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1、2 2.3 3变量的相关性一、两个变量的关系【问题思考】1.填写下列表格:2.函数关系与相关关系有何区别和联系?提示:函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如有人发现,对于在校儿童,身高与阅读技能有很强的相关关系.然而学会新词并不能使儿童马上长高,而是涉及第三个因素年龄,当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高,而且由于长大,身高也会高些.两种关系之间的联系.两类关系在一定条件下可以相互转化,如正方形面积S与其边长x之间虽然是确定性关系,但在每次测量面积时,由于测量误差等原因,其数值大小表现为一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说,在求得其回归直线之后,又可
2、以用一种确定性的关系来对这两种变量间的关系进行估计.在现实生活中,相关关系大量存在.从某种意义上说,函数关系是一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系,不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题,还可以使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度.3.做一做:下列关系中,是相关关系的有()学生的学习态度与学习成绩之间的关系;老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系;学生的身高与学生的学习成绩之间的关系;家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.B.C.D.答案:A二、两个变量的线性相关【问题思考】1.填空:(1)散点图:将样本中n个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)
3、描在平面直角坐标系中得到的图形.(2)正相关与负相关正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关.负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负相关.2.做一做:判断下列图形中具有相关关系的两个变量是()答案:C四、回归直线方程的系数计算公式【问题思考】1.填写下列表格:3.做一做:在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的回归直线方程为()A.y=x+1B.y=x+2C.y=2x+1D.y=x-1答案:A思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”
4、,错误的画“”.(1)立方体的棱长与体积两个变量具有正相关关系.()(2)若两个变量x和y不具有线性相关关系,则x和y就不具有相关关系.()(3)利用回归直线方程求出的数值一定是准确值.()(4)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程,并且该方程能刻画这组数据的规律性.()(5)若根据一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)求得回归直线方程为,则所求得的回归直线方程对应的直线一定至少经过其中一点.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二思想方法【例1】(1)下列两个变量之间的关系为相关关系的是()A.角度和它的正弦值B.圆的半径和圆的面积C.正n边形的边数和内
5、角之和D.人的年龄和身高解析:角与它的正弦值是函数关系;圆的半径r与面积S=r2,正n边形的边数与内角之和h(n)=(n-2)180都是函数关系.而人的年龄和身高则具有相关关系.答案:D探究一探究二思想方法(2)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据:画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.解解:散点图如下:由散点图知销售价格与房屋面积这两个变量是正相关的关系.探究一探究二思想方法反思感悟两个随机变量x和y相关关系的确定方法1.散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.2.表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.3.经
6、验法:借助积累的经验进行分析判断.探究一探究二思想方法变式训练变式训练(1)图中的两个变量是相关关系的是()A.B.C.D.(2)下列变量之间的关系不是相关关系的是()A.二次函数y=ax2+bx+c中,a,c是已知常数,取b为自变量,因变量是判别式=b2-4acB.光照时间和果树亩产量C.降雪量和交通事故发生率D.每亩田施肥量和粮食亩产量答案:(1)D(2)A探究一探究二思想方法【例2】(1)若回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是()答案:C探究一探究二思想方法探究一探究二思想方法探究一探究二思想方法探究一探究二思想方法1.将例2(2)中条件不变
7、,已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)中求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?解解:当x=100时,y=0.7100+0.35=70.35(吨标准煤),90-70.35=19.65(吨标准煤).即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤.2.如果把例2(2)中的y的值2.5及4.5分别改为2和5,如何求回归直线方程.解解:散点坐标分别为(3,2),(4,3),(5,4),(6,5).可验证这四点共线,斜率,所以直线方程为y-2=x-3,即直线方程为y=x-1.探究一探究二思想方法线性回归方程的求法与应用
8、【典例】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:(1)画出散点图.(2)求线性回归方程.(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?思路导引:(1)横坐标表示加工零件个数,纵坐标表示加工时间,建立平面直角坐标系即可绘制散点图.(2)利用散点图中点的走势即可得出变量之间是否线性相关,然后利用最小二乘法求出线性回归方程,利用方程得出(3)中的预测结论.探究一探究二思想方法解解:(1)散点图如图所示.由散点图知二者呈线性相关关系.探究一探究二思想方法(2)设线性回归方程为y=bx+a.列表并利用科学计算器进行有关计算.探究一探究二思想方法
9、(3)由线性回归方程可以得出每多加工10个零件,就多花费6.68时.方法提炼1.解决此类问题,因为已知Y与x线性相关,所以只需代入公式进行求解,鉴于代入很烦琐,因此要分步来求解,并且要注意运算结果的正确性.2.根据线性回归方程来进行预测或估计时,要注意明确方程中的各个量在实际问题的含义,不要混淆,做到有的放矢.3.线性回归方程中的回归系数b代表x每增加一个单位,y平均增加的单位数,而不是增加单位数,也就是说,此时对y的预测是平均预测.123451.如图所示,各图中的两个变量具有相关关系的是()答案:C612345解析:(2-1.5x1)-(2-1.5x2)=-1.5(x1-x2),若变量x增加
10、一个单位,即x1-x2=1,则平均减少1.5个单位.答案:C612345答案:A6123454.从某大学随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)和体重y(单位:kg)的回归方程为=0.849x-85.712,则身高172cm的女大学生,由回归方程可以预测其体重()A.为60.316kgB.约为60.316kgC.大于60.316kgD.小于60.316kg解析:代入方程计算可知,但要注意回归方程得到的数据是模拟数据,与确定性关系得到的数据不一样,因此不能选A项.答案:B6123455.在研究硝酸钠的可溶性程度时,观测它在不同温度的水中的溶解度,得观测结果如下表:则由此得到回归直线的斜率为. 答案:0.880961234566.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得数据如下:如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.
