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1、2.3.1等比数列的概念目标导航预习引导目标导航预习引导1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(公比q0),定义的表达式为_.预习预习交流交流1常数列一定是等比数列吗?提示:不一定.当常数列为非零常数列时,此数列为等比数列,否则不是.目标导航预习引导2.等比中项若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,即G2=ab.等比数列中,除首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项,即=an-1an+1.预习预习交流交流2若G2=ab,则a,G,b一定成等比
2、数列吗?提示:不一定.若G=0,且a,b中至少有一个为0时,构不成等比数列,只有a,G,b全不为0时才构成等比数列.目标导航预习引导预习预习交流交流3(1)已知等比数列的前三项为a,2,4,则该数列的首项为,公比q=.(3)下面有四个结论:由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;常数列b,b一定为等比数列;等比数列an中,若公比q=1,则此数列各项相等;等比数列中,各项与公比都不能为零.其中正确的结论是(填序号).提示:(1)12(2)1(3)一二三思路分析:根据等比数列的定义判断. 一二三一二三答案:解析:an为等差数列,an+1-an=d(常数).一二三2.已知数列a
3、n满足a1=1,an+1=2an+1.证明数列an+1是等比数列.证明:因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+10,从而an+10.所以数列an+1是等比数列.一二三名师点津名师点津1.要判断或证明一个数列是等比数列,主要方法是用定义法.2.已知数列的递推关系证明或求通项公式,一般要根据递推关系式的特点进行变形,变成我们熟知的等差数列或等比数列的形式解决.本题是通过递推关系式两边都加1的变形,证出数列an+1成等比数列,注意转化思想的应用.一二三二、等比中项问题活动与探究例2(1)等差数列an中,公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则等于多少?(2
4、)若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值.思路分析:利用等比中项的概念G2=ab建立等量关系求解.一二三迁移与应用1.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.一二三2.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z成等比数列.证明:设等差数列a,b,c的公差为d(d0),则b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d,代入已知条件式,得-d(logmx-2logmy+logmz)=0.d0,logmx-2logmy+lo
5、gmz=0.logmy2=logm(xz).y2=xz.由题设知x,y,z均不为0,x,y,z成等比数列.一二三名师点津名师点津1.在利用等比中项公式确定等比数列中某一项时,一定要注意符号的取舍,如求等比数列-1,x,-4,-2n-1,中的x值,利用等比中项公式,则x2=(-1)(-4),即x=2,因为x0,所以x=-2.2.“等比中项法”判断一个数列为等比数列,若在数列an中,有an0,且,则数列an为等比数列.一二三三、等比数列的判定与证明活动与探究例3已知数列an的前n项和Sn=2-an,求证:数列an是等比数列.思路分析:要证明an是等比数列,根据定义,只要证明(q为常数,q0)即可.
6、因此可以由Sn=2-an变形转化进行证明.一二三迁移与应用1.已知数列an满足:lgan=3n+5,试用定义证明an是等比数列.2.已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2.求证:an是等比数列.证明:当n=1时,a1=S1=22-2=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n;当n=1时,也满足.an=2n(nN*).一二三名师点津名师点津判断一个数列是否是等比数列的技巧利用定义法来判断数列是否是等比数列需从以下三个方面把握:(1)从第二项起;(2)每一项与前一项的比;(3)同一个常数,即(q为常数且不为零)an为等比数列.234511.已知1,a,4成等比数列
7、,则a=()A.2B.-2C.2D.16答案:C解析:由已知a2=4,得a=2.234512.等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于()A.-24B.0C.12 D.24答案:A解析:由x,3x+3,6x+6成等比数列,得(3x+3)2=x(6x+6),解得:x=-3或x=-1(不合题意,舍去).则该等比数列的前三项为-3,-6,-12.可得第四项为-24,故选A.23451234514.在2和30之间插入两个正数,使前3个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两数依次是、.答案:618解析:设插入的两个数依次为a,b,234515.在数列an中,an=73n,求证:数列an是等比数列.
