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1、优选法与试验优选法与试验 设计初步设计初步简简 介介普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 选修选修4-7 优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法。试验设计也是一种数学方法，一般来说，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案。 本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选法和多因素的正交试验设计方法，并对方法给予简单的说明，帮助学生理解这些方法的基本思想，并能思考和解决一些简单的实际问题。内容与要求1.1.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活
2、中存在着大量的优选问题。生活中存在着大量的优选问题。2.2.通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数通过分析和解决具体实际问题，使学生掌握分数法、法、0.6180.618法及其适用范围，可以利用计算机（或法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法计算器）进行试验，并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。解决一些实际问题，体会优选的思想方法。3.3.了解斐波那契数列了解斐波那契数列 F Fn n ，理解在试验次数确定的情，理解在试验次数确定的情况下分数发最佳性的证明，通过连分数知道况下分数发最佳性的证明，通过连分数知道 F Fn-1n
3、-1/ /F Fn n和黄金分割的关系。和黄金分割的关系。4.4.通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。理方法。5.5.通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法。思想方法。内容与要求6.通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。7.通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分析，理
4、解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。8.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题的整体结构和内容的理解，对试验设计方法及其意义的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对某些内容、某些结果和应用进行拓展和深入。（3）对本专题的感受、体会、看法。说明与建议：1.本专题要求学生掌握一些优选的方法，尽管没有给予严格的数学证明，目的是让学生理解这些方法的思想和实质。2.作为一门应用课程，有条件的地方应让学生用所学的方法亲自做一些试验，以便更好地掌握这些方法。3.使学生认识
5、到，应根据问题的具体情况讨论采用何种方法更为有效，并要与具体问题的专业知识相结合。同时，要能比较不同方法的利弊和适用范围。优选法与试验设计初步第一讲 优选法第二讲 试验设计初步优选法第一讲第一讲 优选法优选法一一 什么叫优选法什么叫优选法二二 单峰函数单峰函数三三 黄金分割法黄金分割法0.6180.618法法四四 分数法分数法五五 其他几种常用优选法其他几种常用优选法六六 多因素方法多因素方法第二讲 试验设计初步一 正交试验设计法二 正交试验的应用本专题知识框架优选法试验设计初步单因素双因素单峰情形多峰情形多因素正交试验设计0.618法分数法对分法纵横对折法单峰情形从好点出发法平行线法双因素盲
6、人爬山法分批试验法盲人爬山法课时分配教学时间约为18课时，分配如下：第一讲 优选法 约10课时第二讲 试验设计初步 约6课时学习总结报告 约2课时第一讲 优选法优选法的概念单峰函数黄金分割法0.618法分数法其他几种常用的优选法多因素方法教学重点与难点重点： 单因素问题的0.618法和分数法。难点： 1.认识0.618法和分数法的原理； 2.认识分数法的最优性。什么叫优选法最优化问题最优化问题为了使某些目标（如产量、质量或经济指标等）达到为了使某些目标（如产量、质量或经济指标等）达到最好的结果（如高产、优质、低消耗），就要找出使最好的结果（如高产、优质、低消耗），就要找出使此目标达到最优的有关
7、因素（或变量）的某些值。这此目标达到最优的有关因素（或变量）的某些值。这类问题在数学上称为最优化问题。类问题在数学上称为最优化问题。近代解决最优化问题的方法，大致分为两大类：近代解决最优化问题的方法，大致分为两大类：一类是间接最优化（或称解析最优化）方法，另一类一类是间接最优化（或称解析最优化）方法，另一类是直接最优化（或称试验最优化）。所谓间接最优化是直接最优化（或称试验最优化）。所谓间接最优化方法，就是要求把所研究的对象（如物理或化学过程）方法，就是要求把所研究的对象（如物理或化学过程）用数学方程描述出来，然后再用数学解析方法求出起用数学方程描述出来，然后再用数学解析方法求出起最优解。对于
8、研究对象很难用数学形式来表达，或者最优解。对于研究对象很难用数学形式来表达，或者表达式很复杂，只能直接通过试验，根据试验结果的表达式很复杂，只能直接通过试验，根据试验结果的比较而求得最优解，就是直接最优化方法。比较而求得最优解，就是直接最优化方法。什么叫优选法本书介绍的优选法都是直接最优化方法。它是以数本书介绍的优选法都是直接最优化方法。它是以数学原理为指导，用尽可能少的试验次数，迅速求得学原理为指导，用尽可能少的试验次数，迅速求得最优解的方法。最优解的方法。在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称低消
9、耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题，称为选优问题。择问题，称为选优问题。优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。找到最佳点的科学试验方法。20世纪世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果。得了可喜
10、的成果。编写意图与教学建议 1.什么叫优选法引言中的两个问题中的商品价格竞猜游戏，蒸馒头为“什么叫优选法” 作铺垫。主要涉及几个感念：最佳点优选问题优选法 三个概念相互联系，只有了解了前面的概念才能了解后面的概念，教科书正是以这种顺序循序渐进地提出它们的。编写意图与教学建议试验一词的理解。试验一词的理解。多举优选问题的实例，如电饭锅做米饭，蒸馒头，多举优选问题的实例，如电饭锅做米饭，蒸馒头，查电路断点，商品定价等，帮助学生了解优选问查电路断点，商品定价等，帮助学生了解优选问题广泛存在，优选法大有用武之地，并形成对试题广泛存在，优选法大有用武之地，并形成对试验的广义理解。验的广义理解。关于探求池
11、塘最深点的例子，在假设关于探求池塘最深点的例子，在假设“池塘底部池塘底部的高低变化犹如一个倒过来的单峰小山的高低变化犹如一个倒过来的单峰小山”的前提的前提下，利用双因素方法，以下，利用双因素方法，以1m为试验区间的条件下为试验区间的条件下得出的结论。并建议在本讲第六个问题得出的结论。并建议在本讲第六个问题“多因素多因素方法方法”的学习中，能回顾这个问题，让学生自己的学习中，能回顾这个问题，让学生自己讨论如何解决它。讨论如何解决它。（二）单峰函数炮弹飞行问题引入这是一个有具体表达式的优选问题图1-1图1-2（二）单峰函数单峰函数的定义中注意的两个要点：单峰函数的定义中注意的两个要点：f(x)在在
12、 a,b 上只有唯一的最大（小）值点上只有唯一的最大（小）值点C; ;f(x)在在 a,C 上递增（减），在上递增（减），在 C，b 上递减（增）。上递减（增）。 图图1-3 1-3 图图1-41-4教学中应注意：教学中应注意： 1.1.结合图像结合图像1-31-3对上述两点作直观解释，以帮助学生理解对上述两点作直观解释，以帮助学生理解 它们。但不能用图像代替单峰函数定义的文字。它们。但不能用图像代替单峰函数定义的文字。 2.2.在给出单峰函数的定义后，要补充说明在给出单峰函数的定义后，要补充说明“我们规定，区我们规定，区间间 a,ba,b 上的单调（递增或递减）函数也是单峰函数。上的单调（递
13、增或递减）函数也是单峰函数。”需要指出：这样的函数的最大（最小）值点是区间端点。需要指出：这样的函数的最大（最小）值点是区间端点。（二）单峰函数建议教学中能结合例子说明单因素问题、目标函数等概念，使学生能认识它们的意义。“若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧”，这是缩小试验范围时，保留好点所在部分的重要理论根据。可以通过单峰函数的图像认识外，还可以利用单峰函数定义，根据函数的单调性加以证明。 （1） （2） 图1-4（三）黄金分割法0.618法黄金分割数的导出教材举例说明试验效率的问题，并配了图1-5. 图1-5为了合理选取试验点，需要注意两点：每次要进行比较的两个试验点，应关于
14、相应试验区间的中心对称；每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应为相同。（三）黄金分割法0.618法根据上面的两个原则，得出应满足根据上面的两个原则，得出应满足 ( (b-x1)/()/(b- -a)=()=(x1- -x2)/()/(x1- -a) ) 图图1-6 1-6 图图1-71-7教科书是对一般的情况进行推导，为了简单起教科书是对一般的情况进行推导，为了简单起见，可以假设试验区间为见，可以假设试验区间为0,1.0,1. (1- (1-x)/1=(2)/1=(2x-1)/-1)/x, ,即即x2+x-1=0, ,得得x=0.618. =0.618. （三）黄金分割法0.618法案例
15、炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出来的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量。用折纸的方法，可以简化计算过程，这样做是使用几何操作方法来保证以下两点：每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中心对称；每次社区的区间长占舍去钱的区间长的比例数应相同。（三）黄金分割法0.618法试验点的选取：试验点的选取： x1 1= =小小+0.618+0.618 ( (大小大小) )； x2 2= =小小+ +大大x1 1。一般：一般：xn= =小小+ +大大xm。 概括为概括为“加两头
16、，减中间加两头，减中间”，教学中应注意使学生理解，教学中应注意使学生理解“加两头，减中间加两头，减中间”的确切含义。的确切含义。这部分内容，教学除教师讲解和演示外，还应带领学生这部分内容，教学除教师讲解和演示外，还应带领学生实际操作，使其在了解做法依据的道理的基础上熟悉操实际操作，使其在了解做法依据的道理的基础上熟悉操作过程。作过程。（三）黄金分割法0.618法如果两次试验结果一样，在一般情况下，仅保留中间范围，会不会划去最佳点呢？这个问题可以引导学生根据单峰函数的定义找出答案。精度的讨论把有关不等式、指数、对数的知识与0.618法结合起来，教学中可以让学生对这个问题进行自主探究。“阅读材料
17、黄金分割研究史”拓展性学习的材料，可以供学生自学，也可以在教学中将其中一些内容穿插与讲授之中，以丰富教学内容，传播数学文化。（四）分数法案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某中材料。经验表明，加入量大于130ml肯定不好。用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每个代表10ml。用试验法找出这种材料的最优加入量。两个目的：0.618法不能用于一切优选问题；结合具体问题介绍分数法。（四）分数法渐进分数列：渐进分数列：1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13, , Fn/Fn+1, 案例案例1 1中设计连分数与斐波那契数列，应注意教材中连
18、分中设计连分数与斐波那契数列，应注意教材中连分数的表达式（数的表达式（2 2）与数列（）与数列（3 3）之间的联系。教学中不要）之间的联系。教学中不要对连分数与斐波那契数列进行过多的引申介绍和讨论，对连分数与斐波那契数列进行过多的引申介绍和讨论，够用即可，而要以介绍分数法本身为重点，注意斐波那够用即可，而要以介绍分数法本身为重点，注意斐波那契数列的表示，第一项为契数列的表示，第一项为F0，是为了后面，是为了后面“做做k次试验时次试验时用用Fk/Fk+1代替代替0.6180.618，其精度为，其精度为1/1/F Fk k+1 +1 ”的表述。的表述。除了以分数代替黄金分割常数外，分数法和除了以分
19、数代替黄金分割常数外，分数法和0.6180.618法并无法并无其他不同，第一点确定后，后续试点口可以用其他不同，第一点确定后，后续试点口可以用“加两头，加两头，减中间减中间”的方法来确定。的方法来确定。案例案例1 1对试验范围的划分恰好与斐波那契数有关的类型，对试验范围的划分恰好与斐波那契数有关的类型，试验范围恰好为试验范围恰好为1313项，于是可以直接用项，于是可以直接用F5/F6F5/F6代替代替0.618.0.618.案例案例2 2代表了另一种类型，通过调整试点的个数来选择代代表了另一种类型，通过调整试点的个数来选择代替替0.6180.618的近似分数，是在案例的近似分数，是在案例1 1
20、基础上的拓展。基础上的拓展。（四）分数法分数法最优性（在单峰函数的前提下）通过n次试验，最多能从（ Fn+11）个试验点中保证找出最佳点；只有用分数法才能通过n次试验保证从（ Fn+11 ）个试点中找出最佳点。 上两结论可以推出分数法的最优性，即寻找单峰函数的最佳点时，用分数法安排试验最节约试验次数。教学中要介绍这些结论，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理。但不需要进行具体的证明，详细证明可见附录二。（五）其他几种常见的优选法1.对分法案例1 查找输电线路故障类比二分法教学中应结合具体案例，强调这种操作比较简单，选试点的方法是单一的选取中点。这一类试验问题的特点是有已知的
21、试验标准，且能根据一次试验的结果确定下次试验的选择方向。（五）其他几种常见的优选法案例2 价格竞猜，建议教学中让学生独立地分析此案例，然后进行讨论交流。馒头放碱量。（五）其他几种常见的优选法2.盲人爬山法一种采用小步调整策略的优选法，其依据的原理就是“单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧”。教学中介绍这种方法时，应注意结合能表示上述原理的单峰函数的图像，借图说话，使学生感受到它的合理性。（五）其他几种常见的优选法3.分批试验法均分分批试验法第一批第二批 比例分割分批试验法第一批第二批（五）其他几种常见的优选法4.多峰的情形多峰情形不是教学的重点，而是对单峰情形的进一步拓展。教学中应重在使学生认识
22、到化多峰为单峰是解决多峰问题的基本思路。（六）多因素方法1.1.纵横对折法纵横对折法2.2.从好点出发法从好点出发法3.3.平行线法平行线法4.4.平行线加速法平行线加速法5.5.双因素盲人爬山法双因素盲人爬山法（六）多因素方法教科书介绍双因素问题的方法，主要是让学生体会以下双因素问题的一些优选法，进一步体会优选的思想方法。教科书对双因素的单峰性只是通过形象的说法给予介绍，没有给出严格的数学定义 。教科书没有讨论在舍弃区间时，不会把最佳点所在区域舍弃。教学中可以给予补充解析。第二讲第二讲 试验设计初步试验设计初步正交表正交表介绍介绍正交试正交试验设计验设计正交试验正交试验的应用的应用确定试验的
23、因素和水平确定试验的因素和水平选择合适的正交表选择合适的正交表安排试验方案安排试验方案试验结果分析，选出最佳组合试验结果分析，选出最佳组合正交表正交表的特征的特征什么叫试验设计？ 试验设计又叫实验设计，是数理统计学的一个分支，研究如何制定试验方案，以提高试验效率，缩小随机误差的影响，并使试验结果能有效进行统计分析的理论与方法。为什么要试验设计案例 玉米的产量 因素：种植密度A、施化肥量B、施肥时间、浇水量D.试验次数： A3,B3,C3,D3:34=81 A4,B4,C4,D4:44=256 A10,B10,C10,D10:104=10000随机因素影响任何一个试验问题涉及两个方面： 试验的设
24、计和数据的分析。 这两个方面紧密相连，设计时要考虑到下一步如何进行数据分析。试验设计的历史费歇尔作物收成变动研究，罗森斯特农业实业站 试验设计的主要方法早期：区组设计、拉丁方设计、尤登设计当今：正交试验设计、回归设计、混料设计、参数设计和均匀设计正交试验设计正交试验设计是用正交表安排多因素的试验设计和分析的一种方法。由于它操作方便、设计简单，已成为多因素场合下进行试验设计的首选方法之一。正交试验设计的步骤1. 确定试验的因素和水平2. 选择合适正交表3. 安排试验方案4. 分析试验结果确定试验的因素和水平引入试验设计的必要性。案例1 某工产品的产量受到温度A、反应时间B和催化剂浓度C三个因素的
25、影响。在具体生产过程中，根据经验，温度、反应时间及催化剂浓度分别可以取两个水平： 温度：A1=80,A2=90 ； 反应时间：B1=1h，B2=2h； 催化剂浓度：C1=5%，C2=6%。 现要在上述的情况下找出产量最佳的因素组合方案，并分析影响结果的主次因素。选择正交表L4(23) 列号列号试验号试验号1 12 23 31 11 11 11 12 21 12 22 23 32 21 12 24 42 22 21 1安排试验方案 列号列号试验号试验号A A温度温度/B B反应时反应时间间/h/hC C催化剂催化剂浓度浓度1 1A1(80)A1(80)B1(1)B1(1)C1(5%)C1(5%)
26、2 2A1(80)A1(80)B2(2)B2(2)C2(6%)C2(6%)3 3A2(90)A2(90)B1(1)B1(1)C2(5%)C2(5%)4 4A2(90)A2(90)B2(2)B2(2)C1(6%)C1(6%)分析试验结果直接对比法 列号试验号A温度/B反应时间/hC催化剂浓度产量1A1(80)B1(1)C1(5%)172A1(80)B2(2)C2(6%)133A2(90)B1(1)C2(5%)194A2(90)B2(2)C1(6%)10分析试验结果直观分析法 列号列号试验号试验号A A温度温度/B B反应时反应时间间/h/hC C催化剂催化剂浓度浓度产量产量1 1A1(80)A1
27、(80)B1(1)B1(1)C1(5%)C1(5%)17172 2A1(80)A1(80)B2(2)B2(2)C2(6%)C2(6%)13133 3A2(90)A2(90)B1(1)B1(1)C2(5%)C2(5%)19194 4A2(90)A2(90)B2(2)B2(2)C1(6%)C1(6%)1010k1q= =K1q/2/21515181813.513.5k2q= =K2q/2/214.514.511.511.51616正交表的正交性正交表的正交性是指如下两个性质： 1.任一列中各水平的重复次数相同； 2.任两列的所有同行数对的重复次数相同。 这两个性质可使试验数据具有综合可比性。删去部分列的正交表仍具有正交性，但增加任一列都会破坏正交性。需要指出： 1.部分实施，会因为数据少导致精度降低。如果受随机误差影响大、试验费用不太昂贵且总的试验次数不太大时，没必要使用部分实施。 2.如果参与试验的各因素之间存在交互效应，在在做部分实施时，有些交互效应将无法估计。谢谢大家！
