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1、二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质 福州第十八中学数学组 陈炎琳一、常数函数常数函数的两种形式：1、垂直于x轴，且与x轴交于点（a，0）的直线，称之为直线X=a（特别的y轴也可称为直线x=0） 例如，垂直于y轴，且与y轴交于点（0，b）的直线，称之为直线y=b（特别的x轴也可称为直线y=0）二、探究二、探究画出二次函数画出二次函数 的图象，的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点x3210123284.5200284.522224644y= x+12 21y= x-12 21 可以看出，抛物线可以看出，抛物线 的开口向下，对称轴的开口向下，对称轴是经过
2、点（是经过点（1，0）且与）且与x轴垂直的直线，我们把它记住轴垂直的直线，我们把它记住直线直线x=1，顶点是，顶点是（1，0）；抛物线；抛物线 的开口向的开口向_，对称轴是，对称轴是_，顶点，顶点是是_（注意一下符号！）（注意一下符号！）下下直线直线x = 1( 1 , 0 )2224644y= x+12 21y= x-12 21 可以看出，抛物线可以看出，抛物线 的变化趋势是的变化趋势是当x-1时，下降；当x1时，下降；当x1时，上升2224644y= x+12 21y= x-12 21的变化趋势是的变化趋势是对称轴把抛物线分为不同变化趋势的两段，那么该如何描述变化趋势呢？说出下列二次说出下
3、列二次 函数的开口方函数的开口方向、对称轴及顶点坐标向、对称轴及顶点坐标 (1) y=2(x+3)2 (2) y=-3(x -1)2 (3) y=5(x+2)2 (4) y= -(x-6)2 (5) y=7(x-8)2向上向上, 直线直线x= - 3, ( - 3, 0)向下向下, 直线直线x= 1, ( 1, 0)向上向上, 直线直线x= - 2, ( - 2, 0)向下向下,直线直线 x= 6, ( 6, 0)向上向上, 直线直线x= 8, ( 8, 0)三、继续探究三、继续探究观察二次函数观察二次函数 的图象的图象中纵坐标相等的点的横坐标的和，图像形状有什么特点中纵坐标相等的点的横坐标的
4、和，图像形状有什么特点.x321012384.520084.522224644y= x+12 21y= x-12 21发现纵坐标相等的点的横坐发现纵坐标相等的点的横坐标的和都是标的和都是-2发现纵坐标相等的点的横坐发现纵坐标相等的点的横坐标的和都是标的和都是222图像形状完全相同图像形状完全相同对称性一般的y=a（x-h）2上的两个点（x1，y1）（x2,y2），若y1=y2，则它们关于对称轴直线x=h对称，且x1+x2=2h或者二次函数二次函数y=a（x-h）2的图象的图象的性质有哪些？请填写下表：的性质有哪些？请填写下表：函数开口方向对称轴顶 点坐 标Y的最值变化趋势在对称轴左侧即xh时y
5、=a（x-h）2a0a0向上向上直线直线x=h（h，0）当当x=h时时y的最的最小值是小值是0Y随随x的增的增大而减小大而减小Y随随x的增的增大而增大大而增大向下向下直线直线x=h（h,0）当当x=h时时y的最的最大值是大值是0Y随随x的增的增大而增大大而增大Y随随x的增的增大而减小大而减小四、基础知识点总结四、基础知识点总结抛物抛物线线开口方向开口方向对称轴对称轴顶点顶点最值最值增减情况增减情况y=axa0,向上向上直线直线X=0(0,0)当当x=0时时,y有最小值有最小值0x0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下直线直线X=0(0,0)当当x=0时时,y有最大值有最大值0x
6、0时时, y随随x的增大的增大而减小而减小. y=ax+ka0,向上向上直线直线X=0(0,k)当当x=0时时,y有最小值有最小值kx0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下直线直线X=0(0,k)当当x=0时时,y有最大值有最大值kx0时时, y随随x的增大的增大而减小而减小.y=y=a a(x-(x-h h) )a0,向上向上直线直线X=h(h,0)当当x=h时时,y有最小值有最小值0x0时时,y随随x的增大而的增大而增大增大a0,向下向下直线直线X=h(h,0)当当x=h时时,y有最大值有最大值0xh时时, y随随x的增大的增大而减小而减小.抛物线抛物线 与抛物线与抛物线
7、有什么关系？有什么关系？2224644左加右减顶点顶点(0,0)(0,0)顶点顶点(2,0)(2,0)直线直线x=x=2 2直线直线x=2x=2向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位顶点顶点( (2,0)2,0)对称轴对称轴:y:y轴轴即直线即直线: x=0: x=0在同一坐标系中作出下列二次函数在同一坐标系中作出下列二次函数: :观察三条抛物线的观察三条抛物线的相互关系相互关系, ,并分别指并分别指出它们的开口方向出它们的开口方向, ,对称轴及顶点对称轴及顶点. .向向右右平移平移2 2个单位个单位向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个
8、单位向向左左平移平移2 2个单位个单位六六. .探究二次函数的运动平移性质探究二次函数的运动平移性质（1）抛物线）抛物线y=2x+3y=2x+3和抛物线和抛物线和抛物线和抛物线y=2x-3y=2x-3如何由如何由如何由如何由抛物线抛物线抛物线抛物线y=2xy=2x平移而来平移而来平移而来平移而来； 式 形 + 向上 - 向下 式 形 + 向左 - 向右（2）二次函数二次函数y=2(x-3)y=2(x-3)与抛物线与抛物线y=2(x+3)y=2(x+3)如何由如何由抛物线抛物线y=2xy=2x 平移而来平移而来。K的位置上加下减h的位置右减左加当当k0时，将抛物线时，将抛物线y=ax向上平移向上
9、平移k=k个单位个单位,当当k0时，将抛物线时，将抛物线y=ax向右平移向右平移h=h个单位个单位,当当h0a0时时, , 开口向上开口向上; ; 当当a0a0a0时时, , 开口向上开口向上, ,当当a0a0,(k0,向上平移向上平移;k0;k0,(h0,向右平移向右平移;h0;h0a0时时, , 开口向上开口向上, ,当当a0a0时时, ,开口向下开口向下; ;九、作业九、作业1、在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：、在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点坐标变化趋势，最值，对称轴及顶点坐标变化趋势，最值，2、3.把抛物线把抛物线 向下平移向下平移2个单位，可以得到抛物线个单位，可以得到抛物线 ，再向上平移再向上平移5个单位，可以得到抛物线个单位，可以得到抛物线 ；4、将抛物线、将抛物线y=2x2向上平移向上平移3单位，就得到函数单位，就得到函数_ 的图象，将抛物线的图象，将抛物线y=-2x2向向 平移平移 个单位得到函个单位得到函数数y= -2（x-3）2的图象的图象5、如何平移、如何平移
