绳张力，摩擦力为多少；绳张力，摩擦力为多少；（2）纯滚动条件；）纯滚动条件；（3）若静滑动摩擦因数为）若静滑动摩擦因数为0.2，动滑动摩擦因数为，动滑动摩擦因数为0.18，绳张力为多少？绳张力为多少？CRBAPr解：解：（1）以整体为研究对象，其受力如图所示）以整体为研究对象，其受力如图所示其中：其中： 力的功力的功函数式函数式两端对时间求导得两端对时间求导得研究重物研究重物A，受力如图所示，受力如图所示研究塔轮，受力如图所示研究塔轮，受力如图所示（2）静摩擦因数（3）塔轮连滚带滑运动）塔轮连滚带滑运动研究重物研究重物A和塔轮，受力如图所示和塔轮，受力如图所示由加速度基点法由加速度基点法向水平方向投影向水平方向投影
