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1、第七章 频域处理 第七章 频域处理 7.1 频域世界与频域变换频域世界与频域变换 7.2 傅立叶变换傅立叶变换 7.3 频域变换的一般表达式频域变换的一般表达式 7.4 离散余弦变换离散余弦变换 7.5 频率域图像增强处理频率域图像增强处理7.6 小波变换简介小波变换简介 第七章 频域处理 7.1 7.1 频域世界与频域变换频域世界与频域变换 任意波形可分解为正弦波任意波形可分解为正弦波(余弦波余弦波)的加权和的加权和 第七章 频域处理 第七章 频域处理 正弦波的振幅正弦波的振幅A和相位和相位 第七章 频域处理 波形的频域表示波形的频域表示( (a) a) 幅频特性；幅频特性； ( (b) b
2、) 相频特性相频特性 第七章 频域处理 空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下： 为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法:完成这种变换，一般采用的方法是完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换线性正交变换。 第七章 频域处理 为什么选择正交变换？为什么选择正交变换？ 变换后能量更加集中，相关性大大减少；变换后能量更加集中，相关性大大减少； 若若X到到Y为正变换，则由为正变换，则由Y到到X反变换一定存在；反变换一定存在； A-1=AT，计算简单；计算简单； 是线性变换，变换前后能量不变。是线性
3、变换，变换前后能量不变。第七章 频域处理 7.2 7.2 傅傅 立立 叶叶 变变 换换（Fourier TransformFourier Transform） 7.2.1 背景介绍背景介绍 傅立叶傅立叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768-1830 )法国伟大的数学家，主要贡献法国伟大的数学家，主要贡献： 傅立叶级数：任何周期函数傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦都可以表示为不同频率的正弦和和/或余弦和的形式。或余弦和的形式。 傅立叶变换：非周期的任意傅立叶变换：非周期的任意函数也可以用正弦和函数也可以用正弦和/或余弦或余弦乘以加权函数的积分来
4、表示。乘以加权函数的积分来表示。第七章 频域处理 7.2.2 连续函数的傅立叶变换连续函数的傅立叶变换 若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。维信号的重要手段。 当一个一维信号当一个一维信号f(x)满足满足狄里赫莱条件狄里赫莱条件，即，即f(x) （1） 具有有限个间断点；具有有限个间断点； （2） 具
5、有有限个极值点；具有有限个极值点； （3） 绝对可积。绝对可积。 第七章 频域处理 则则其其傅傅立立叶叶变变换换对对（傅傅立立叶叶变变换换和和逆逆变变换换）一一定定存存在在。在在实实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。际应用中，这些条件一般总是可以满足的。 一维傅立叶变换对的定义为一维傅立叶变换对的定义为 式中：式中： ，x称为时域变量，称为时域变量，u称为频域变量。称为频域变量。 第七章 频域处理 以以上上一一维维傅傅立立叶叶变变换换可可以以很很容容易易地地推推广广到到二二维维，如如果果二二维函数维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，满足狄里赫莱条件，则它的则它的二维傅立叶变换对为二维傅立
6、叶变换对为 式中：式中：x, y为时域变量；为时域变量；u, v为频域变量。为频域变量。 第七章 频域处理 7.2.3 离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（Discrete Fourier TransformDFT) 设设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为为一一维维信信号号f(x)的的N个抽样，个抽样， 其其一维离散傅立叶变换对一维离散傅立叶变换对为为 式中：式中：x，u=0， 1， 2， , N1。 第七章 频域处理 通常傅立叶变换为复数形式，通常傅立叶变换为复数形式， 即即 式中，式中，R(u)和和I(u)分别是分别是F(u)的实部和虚部。的实部和虚部。其中其中
7、|F(u)|f(x)的的频谱频谱或或傅立叶幅度谱；傅立叶幅度谱； (u) f(x)的的相位谱相位谱；E(u) 能量谱能量谱或或功率谱。功率谱。第七章 频域处理 二维离散傅立叶变换对二维离散傅立叶变换对定义为定义为 式式中中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1。 二二维离散函数的维离散函数的傅立叶频谱傅立叶频谱、 相位谱相位谱和和能量谱能量谱分别为分别为 第七章 频域处理 xf(x0)=f(x0+f(x0)=f(x0+ x)x)012312347.2.4 离散傅立叶变换的计算与显示离散傅立叶变换的计算与显示例一：例一：第七章 频域处理 F(0) = 1
8、/4f(x)exp0F(0) = 1/4f(x)exp0= 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)= 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)= 1/4(2 + 3 + 4 + 4)= 1/4(2 + 3 + 4 + 4)= 3.25= 3.25F(1) = 1/4f(x)exp-j2x/4)F(1) = 1/4f(x)exp-j2x/4)= 1/4(2e= 1/4(2e0 0 + 3e + 3e j2/4 j2/4 + 4e + 4e j22/4 j22/4 + 4e + 4e j23/4 j23/4) )= 1/4(-2 + j)= 1/4(-2 +
9、j)F(2) = -1/4(1 + j) F(3) = -1/4(2 + j)F(2) = -1/4(1 + j) F(3) = -1/4(2 + j)第七章 频域处理 1616的图像原始灰度值的图像原始灰度值例例 二：二：第七章 频域处理 傅立叶变换后的频谱傅立叶变换后的频谱幅度值幅度值第七章 频域处理 对对傅立叶变换计算结果的讨论与分析：傅立叶变换计算结果的讨论与分析： 为什么说傅立叶变换是线性正交变换？为什么说傅立叶变换是线性正交变换？ 傅立叶变换后傅立叶变换后F(0,0)代表什么含义？代表什么含义？ 傅立叶变换后高频和低频分量怎样分布，各自傅立叶变换后高频和低频分量怎样分布，各自幅度值
10、有何特点？幅度值有何特点？ 为什么说傅立叶变换后能量更加集中，图像中为什么说傅立叶变换后能量更加集中，图像中的大部分能量集中在高频还是低频？的大部分能量集中在高频还是低频？第七章 频域处理 傅立叶变换结果示意图傅立叶变换结果示意图原图像原图像DFT1频移频移22223333132333DFT的频谱分布的频谱分布1 直流成分直流成分 2 低频成分低频成分 3 高频成分高频成分第七章 频域处理 离散傅立叶变换的显示离散傅立叶变换的显示:通过傅立叶变换模来显示傅立叶变换图象。由于通过傅立叶变换模来显示傅立叶变换图象。由于模的值域大于显示的值域，因此要进行动态值域模的值域大于显示的值域，因此要进行动态
11、值域的压缩的压缩 D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|)其中：其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|)第七章 频域处理 原图原图傅立叶变换后的图傅立叶变换后的图第七章 频域处理 频移后的图频移后的图第七章 频域处理 细节较少图片的傅立叶变换细节较少图片的傅立叶变换第七章 频域处理 细节中等图片的傅立叶变换细节中等图片的傅立叶变换第七章 频域处理 细节较多图片的傅立叶变换细节较多图片的傅立叶变换第七章 频域处理 7.2.5 离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质 第七章 频域处理 第七章 频域处理 1. 可分离性可分离性 一一个个二
12、二维维傅傅立立叶叶变变换换可可分分解解为为两两步步进进行行，其其中中每每一一步步都都是是一个一维傅立叶变换。一个一维傅立叶变换。 M-1 N-1 F(u,v)=1/MN f(x,y)e(-j2 vy/N) e(-j2 ux/M) x=0 y=0u = 0, 1, 2, M-1; v = 0, 1, 2, .N-1 M-1 N-1 f(x,y)= F(u,v)e(j2 vy/N) e(j2 ux/M) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, .N-1; y = 0, 1, 2, .N-1第七章 频域处理 先对行做变换：先对行做变换：（0，0）然后对列进行变换然后对列进行变换：f(x,y)（N-
13、1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv第七章 频域处理 2. 平移性质平移性质 只只要要将将f(x, y)乘乘以以因因子子(1)x+y，再再进进行行离离散散傅傅立立叶叶变变换换，即即可可将将图图像像的的频频谱谱原原点点（0，0）移移动动到到图图像像中中心心（M2, N2）处。处。 傅立叶频谱平移示意图傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱平移后的傅立叶频谱 (a) (b) (c) 第七章 频域处理 傅立叶变
14、换是线性系统的函数变换，设：傅立叶变换是线性系统的函数变换，设：f(x,y) 的傅立叶变换为的傅立叶变换为Ff(x,y)g(x,y)的傅立叶变换为的傅立叶变换为Fg(x,y) 有：有：Ff(x,y)+g(x,y) = Ff(x,y)+Fg(x,y) 3. 线性线性第七章 频域处理 4. 周期性周期性 DFT和它的逆变换是以和它的逆变换是以N为周期的：为周期的： 对于一维傅立叶变换有：对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有：对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N)第七章 频域处理 傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数：傅立叶变
15、换结果是以原点为中心的共轭对称函数： 对于一维傅立叶变换有：对于一维傅立叶变换有： F(u) = F*(-u) 对于二维傅立叶变换有：对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F*(-u ,-v)5. 共轭对称性共轭对称性第七章 频域处理 6. 旋转不变性旋转不变性 如如果果时时域域中中离离散散函函数数旋旋转转0角角度度，则则在在变变换换域域中中该该离离散散傅傅立叶变立叶变换函数也将旋转同样的角度。换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性离散傅立叶变换的旋转不变性（a） 原始图像原始图像（b） 原始图像的傅立叶频谱；原始图像的傅立叶频谱；（c） 旋转旋转45后的图像；后的图像；（d
16、） 图像旋转后的傅立叶频谱。图像旋转后的傅立叶频谱。 (a)(b)(d)(c)第七章 频域处理 相似性的描述：相似性的描述：a f(x,y) a F(u,v) 且有且有： f(ax,by) 1/|ab|F(u/a,v/b) 7. 相似性相似性第七章 频域处理 卷积定理的描述：卷积定理的描述：空域中的卷积等价于频域中的相乘。空域中的卷积等价于频域中的相乘。 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) Ff(x,y)*g(x,y) = F(u,v)G(u,v) 同时有：同时有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v)8. 卷积的性质卷积的性质第七章 频域处理 本本 次次 授授 课课 结结 束束 谢谢 谢谢 ！
