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1、第四讲 曲面及其方程曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面如果曲面如果曲面S与方程与方程F( (x, ,y, ,z)=)=0有下述关系有下述关系: :(1) (1) 曲面曲面S上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程; ;则则F( (x, ,y, ,z)=0)=0叫做曲面叫做曲面S S的方程的方程 曲面曲面S S叫做方程叫做方程F( (x, ,y, ,z)=0)=0的图形的图形. .两个基本问题两个基本问题(1) (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几
2、何轨迹时, ,(2) (2) 不在曲面不在曲面S上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程, ,求曲面方程求曲面方程. .(2) (2) 已知方程时已知方程时, ,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( (必要时需作图必要时需作图). ). 概念概念求动点到定点求动点到定点距离为距离为R的轨迹方程的轨迹方程u例例1 1u例例2 2 求到两定点求到两定点A(1,2,3)A(1,2,3)和和B(2,-1,4)B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程等距离的点的轨迹方程. .u例例3 3 研究方程研究方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三
3、、柱面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面一条平面曲线绕其平面上一条平面曲线绕其平面上所形成的曲面所形成的曲面. .旋转曲线旋转曲线概念概念母线母线定直线定直线轴轴一条定直线旋转一周一条定直线旋转一周旋转曲面的方程旋转曲面的方程给定给定yoz面上曲线面上曲线C: : 在曲线在曲线C上任取一点上任取一点M1(0,y1,z1) f (y1,z1)=0 曲线曲线C绕绕z轴旋转轴旋转M (x,y,z) z坐标不变坐标不变 z=z1点点M到到z轴的距离轴的距离不变不变 当曲线当曲线C: :f ( (y, ,z)=0)=0绕绕y轴旋转，方程为轴旋转，方程为
4、: :yoz面上曲线面上曲线C: : 绕绕z轴旋转曲面方程轴旋转曲面方程 方程的特点方程的特点 在在中中z不变不变y变为变为类似地类似地建立顶点在原点建立顶点在原点, , 旋转轴为旋转轴为z z轴轴, ,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程. . 例例4 4例例5 5注注 锥面方程特征锥面方程特征 齐次方程齐次方程 求坐标面求坐标面xoz上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕x轴和轴和z z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. . 绕绕x轴旋转轴旋转绕绕y轴旋转轴旋转旋转双曲面旋转双曲面 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面曲面及其
5、方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面方程方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面. .在在xoy面上，面上，表示圆表示圆C, , 在空间在空间过过M1 1作作平行平行z轴的直线轴的直线l, ,表示表示在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足方程其上所有点的坐标都满足方程,引例引例分析分析沿曲线沿曲线C平行平行 z 轴的直线形成的曲面轴的直线形成的曲面方程方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面. .在在xoy面上，面上，表示圆表示圆C, , 在空间在空间过过M1 1作作平行平行z轴的直线轴的直线l, ,表示表示在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足方
6、程其上所有点的坐标都满足方程,引例引例分析分析沿曲线沿曲线C平行平行 z 轴的直线形成的曲面轴的直线形成的曲面平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线l形成的轨迹形成的轨迹叫做柱面叫做柱面. . C叫做准线叫做准线, ,l叫做母线叫做母线. .概念概念圆柱面圆柱面准线准线:xoy面上的圆面上的圆母线母线:平行于平行于z轴轴抛物柱面抛物柱面母线平行于母线平行于z轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.母线平行于母线平行于z轴轴方程特点方程特点椭圆柱面椭圆柱面方程中缺少坐标方程中缺少坐标;缺少哪个坐标缺少哪个坐标,母线平行哪一坐标轴母线平行哪一坐标轴;准线为准线为
7、xoy 面上的椭圆面上的椭圆.平面平面母线平行于母线平行于z轴轴准线为准线为xoy 面上的直线面上的直线.一般地一般地,在空间在空间柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. 母线母线曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法研究
8、二次曲面特性的基本方法: 二次曲面的基本类型二次曲面的基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面. (二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )截痕法截痕法 1. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线 .可以证明可以证明, 椭圆椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上上任一点与原点的连线均在曲面上.2. 椭球面椭球面(1) 范围：范围：(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆椭圆(3) 当当 ab 时为旋转椭球面时为旋转椭球面; 当当abc
9、时为球面时为球面.3. 双曲面双曲面(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时时, 截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线: 虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）时时, 截痕为截痕为时时, 截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;相交直线相交直线: 双曲线双曲线: (2) 双叶双曲面双叶双曲面双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线双曲线单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面4. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面椭圆抛物面( p , q 同号同号)特别特别,当当 p = q 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 同号)
