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1、2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值问题引航引航1.1.什么是离散型随机什么是离散型随机变量的均量的均值? ?怎么利用离散型随机怎么利用离散型随机变量的分布列求出均量的分布列求出均值? ?2.2.离散型随机离散型随机变量的均量的均值有什么性有什么性质? ?两点分布、二两点分布、二项分分布的均布的均值是什么是什么? ?3.3.如何利用离散型随机如何利用离散型随机变量的均量的均值解决解决实际问题? ?1.1.离散型随机离散型随机变量的均量的均值及其性及其性质(1)(1)离散型随机离散型随机变量的均量的均值或数学期望或数学期望: :一般地一般地, ,若离散型随机若离散型随机
2、变量量X X的分布列的分布列为均均值或数学期望或数学期望E(X)=_.E(X)=_.数学期望的含数学期望的含义: :反映了离散型随机反映了离散型随机变量取量取值的的_._.X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn nP Pp p1 1p p2 2p pi ip pn nx x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xi ip pi i+x+xn np pn n平均水平平均水平(2)(2)均均值的性的性质: :若若Y=aX+b,Y=aX+b,其中其中a,ba,b为常数常数,X,X是随机是随机变量量, ,YY也是随机也是随机变量量, ,E(aX+b)=_.E(aX+b)=_.2
3、.2.两点分布、二两点分布、二项分布的均分布的均值(1)(1)两点分布两点分布: :若若X X服从两点分布服从两点分布, ,则E(X)=_.E(X)=_.(2)(2)二二项分布分布: :若若X XB(n,p),B(n,p),则E(X)=_.E(X)=_.aE(X)+baE(X)+bp pnpnp1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”,“”,错误的打的打“”)“”)(1)(1)随机随机变量量X X的数学期望的数学期望E(X)E(X)是个是个变量量, ,其随其随X X的的变化而化而变化化. .( () )(2)(2)随机随机变量的均量的均值与与样本的平均本的平均值相同相同. .( () )
4、(3)(3)若随机若随机变量量的数学期望的数学期望E()=3,E()=3,则E(4-5)=7.E(4-5)=7.( () )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .随机变量的均值是常数随机变量的均值是常数, ,其不随其不随X X的变化而变的变化而变化化. .(2)(2)错误错误. .随机变量的均值是常数随机变量的均值是常数, ,而样本的平均值而样本的平均值, ,随样本的不随样本的不同而变化同而变化. .(3)(3)正确正确.E()=3,.E()=3,则则E(4-5)=4E()-5=12-5=7.E(4-5)=4E()-5=12-5=7.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2
5、.做一做做一做( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)若随机若随机变量量的分布列的分布列为则的数学期望的数学期望E()=E()=. .(2)(2)设随机随机变量量X XB(16,p),B(16,p),且且E(X)=4,E(X)=4,则p=p=. .(3)(2014(3)(2014上海高二上海高二检测) )设口袋中有黑球、白球共口袋中有黑球、白球共7 7个个, ,从中从中任取任取2 2个球个球, ,已知取到白球个数的数学期望已知取到白球个数的数学期望为 , ,则口袋中白球口袋中白球的个数的个数为. .0 01 12 2p p0.20.20.30.3m m【解析】【解析
6、】(1)(1)由题意可知由题意可知m=0.5,m=0.5,故故的数学期望的数学期望E()=00.2+10.3+20.5=1.3.E()=00.2+10.3+20.5=1.3.答案答案: :1.31.3(2)(2)若随机变量若随机变量X XB(16,p),B(16,p),且且E(X)=4,E(X)=4,则则16p=4,16p=4,所以所以p= .p= .答案答案: :(3)(3)设口袋中有白球设口袋中有白球n n个个, ,由题意知口袋中有黑球、白球共由题意知口袋中有黑球、白球共7 7个个, ,从中任取从中任取2 2个球个球, ,取到白球的概率是取到白球的概率是 , ,因为每一次取到白球的因为每一
7、次取到白球的概率是一个定值概率是一个定值, ,且每一次的结果只有取到白球和取不到白球且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果两种结果, ,所以符合二项分布所以符合二项分布, ,所以所以2 ,2 ,所以所以n=3.n=3.答案答案: :3 3【要点探究】【要点探究】知知识点点 离散型随机离散型随机变量的均量的均值及其性及其性质1.1.对均均值概念的四点概念的四点说明明(1)(1)均均值的含的含义: :均均值是离散型随机是离散型随机变量的一个重要特征数量的一个重要特征数, ,反反映或刻画的是离散型随机映或刻画的是离散型随机变量取量取值的平均水平的平均水平. .(2)(2)均均值的来源的来源:
8、 :均均值不是通不是通过一次或几次一次或几次试验就可以得到的就可以得到的, ,而是在大量的重复而是在大量的重复试验中表中表现出来的相出来的相对稳定的定的值. .(3)(3)均均值与平均数的区与平均数的区别: :均均值是概率意是概率意义下的平均下的平均值, ,不同于不同于相相应数数值的算的算术平均数平均数. .(4)(4)均均值的的单位位: :随机随机变量的均量的均值与随机与随机变量本身具有相同的量本身具有相同的单位位. .2.2.对公式公式E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b的四点的四点说明明(1)(1)当当a=0a=0时,E(b)=b,E(b)=b,即常数的均即常数的
9、均值就是就是这个常数本身个常数本身. .(2)(2)当当a=1a=1时,E(X+b)=E(X)+b,E(X+b)=E(X)+b,即随机即随机变量量X X与常数之和的均与常数之和的均值等等于于X X的均的均值与与这个常数的和个常数的和. .(3)(3)当当b=0b=0时,E(aX)=aE(X),E(aX)=aE(X),即常数与随机即常数与随机变量乘量乘积的均的均值等于等于这个常数与随机个常数与随机变量均量均值的乘的乘积. .(4)E(X(4)E(X1 1+X+X2 2)=E(X)=E(X1 1)+E(X)+E(X2 2),),即两个随机即两个随机变量和的均量和的均值等于均等于均值的的和和. .3
10、.3.离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系区区别随机随机变量的均量的均值是一个常数是一个常数, ,它不依它不依赖于于样本的抽取本的抽取, ,而而样本平均本平均值是一个随机是一个随机变量量, ,它随它随样本抽取的不同而本抽取的不同而变化化联系系对于于简单的随机的随机样本本, ,随着随着样本容量的增加本容量的增加, ,样本平均本平均值越来越接近于越来越接近于总体的均体的均值【微思考】【微思考】根据离散型随机根据离散型随机变量均量均值的定的定义思考思考, ,对于一般的离散型随机于一般的离散型随机变量量, ,若要求出它的均若要求出它的均值, ,需要确定的
11、量有哪些需要确定的量有哪些? ?提示提示: :需要确定两个量需要确定两个量, ,一是离散型随机变量的所有取值一是离散型随机变量的所有取值, ,另一另一个是每一个离散型随机变量取值所对应的概率个是每一个离散型随机变量取值所对应的概率. .【即时练】【即时练】一射手一射手对靶射靶射击, ,直到第一次命中直到第一次命中为止止, ,每次命中的概率每次命中的概率为0.6,0.6,现有有4 4颗子子弹, ,命中后的剩余子命中后的剩余子弹数目数目的期望的期望为( () )A.2.44 B.3.376 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 C.2.376 D.2.4【解析】【解析】选选C.
12、C.由题意知由题意知=0,1,2,3,=0,1,2,3,因为当因为当=0=0时时, ,表示前三次都没射中表示前三次都没射中, ,第四次还要射击第四次还要射击, ,但结果但结果不计不计, ,所以所以P(=0)=0.4P(=0)=0.43 3, ,因为当因为当=1=1时时, ,表示前两次都没射中表示前两次都没射中, ,第三次射中第三次射中, ,所以所以P(=1)=0.60.4P(=1)=0.60.42 2, ,因为当因为当=2=2时时, ,表示第一次没射中表示第一次没射中, ,第二次射中第二次射中, ,所以所以P(=2)=0.60.4,P(=2)=0.60.4,因为当因为当=3=3时时, ,表示第
13、一次射中表示第一次射中, ,所以所以P(=3)=0.6,P(=3)=0.6,所以所以E()=00.4E()=00.43 3+10.60.4+10.60.42 2+20.60.4+30.6=2.376.+20.60.4+30.6=2.376.【题型示范】型示范】类型一型一 求离散型随机求离散型随机变量的均量的均值【典例【典例1 1】(1)(1)已知随机已知随机变量量X X的分布列如下表的分布列如下表, ,则E(2X+5)=(E(2X+5)=() )A.1.32 B.2.64 A.1.32 B.2.64 C.6.32 D.7.64 C.6.32 D.7.64X X-2-21 13 3P P0.16
14、0.160.440.440.400.40(2)(2014(2)(2014浙江高考浙江高考) )已知甲盒中仅有已知甲盒中仅有1 1个球且为红球，乙盒中个球且为红球，乙盒中有有m m个红球和个红球和n n个蓝球个蓝球(m3,n3)(m3,n3)，从乙盒中随机抽取，从乙盒中随机抽取i(i=1,2)i(i=1,2)个球放入甲盒中个球放入甲盒中. .(a)(a)放入放入i i个球后，甲盒中含有红球的个数记为个球后，甲盒中含有红球的个数记为i i(i=1,2)(i=1,2)；(b)(b)放入放入i i个球后，从甲盒中取个球后，从甲盒中取1 1个球是红球的概率记为个球是红球的概率记为p pi i(i=1,2
15、).(i=1,2).则则( )( )A.pA.p1 1pp2 2,E(,E(1 1)E()E(2 2) B.p) B.p1 1pE()E(2 2) )C.pC.p1 1pp2 2,E(,E(1 1)E()E(2 2) D.p) D.p1 1pp2 2,E(,E(1 1)E()E(3X)E(3X2 2) )，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大大【补偿训练】(2013(2013海淀高二海淀高二检测) )某公司准某公司准备将将100100万元万元资金投入代理金投入代理销售售业务, ,现有有A,BA,B两个两个项目可供目可供选择:
16、 :投投资A A项目一年后目一年后获得的利得的利润X X1 1( (万元万元) )的分布列如下表所示的分布列如下表所示: :且且X X1 1的均的均值E(XE(X1 1)=12.)=12.X X1 1111112121717P Pa a0.40.4b b投投资B B项目一年后目一年后获得的利得的利润X X2 2( (万元万元) )与与B B项目目产品价格的品价格的调整有关整有关,B,B项目目产品价格根据品价格根据销售情况在售情况在4 4月和月和8 8月决定是否需要月决定是否需要调整整, ,两次两次调整相互独立且在整相互独立且在4 4月和月和8 8月月进行价格行价格调整的概率分整的概率分别为p(
17、0p1)p(0p1)和和1-p.1-p.经专家家测算算评估估:B:B项目目产品价格一年内品价格一年内调整次数整次数X(X(次次) )与与X X2 2的关系如下表所示的关系如下表所示: :X(X(次次) )0 01 12 2X X2 2( (万元万元) )4.124.1211.7611.7620.4020.40(1)(1)求求a,ba,b的的值. .(2)(2)求求X X2 2的分布列的分布列. .(3)(3)若若E(XE(X1 1) E(X) E(X2 2),),则选择投投资B B项目目, ,求此求此时p p的取的取值范范围. .【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得: :解得解得:a=
18、0.5,b=0.1.:a=0.5,b=0.1.(2)X(2)X2 2的可能取值为的可能取值为4.12,11.76,20.40.4.12,11.76,20.40.P(XP(X2 2=4.12)=(1-p)1-(1-p)=p(1-p),=4.12)=(1-p)1-(1-p)=p(1-p),P(XP(X2 2=11.76)=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p=11.76)=p1-(1-p)+(1-p)(1-p)=p2 2+(1-p)+(1-p)2 2, ,P(XP(X2 2=20.40)=p(1-p).=20.40)=p(1-p).所以所以X X2 2的分布列为的分布列为: :X X2 24
19、.124.1211.7611.7620.4020.40P Pp(1-p)p(1-p)p p2 2+(1-p)+(1-p)2 2p(1-p)p(1-p)(3)(3)由由(2)(2)可得可得: :E(XE(X2 2)=4.12p(1-p)+11.76p)=4.12p(1-p)+11.76p2 2+(1-p)+(1-p)2 2+20.40p(1-p)+20.40p(1-p)=-p=-p2 2+p+11.76.+p+11.76.因为因为E(XE(X1 1)E(X)E(X2 2),),所以所以12-p12-p2 2+p+11.76.+p+11.76.所以所以0.4p0.6.0.4p0.6.当选择投资当选
20、择投资B B项目时项目时,p,p的取值范围是的取值范围是(0.4,0.6).(0.4,0.6).【易错误区】【易错误区】误判误判的所有可能取值致错的所有可能取值致错【典例】【典例】某同学参加科普知某同学参加科普知识竞赛, ,需回答三个需回答三个问题, ,竞赛规则规定定: :每每题回答正确得回答正确得100100分分, ,回答不正确得回答不正确得-100-100分分. .假假设这名同名同学每学每题回答正确的概率均回答正确的概率均为0.8,0.8,且各且各题回答正确与否相互之回答正确与否相互之间没有影响没有影响. .则这名同学回答名同学回答这三个三个问题的的总得分得分的数学期望的数学期望为. .【
21、解析】【解析】的可能取值为的可能取值为-300-300，-100-100，100100，300.300.P(=-300)=0.2P(=-300)=0.23 3=0.008=0.008，P(=-100)=30.2P(=-100)=30.22 20.8=0.0960.8=0.096，P(=100)=30.20.8P(=100)=30.20.82 2=0.384=0.384，P(=300)=0.8P(=300)=0.83 3=0.512=0.512，所以所以的分布列为的分布列为根据根据的分布列，可得的分布列，可得的期望的期望E()=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3
22、000.512E()=(-300)0.008+(-100)0.096+1000.384+3000.512=180.=180.答案：答案：180180-300-300-100-100100100300300P P0.0080.0080.0960.0960.3840.3840.5120.512【常见误区】【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析240240阴影处对于随机变量阴影处对于随机变量的取值理解错误而致误的取值理解错误而致误【防范措施】【防范措施】注意题设信息的提取注意题设信息的提取合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误. .如本如本例中
23、的条件及待求问题都需要仔细研读例中的条件及待求问题都需要仔细研读. .【类题试解】解】已知箱中装有已知箱中装有4 4个白球和个白球和5 5个黑球个黑球, ,且且规定定: :取出一取出一个白球得个白球得2 2分分, ,取出一个黑球得取出一个黑球得1 1分分. .现从从该箱中任取箱中任取( (无放回无放回, ,且且每球取到的机会均等每球取到的机会均等)3)3个球个球, ,记随机随机变量量X X为取出取出3 3球所得分数球所得分数之和之和. .则X X的数学期望的数学期望E(X)=E(X)=. .【解析】【解析】X X的可能取值有：的可能取值有：3 3，4 4，5 5，6.6.故故X X的分布列为的分布列为故所求故所求X X的数学期望的数学期望E(X)= .E(X)= .答案：答案：X X3 34 45 56 6P P
