《上海大学高等数学环与域》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海大学高等数学环与域（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海大学上海大学- -高等数学高等数学- -环与环与域域环的定义环的定义定义定义14.24设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果如果满足以下条件满足以下条件:(1)构成交换群，构成交换群，(2)构成半群，构成半群，(3)运算关于运算关于+运算适合分配律，运算适合分配律，则称则称是一个是一个环环.为了叙述的方便，通常称为了叙述的方便，通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环运算为环中的中的乘法乘法.环中加法单位元记作环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在），乘法单位元（如果存在）记作记作1.对任何元素对任何元素x，称，称x的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作
2、，记作 x.若若x存在乘法逆元的话，则称之为存在乘法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.因此在环中因此在环中写写x y意味着意味着x+( y).2环的实例环的实例例例1(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环，有理数环Q，实，实数环数环R和复数环和复数环C.(2)n（n2）阶实矩阵集合）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和关于矩阵的加法和乘法构成环，称为乘法构成环，称为n阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)设设Z0,1,.,n 1， 和和 分别表示模分别表示模n的加
3、法和乘的加法和乘法，则法，则构成环，称为模构成环，称为模n的整数环的整数环.3环的性质环的性质定理定理14.11设设是环，则是环，则(1) aR，a0=0a=0(2) a,bR，( a)b=a( b)= ab(3) a,b,cR，a(b c)=ab ac，(b c)a=ba ca(4) a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR（n,m2）例例2在环中计算在环中计算(a+b)3,(a b)2解解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(a b)2=(a b)(a b)=a2 ba ab+b2
4、4子环子环定义定义14.25设设R是环，是环，S是是R的非空子集的非空子集.若若S关于环关于环R的加法的加法和乘法也构成一个环，则称和乘法也构成一个环，则称S为为R的的子环子环.若若S是是R的子环，的子环，且且S R，则称，则称S是是R的的真子环真子环.例如整数环例如整数环Z，有理数环，有理数环Q都是实数环都是实数环R的真子环的真子环.0和和R也也是实数环是实数环R的子环，称为平凡子环的子环，称为平凡子环.定理定理14.12(子环判定定理子环判定定理)设设R是环是环,S是是R的非空子集的非空子集,若若(1) a,bS，a bS(2) a,bS，abS则则S 是是R 的子环的子环.5实例实例例例
5、3(1)整数环整数环，对于任意给定的自然数，对于任意给定的自然数n，nZ =nz |zZ 是是Z的非空子集，根据判定定理，容易验证的非空子集，根据判定定理，容易验证nZ是整数环是整数环的子环的子环.(2)考虑模考虑模6整数环整数环，0,0,3,0,2,4,Z6是是它的子环它的子环.其中其中0和和Z6是平凡的，其余的都是非平凡的是平凡的，其余的都是非平凡的真子环真子环.6环同态环同态定义定义14.26设设R1和和R2是环是环.f :R1R2,若对于任意的若对于任意的x,yR1有有f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)成立，则称成立，则称f 是环是环R1到到R2的同态映射，
6、简称的同态映射，简称环同态环同态.例例4设设R1=是整数环，是整数环，R2=是模是模n的整数环的整数环.令令f :ZZn，f(x)=xmodn，则，则 x,yZ有有f(x+y)=(x+y)modn=xmodn ymodn=f(x) f(y)f(xy)=(xy)modn=xmodn ymodn=f(x) f(y)f 是是R1到到R2的同态，是满同态的同态，是满同态.7特殊的环特殊的环定义定义14.27设设是环，是环，(1)若环中乘法若环中乘法适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环.(2)若环中乘法若环中乘法存在单位元，则称存在单位元，则称R是是含幺环含幺环.(3)若若 a,bR，ab
7、=0a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环.(4)若若R既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称R是是整环整环.零因子的实例：在模零因子的实例：在模6整数环中，有整数环中，有3 2=0，而，而3和和2都不是都不是乘法的零元乘法的零元.这时称这时称3为左零因子，为左零因子，2为右零因子为右零因子.这种含有这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环左零因子和右零因子的环就不是无零因子环.8实例实例例例5(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是都是交换环、含幺环、无零因子环和整环交换环、含幺环、无零因子
8、环和整环.(2)令令2Z=2z|zZ，则，则构成交换环和无零因子构成交换环和无零因子环环.但不是含幺环和整环但不是含幺环和整环.(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加关于矩阵加法法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环因子环和整环.可以证明对于一般的可以证明对于一般的n,Zn是整环当且仅当是整环当且仅当n是素数是素数.9域域定义定义14.28设设R是整环，且是整环，且R中至
9、少含有两个元素中至少含有两个元素.若若 aR*,其中其中R*=R 0，都有，都有a 1R，则称，则称R是是域域.例如有理数集例如有理数集Q、实数集、实数集R、复数集、复数集C关于普通的加法和关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为乘法都构成域，分别称为有理数域有理数域、实数域实数域和和复数域复数域.整数环整数环Z是整环，而不是域是整环，而不是域.对于模对于模n的整数环的整数环Zn，若，若n是素数，那么是素数，那么Zn是域是域.10实例实例(2)不是环不是环,关于加法不封闭关于加法不封闭.例例6 6 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. . 如果不
10、构成如果不构成, , 说明理由说明理由. . (1)A=a+bi|a,bQ,其中其中i2= 1, 1, 运算为复数加法和运算为复数加法和 乘法乘法. .(2)A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法. .(3)A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法. .(4)A=x|x0xZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法. .(5), 运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.解解(1)是环是环,是整环是整环,也是域也是域.(3)是环是环,不是整环和域不是整环和域,乘法没有单位元乘法没有单位元.(5)不是环不是环,关于乘法不封闭关于乘法不封闭.(4)不是环不是
11、环,A关于加法不构成群关于加法不构成群.11格与布尔代数格与布尔代数格的定义格的定义格的性质格的性质格的等价定义格的等价定义子格与格的同态子格与格的同态特殊的格特殊的格布尔代数的性质布尔代数的性质布尔代数的同态与同构布尔代数的同态与同构12格的定义格的定义定义定义14.29设设是偏序集，如果是偏序集，如果 x,y S，x,y都有都有最小上界和最大下界，则称最小上界和最大下界，则称S关于偏序关于偏序 作成一个作成一个格格.由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求x,y的最的最小上界和最大下界看成小上界和最大下界看成x与与y 的二元运算的二元运算和和，即，即
12、xy 和和xy 分别表示分别表示x与与y的最小上界和最大下界的最小上界和最大下界.注意：这里出现的注意：这里出现的和和符号只代表格中的运算，而不符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义再有其他的含义.13实例实例例例7设设n是正整数，是正整数，Sn是是n的正因子的集合的正因子的集合.D为整除关系，为整除关系，则偏序集则偏序集构成格构成格. x,ySn，xy是是lcm(x,y)，即，即x与与y的最小公倍数；的最小公倍数；xy是是gcd(x,y)，即，即x与与y 的最大公约数的最大公约数.实例：实例：14实例实例(续续)例例8判断下列偏序集是否构成格，并说明理由判断下列偏序集是否构成格，并说明理由
13、.(1)，其中，其中P(B)是集合是集合B的幂集的幂集.(2)，其中，其中Z是整数集，是整数集，为小于或等于关系为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别给下图偏序集的哈斯图分别给下图解解:(1),(2)是格，是格，(3)中的都不是格中的都不是格.15格的性质格的性质对偶原理对偶原理定义定义14.30设设f 是含有格中元素以及符号是含有格中元素以及符号=, , ,和和的命的命题题.令令f*是将是将f 中的中的 替换成替换成 、 替换成替换成 、替换成替换成、替换成替换成所得到的命题所得到的命题.称称f*为为f 的的对偶命题对偶命题.例如在格中令例如在格中令f 是是(ab)c c,f*是是(ab
14、)c c.那么那么f 与与f*互为对偶命题互为对偶命题.格的对偶原理格的对偶原理设设f 是含有格中元素以及符号是含有格中元素以及符号=、 、 、和和等的命题，若等的命题，若f 对一切格为真对一切格为真,则则f 的对偶命题的对偶命题f*也对一也对一切格为真切格为真.例如例如,对一切格对一切格L命题命题“ a,bL,ab a”都成立都成立.根据对偶根据对偶原理，对一切格原理，对一切格L，命题，命题“ a,bL,ab a”也为真也为真.16格的性质格的性质算律算律定理定理14.13设设是格是格,则运算则运算和和适合交换律、结适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即合律、幂等律和吸收律，即(1) a,b
15、L有有ab=ba 和和ab=ba(2) a,b,cL有有(ab)c=a(bc)和和(ab)c=a(bc)(3) aL有有aa=a和和aa=a(4) a,bL有有a(ab)=a 和和a(ab)=a17证明证明只证只证(1)和和(2).根据对偶原理，只证其中一个等式即可根据对偶原理，只证其中一个等式即可.(1) ab是是a,b的最小上界，的最小上界，ba是是b,a的最小上界的最小上界.由于由于a,b=b,a,所以所以ab=ba.(1)由最小上界定义有下述不等式：由最小上界定义有下述不等式：(2)(ab)c ab a(3)(ab)c ab b(4)(ab)c c(5)由式由式和和1.(ab)c bc
16、2.由式由式和和有有(ab)c a(bc).3.同理可证同理可证(ab)c a(bc).4.根据偏序的反对称性得根据偏序的反对称性得(ab)c=a(bc).18定理定理定理定理14.14设设是具有两个二元运算的代数系统，是具有两个二元运算的代数系统，若若*和和 运算满足交换、结合、吸收律，则可以适当运算满足交换、结合、吸收律，则可以适当定义定义S 上偏序上偏序 ，使得，使得构成格，且构成格，且导出导出的代数系统就是的代数系统就是.证明思路证明思路(1)利用运算利用运算 或或*定义定义S 上的二元关系上的二元关系R(2)证明证明R 为为S 上的偏序，证明上的偏序，证明构成格构成格(3)(2)证明
17、对于格中任意两个元素证明对于格中任意两个元素x,yx y =x y,x y =x*y19格的等价定义格的等价定义定义定义14.31设设是具有两个二元运算的代数系统，是具有两个二元运算的代数系统，如果如果 , 满足交换、结合、吸收律，则称满足交换、结合、吸收律，则称是格是格.实例：实例： x,y,z Sn,gcd(x,y)=gcd(y,x),lcm(x,y)=lcm(y,x)gcd(x,gcd(y,z)=gcd(gcd(x,y),z)lcm(x,lcm(y,z)=lcm(lcm(x,y),z)gcd(x,lcm(x,y)=x,lcm(x,gcd(x,y)=x定义定义x|ylcm(x,y)=y与与
18、是同一个格是同一个格20格的子格与格同态格的子格与格同态定义定义14.32 L的的子格子格：L的非空子集的非空子集S，且，且S关于关于L中中 和和 运算运算封闭封闭.注意：对于子格元素，在原来格中求最大下界和最小上界注意：对于子格元素，在原来格中求最大下界和最小上界.例如例如G的子群格的子群格L(G)是格，但一定不是是格，但一定不是P(G)的子格的子格.实例：实例：Klein四元群四元群G=e, a, b, c，L(G)=,G P(G)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,e,a,b,e,a,c,e,b,c,a,b,c,G 在在P(G)中中, =e,a,b，在，在L(G)中，中， =G定义定
19、义14.33设设 f:L1L2，若，若 x,y L1，有，有f(x y)=f(x) f(y)，f(x y)=f(x) f(y)则称则称f 为为L1到到L2的的同态同态.21特殊的格特殊的格分配格分配格有补格有补格布尔格布尔格22分配格分配格定义定义14.34设设L为格，若为格，若 a, b, c L有有a (b c)=(a b) (a c)a (b c)=(a b) (a c)则则L 为为分配格分配格.注：在任何格中两个分配不等式是等价的注：在任何格中两个分配不等式是等价的.例如例如a (b c)=(a b) (a c)a (b c)=(a b) (a c)证证(a b) (a c)=(a b
20、) a) (a b) c) 对对 的分配律的分配律=a (a c) (b c)吸收律、吸收律、 对对 的分配律的分配律=(a (a c) (b c)结合律结合律= a (b c)吸收律吸收律23实例实例例例9指出下图中哪些格是分配格？指出下图中哪些格是分配格？解解L1和和L2是分配格是分配格,L3和和L4不是分配格不是分配格.在在L3中有中有b(cd)=be=b，(bc)(bd)=aa=a在在L4中有中有c(bd)=ca=c，(cb)(cd)=ed=d称称L3为为钻石格钻石格,L4为为五角格五角格.这两个这两个5元格在分配格的元格在分配格的判别中有着重要的意义判别中有着重要的意义.24分配格的
21、判别定理分配格的判别定理定理定理14.15设设L是格是格,则则L是分配格当且仅当是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角不含有与钻石格或五角格同构的子格格同构的子格.定理定理14.16格格L是分配格当且仅当是分配格当且仅当 a,b,cL有有ab=ac 且且ab=ac b=c.25分配格的判别实例分配格的判别实例L1不是分配格不是分配格,含有与钻石格同构的子格含有与钻石格同构的子格.L2和和L3不是分配格不是分配格,含有与五角格同构的子格含有与五角格同构的子格.例例10 判别下图中的格否为分配格判别下图中的格否为分配格. .在在L1中有中有db=dc且且db=dc,但是但是b c. 在在L2中，中
22、，ce=cb且且ce=cb,但是但是e b.在在L3中，中，dc=dg且且dc=dg,但是但是c g.26有界格有界格定义定义14.35 设设L是格是格,若存在若存在aL使得使得 xL有有a x,则称则称a为为L的的全下界全下界；若存在；若存在bL使得使得 xL有有x b,则称则称b为为L的的全上界全上界.L若存在全下界或全上界若存在全下界或全上界,一定是惟一的一定是惟一的.一般将格一般将格L的全下界的全下界记为记为0,全上界记为全上界记为1.定义定义14.36设设L是格是格,若若L存在全下界和全上界存在全下界和全上界,则称则称L为为有界格有界格,有界格有界格L记为记为.实例：有限格实例：有限
23、格L=a1,a2,an是有界格是有界格,其中其中a1a2an是是L的全下界的全下界,a1a2an是是L的全上界的全上界.幂集格幂集格P(B)是有界格，即使它是无穷集合是有界格，即使它是无穷集合.27补元补元定义定义14.37设设是有界格是有界格,aL,若存在若存在bL使得使得ab=0和和ab=1成立成立,则称则称b 是是a 的的补元补元.对于有界格，补元的分布情况：对于有界格，补元的分布情况：0与与1互为补元互为补元,它们都只有惟一的补元它们都只有惟一的补元.有的元素有补元有的元素有补元,可能存在多个补元可能存在多个补元.有的元素没有补元有的元素没有补元.28实例实例解解L1中中a与与c互补互
24、补,b没有补元没有补元.例例11考虑以下四个格考虑以下四个格.求出所有元素的补元求出所有元素的补元.L2中中a与与d互补互补,b与与c互补互补.L3中中a与与e互补互补,b的补元的补元c,d;c的补元的补元b,d;d的补元的补元b,c. L4中中a与与e互补互补,b的补元的补元c,d;c的补元的补元b;d 的补元的补元b.29补元的性质与有补格补元的性质与有补格定理定理14.17设设是有界分配格是有界分配格.若若L中元中元素素a存在补元存在补元,则存在惟一的补元则存在惟一的补元.证明证明假设假设b,c 是是a 的补元的补元,则有则有 ac=1,ac=0,ab=1,ab=0从而得到从而得到ac=
25、ab,ac=ab,由于由于L是分配格是分配格,因此有因此有b=c.定义定义14.38设设是有界格是有界格,若若L中所有元中所有元素都有补元存在素都有补元存在,则称则称L为为有补格有补格.30布尔代数的定义布尔代数的定义定义定义14.39如果一个格是有补分配格如果一个格是有补分配格,则称它为则称它为布尔格布尔格或或布尔代数布尔代数.在布尔代数中，如果一个元素存在补元在布尔代数中，如果一个元素存在补元,则是惟一的则是惟一的.可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算.通常通常将布尔代数标记为将布尔代数标记为,其中其中 为求补运算为求补运算.实例幂集格实
26、例幂集格P(B)是布尔代数是布尔代数.31布尔代数的性质布尔代数的性质.定理定理14.18设设是布尔代数，则是布尔代数，则(1) aB,(a ) =a(2) a,bB,(ab) =a b ,(ab) =a b 证明：证明：(1)(a ) 与与a 都是都是a 的补元的补元.由补元的惟一性得由补元的惟一性得(a ) =a.(2)对任意对任意a,bB有有(ab)(a b )=(aa b )(ba b )=(1b )(a 1)=11=1(ab)(a b )=(aba )(abb )=(0b)(a0)=00=0所以所以a b 是是ab的补元的补元,由补元惟一性有由补元惟一性有(ab) =a b .同理可
27、证同理可证(ab) =a b .德摩根律可以推广到有限个元素，即德摩根律可以推广到有限个元素，即32布尔代数的等价定义布尔代数的等价定义定义定义14.40设设是代数系统是代数系统, 和和 是二元运算是二元运算.若若 和和 运算满足：运算满足：(1)交换律交换律,即即 a,bB有有a b=b a,a b=b a(2)分配律分配律,即即 a,b,cB有有a (b c)=(a b) (a c),a (b c)=(a b) (a c)(3)同一律同一律,即存在即存在0,1B,使得使得 aB有有a 1=a,a 0=a(4)补元律补元律,即即 aB,存在存在a B使得使得 a a =0,a a =1则称则
28、称是一个布尔代数是一个布尔代数.可以证明，布尔代数的两种定义是等价的可以证明，布尔代数的两种定义是等价的.33布尔代数的同态布尔代数的同态定义定义14.41设设和和是两个布尔代数是两个布尔代数.这里的这里的, 泛指布尔代数泛指布尔代数B2中的求最大下界中的求最大下界,最小上界和补元最小上界和补元的运算的运算.和和E分别是分别是B2的全下界和全上界的全下界和全上界.f :B1B2.如果对于任意的如果对于任意的a,bB1有有f(ab)=f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b)f(a )= f(a)成立，则称成立，则称f 是布尔代数是布尔代数B1到到B2的的同态映射同态映射.34有限布尔代数的结构有限布尔代数的结构有关布尔代数同构的一个重要结果涉及到有限布尔代有关布尔代数同构的一个重要结果涉及到有限布尔代数的结构数的结构.可以证明任何有限布尔代数都与某个幂集格同构。因可以证明任何有限布尔代数都与某个幂集格同构。因此，任何有限布尔代数的元素个数都是此，任何有限布尔代数的元素个数都是2n,其中其中n是某个自是某个自然数。然数。下图给出了下图给出了1元元,2元元,4元元和和8元的布尔代数元的布尔代数.35
