《高中数学全程复习方略3.4生活中的优化问题举例(共82张)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学全程复习方略3.4生活中的优化问题举例(共82张)（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 生活中的优化问题举例1.1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤. .2.2.会利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题. . 1.1.本课重点是求解有关函数最大值、最小值的实际问题本课重点是求解有关函数最大值、最小值的实际问题. .2.2.本课难点是把实际问题转化成抽象的数学问题本课难点是把实际问题转化成抽象的数学问题. . 1.1.优化问题的定义优化问题的定义解决生活中求解决生活中求_、_、_等问题等问题. .利润最大利润最大用料最省用料最省效率最高效率最高2.2.解决优化问题的基本思路是解决优化问题的基本思路是优化问题优化问题
2、 优化问题的答案优化问题的答案 用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程过程数学建模数学建模1.1.求函数最值的常用方法有哪些求函数最值的常用方法有哪些? ?提示：提示：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数用导数. .2.2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm20 cm，要使其体积最，要使其体积最大，则高为大，则高为_._.【解析解析】设圆锥的高为设圆锥的高为x cmx cm，则
3、底面半径为，则底面半径为 cmcm，其，其体积为体积为V= x(20V= x(202 2-x-x2 2)(0x20)(0x20)，V= (400-3xV= (400-3x2 2) )，令，令V=0V=0，解得解得 ( (舍去舍去).).当当0x 0x0V0；当当 x20x20时，时，V0V0，当当x= x= 时，时，V V取最大值取最大值. .答案：答案： cmcm3.3.体积为定值体积为定值V0V0的正三棱柱，当它的底面边长为的正三棱柱，当它的底面边长为_时，正时，正三棱柱的表面积最小三棱柱的表面积最小. .【解析解析】设底面的边长为设底面的边长为a a，高为，高为h h，则则由由S=0S=
4、0得得所以当底面的边长为所以当底面的边长为 时，正三棱柱的表面积最小时，正三棱柱的表面积最小. .答案：答案：4.4.某公司生产一种产品，固定成本为某公司生产一种产品，固定成本为20 00020 000元，每生产一单位元，每生产一单位的产品，成本增加的产品，成本增加100100元，若总收入元，若总收入R R与年产与年产x x的关系是的关系是R(x)=R(x)= +400x(0x390) +400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是品单位数是_._.【解析解析】由题意可得总利润由题意可得总利润P(x)=- +300x-20 000(0P(x)
5、=- +300x-20 000(0x390).P(x)=- xx390).P(x)=- x2 2+300+300，由由P(x)=0P(x)=0，得，得x=300.x=300.当当0x3000x0P(x)0，当当300x390300x390时，时，P(x)0P(x)0，所以当所以当x=300x=300时，时，P(x)P(x)最大最大. .答案：答案：3003001.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系型，写出实
6、际问题中变量之间的函数关系y=f(x)y=f(x)；(2)(2)求函数的导数求函数的导数f(x)f(x)，解方程，解方程f(x)=0f(x)=0；(3)(3)比较函数在区间端点和使比较函数在区间端点和使f(x)=0f(x)=0的点的数值的大小，最的点的数值的大小，最大大( (小小) )者为最大者为最大( (小小) )值；值；(4)(4)写出答案写出答案. .2.2.解应用题的思路和方法解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知象成数学问题，就是从实际问题出
7、发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去. .其思路如下：其思路如下：实际问题实际问题 数学问题数学问题实际问题的结论实际问题的结论 数学问题的结论数学问题的结论 问问题题解解决决 数学化数学化转化成数学问题转化成数学问题 数数学学解解答答检验检验回到实际问题回到实际问题 (1)(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要
8、关系；问题的主要关系；(2)(2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；相应的数学模型；(3)(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；求解；(4)(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案确定其答案. . 面积、容积的最值问题面积、容积的最值问题【技法点拨技法点拨】解决面积、容积的最值问题的思路解决面积、容积的最值问题的思路解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或
9、容积解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值数的最值. .【典例训练典例训练】1.1.已知矩形的两个顶点已知矩形的两个顶点A A，D D位于位于x x轴上，另两个顶点轴上，另两个顶点B B，C C位于抛位于抛物线物线y=4-xy=4-x2 2在在x x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为长为_._.2.2.在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再的正方形铁片的四角切去相等的正方形，
10、再把它的边沿虚线折起把它的边沿虚线折起( (如图如图) )，做成一个无盖的方底箱子，箱底，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【解析解析】1.1.由题意，设矩形边长由题意，设矩形边长ADAD2x2x，则，则ABAB4-x4-x2 2，矩形面积为矩形面积为S=2x(4-xS=2x(4-x2 2)=8x-2x)=8x-2x3 3(0x2).(0x2).S=8-6xS=8-6x2 2. .令令S=0S=0，解之得，解之得 ( (舍去舍去).).当当0x 0x0S0；当当 x2x2时，时，S0.S0.当当x= x=
11、 时时,S,S取得最大值为取得最大值为 . .即矩形的边长分别是即矩形的边长分别是 时，矩形的面积最大时，矩形的面积最大. .答案：答案： 2.2.方法一：设箱底边长为方法一：设箱底边长为x cmx cm，则箱子高为则箱子高为h= cmh= cm，得箱子容积，得箱子容积V(x)=xV(x)=x2 2h= (0x60).h= (0x60).V(x)=60x- (0x60)V(x)=60x- (0x60)令令V(x)=60x- =0V(x)=60x- =0，解得解得x=0(x=0(舍去舍去),x=40.),x=40.并求得并求得V(40)=16 000.V(40)=16 000.由题意可知，当由题
12、意可知，当x x接近于接近于0 0或接近于或接近于6060时，箱子容积很小，因此，时，箱子容积很小，因此，16 00016 000是最大值是最大值. .答：当答：当x=40 cmx=40 cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm16 000 cm3 3. .方法二：设箱子高为方法二：设箱子高为x cmx cm，则箱底长为，则箱底长为(60-2x) cm(60-2x) cm，则得箱子，则得箱子容积容积V(x)=(60-2x)V(x)=(60-2x)2 2x(0x30).(x(0x0)+ )(x0)，40=k40=k20203 3=8 000k=8 000k，
13、k= k= ，y=f(x)=a( )(x0)y=f(x)=a( )(x0)，f(x)=a( )=f(x)=a( )=令令f(x)=0f(x)=0，则，则f(x)f(x)只有一个极值点，只有一个极值点，此点也为最值点，此点也为最值点，当火车行驶速度为当火车行驶速度为 km/hkm/h时，费用最少时，费用最少. .答案：答案： km/hkm/h2.2.设单位面积铁的造价为设单位面积铁的造价为m m，桶的总造价为，桶的总造价为y y，则，则y y3mr23mr2m(rm(r2 22rh).2rh).因为因为V Vrr2 2h h，得，得h h ，所以所以y y4mr4mr2 2 . .所以所以yy8
14、mr8mr . .令令yy0 0，解得，解得 此时此时所以当所以当r r 时，时，y0y r 时，时，y0y0，函数单调递增，函数单调递增. .所以所以r r 为函数的极小值点，且是最小值点，为函数的极小值点，且是最小值点，所以当所以当r r ，即，即hr=41hr=41时，时，y y有最小值有最小值. .【总结总结】解答题解答题1 1的易错点与解答题的易错点与解答题2 2时的关键点时的关键点. .提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1时，注意填空题的规范性，结果容易漏掉单时，注意填空题的规范性，结果容易漏掉单位位. .(2)(2)解答题解答题2 2的关键点在于利用容积是定值，得到高与半径
15、的关的关键点在于利用容积是定值，得到高与半径的关系，进而得到总造价关于半径的函数，注意本题字母较多，要系，进而得到总造价关于半径的函数，注意本题字母较多，要分清哪些是常数，哪些是变量分清哪些是常数，哪些是变量. . 利润最大利润最大( (成本最低成本最低) )问题问题【技法点拨技法点拨】1.1.经济生活中优化问题的解法经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢, ,以产以产量或单价为自变量很容易建立函数关系量或单价为自变量很容易建立函数关系, ,从而可以利用导数来从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动分析、研究、
16、指导生产活动. .2.2.关于利润问题常用的两个等量关系关于利润问题常用的两个等量关系(1)(1)利润利润= =收入收入- -成本；成本；(2)(2)利润利润= =每件产品的利润每件产品的利润销售件数销售件数. .【典例训练典例训练】1.1.某厂生产某种产品某厂生产某种产品x x件的总成本件的总成本c(x)c(x)1 2001 200 ( (万元万元) )，已知产品单价的平方与产品件数，已知产品单价的平方与产品件数x x成反比，生产成反比，生产100100件这样的件这样的产品单价为产品单价为5050万元，则产量定为万元，则产量定为_件时，总利润最大件时，总利润最大. .2.2.某商场销售某种商
17、品的经验表明，该商品每日的销售量某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(y(单单位：千克位：千克) )与销售价格与销售价格x(x(单位：元单位：元/ /千克千克) )满足关系式满足关系式y y10(x10(x6)6)2 2，其中，其中3x63x6，a a为常数为常数. .已知销售价格为已知销售价格为5 5元元/ /千克千克时，每日可售出该商品时，每日可售出该商品1111千克千克. .(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/ /千克，试确定销售价格千克，试确定销售价格x x的值，使商的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大场每日销售
18、该商品所获得的利润最大. .【解析解析】1.1.设产品的单价为设产品的单价为p p万元，根据已知，可设万元，根据已知，可设p p2 2 ，其中其中k k为比例系数为比例系数. .因为当因为当x x100100时，时，p p5050，所以，所以k k250 000250 000，所以所以设总利润为设总利润为y y万元，则万元，则y y500 500 275x275x3 31 200.1 200.求导数得，求导数得，令令yy0 0得得x x25.25.故当故当x25x0y0；当当x25x25时，时，y0.y0.因此，当因此，当x x2525时，函数时，函数y y取得极大值，也是最大值取得极大值，也
19、是最大值. .答案：答案：25252.(1)2.(1)因为因为x x5 5时，时，y y1111，所以所以 10101111，a a2.2.(2)(2)由由(1)(1)可知，该商品每日的销售量可知，该商品每日的销售量y y 10(x10(x6)6)2 2. .所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)f(x)(x(x3)3) 10(x10(x6)6)2 22 210(x10(x3)(x3)(x6)6)2 2，3x6.3x6.从而从而f(x)f(x)1010(x(x6)6)2 22(x2(x3)(x3)(x6)6)30(x30(x4)(x4)(x6).6).于是
20、，当于是，当x x变化时，变化时，f(x)f(x)，f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(3,4)(3,4)4 4(4,6)(4,6)f(x)f(x)0 0f(x)f(x)单调递增单调递增极大值极大值4242单调递减单调递减由上表可得，由上表可得，x x4 4是函数是函数f(x)f(x)在区间在区间(3,6)(3,6)内的极大值点，也内的极大值点，也是最大值点是最大值点. .所以，当所以，当x x4 4时，函数时，函数f(x)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.42.答：当销售价格为答：当销售价格为4 4元元/ /千克时，商场每日销售该商品所获得
21、的千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大利润最大. .【想一想想一想】解答题解答题1 1的关键点与解答题的关键点与解答题2 2求导的技巧是什么？求导的技巧是什么？提示：提示：(1)(1)解答题解答题1 1时，关键点在于根据已知条件得到反比例系时，关键点在于根据已知条件得到反比例系数数. .(2)(2)解答题解答题2 2时，求时，求f(x)f(x)的导数是关键，把函数的导数是关键，把函数f(x)f(x)的解析式整的解析式整理成理成x x的多项式是正确求导的关键的多项式是正确求导的关键. .【规范解答规范解答】利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题【典例典例】(12(12分分
22、) )工厂生产某种产品，次品率工厂生产某种产品，次品率p p与日产量与日产量x(x(万件万件) )间的关系为间的关系为 (c(c为常数，且为常数，且0c6).0ccxc时，时，p p ，y y(1(1 ) )x x3 3 x x 0 0；2 2分分当当0xc0cxc时，日盈利额为时，日盈利额为0.0.6 6分分当当0xc0xc时，时，yy ，8 8分分令令yy0 0，得，得x x3 3或或x x9(9(舍去舍去).).当当0c30c0y0，y y在区间在区间(0(0，c c上单调递增，上单调递增，y y最大值最大值f(c)f(c) 9 9分分当当3c63c0y0，在，在(3(3，c)c)上上,
23、y0,y0，y y在在(0,3)(0,3)上单调递增，在上单调递增，在(3(3，c)c)上单调递减上单调递减. .yy最大值最大值f(3)f(3) . .1111分分综上，若综上，若0c30c3，则当日产量为，则当日产量为c c万件时，日盈利额最万件时，日盈利额最大；若大；若3c63c6，则当日产量为，则当日产量为3 3万件时，日盈利额最大万件时，日盈利额最大. .1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：题启示总结如下：( (注：此处的注：此处的见规范解答过程见规范解答过程) )失失分分警警示示 在解答
24、过程中，若不能正确地求导得出在解答过程中，若不能正确地求导得出处处 ，那么后面的解答就没有正确，那么后面的解答就没有正确的可能，在考试中若这步正确，即使后面的解的可能，在考试中若这步正确，即使后面的解答错误，也能给答错误，也能给8 8分分, ,这是解这类题的关键步骤这是解这类题的关键步骤, ,也是考试中常出现的失分点也是考试中常出现的失分点. . 失失分分警警示示 在解答过程中，若漏掉在解答过程中，若漏掉处的两种情况处的两种情况0c30c3 和和3c63c6的讨论，而直接得到的讨论，而直接得到x=3x=3时函数取到最时函数取到最大值，则解析不完整，实际考试中最多给大值，则解析不完整，实际考试中
25、最多给9 9分分. .是是考试中常出现的失分点考试中常出现的失分点. .失失分分警警示示 在解答过程中，若漏掉在解答过程中，若漏掉处处综上，若综上，若0c30c3，则当日产量为，则当日产量为c c万件时，日盈利额最大；若万件时，日盈利额最大；若3c3c66，则当日产量为，则当日产量为3 3万件时，日盈万件时，日盈利额最大利额最大. .部分的内容，虽然不是错误，但解析过程不完整，部分的内容，虽然不是错误，但解析过程不完整，实际考试中此种情况一般给实际考试中此种情况一般给1111分，这是考试中最不分，这是考试中最不该失分的地方该失分的地方. .解解题题启启示示(1)(1)对导数公式及运算法则要熟练
26、、运用，避免不必要的对导数公式及运算法则要熟练、运用，避免不必要的错误；错误；(2)(2)解题时，注意分类讨论思想的应用解题时，注意分类讨论思想的应用; ;(3)(3)做解答题时一定要注意解题的规范性，不要因漏掉步做解答题时一定要注意解题的规范性，不要因漏掉步骤而使得解析不规范、不严谨骤而使得解析不规范、不严谨. .【规范训练规范训练】(12(12分分) )某商场预计某商场预计20122012年年1 1月份起前月份起前x x个月，顾个月，顾客对某商品的需求总量客对某商品的需求总量p(x)(p(x)(单位：件单位：件) )与与x x的关系近似地满足的关系近似地满足p(x)= x(x+1)(39-
27、2x)(xNp(x)= x(x+1)(39-2x)(xN* *,x12).,x12).该商品第该商品第x x月的进货单月的进货单价价q(x)(q(x)(单位：元单位：元) )与与x x的近似关系是的近似关系是(1)(1)写出写出20122012年第年第x x月的需求量月的需求量f(x)(f(x)(单位：件单位：件) )与与x x的函数关系的函数关系式；式；(2)(2)该商品每件的售价为该商品每件的售价为185185元，若不计其他费用且每月都能满元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场足市场需求，试问商场20122012年哪个月销售该商品的月利润最大，年哪个月销售该商品的月利润最大，最
28、大月利润为多少元？最大月利润为多少元？ 【解题设问解题设问】(1)(1)本题需要分类讨论吗？本题需要分类讨论吗？_(2)(2)若需要，应把哪个变量作为分类的标准？若需要，应把哪个变量作为分类的标准？x x分类的第一种情况是分类的第一种情况是_；第二种情况是；第二种情况是_. .需要需要1x61x67x127x12【规范答题规范答题】(1)(1)当当x=1x=1时，时，f(1)=p(1)=37f(1)=p(1)=37，2 2分分当当2x122x12，且，且xNxN* *时，时，f(x)=p(x)-p(x-1)f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x= x(x
29、+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)(41-2x)=-3x=-3x2 2+40x+40x，4 4分分验证验证x=1x=1时也符合，时也符合，f(x)=-3xf(x)=-3x2 2+40x(xN+40x(xN* *，且，且1x12).1x12).6 6分分(2)(2)该商场预计第该商场预计第x x月销售该商品的月利润为月销售该商品的月利润为g(x)=g(x)= (-3x (-3x2 2+40x)(35-2x)(xN+40x)(35-2x)(xN* *，且，且1x6)1x6)， (-3x(-3x2 2+40x)+40x) (xN (xN* *, ,且且7x12)7x12)， 6x6x
30、3 3-185x-185x2 2+1 400x(xN+1 400x(xN* *，且，且1x6)1x6)， -480x+6 400(xN-480x+6 400(xN* *, ,且且7x12).7x12).8 8分分当当1x61x6，且，且xNxN* *时，时， 即即g(x)=g(x)=g(x)=18xg(x)=18x2 2-370x+1 400-370x+1 400，令，令g(x)=0g(x)=0，解得解得x=5x=5，x= (x= (舍去舍去).).当当1x51x0g(x)0，当，当5x65x6时，时，g(x)0g(x)0),L=2x+ (x0),则则L=2L=2 . .令令L=0,L=0,得
31、得x=x=16.x0,x=16.16.x0,x=16.经验证当经验证当x=16x=16时时, ,L L极小值极小值=L=Lminmin=64,=64,堆料场的长为堆料场的长为 =32=32米米, ,宽宽1616米米. .答案：答案：32 1632 164.4.将一段长为将一段长为100 cm100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则当弯成圆的一段铁丝长为弯成圆，则当弯成圆的一段铁丝长为_cm_cm时，可使时，可使正方形与圆的面积的和最小正方形与圆的面积的和最小. .【解析解析】设弯成圆的一段长为设弯成圆的一段长为x cmx cm，则另一段长为，则另一段长为(100(100x)cmx)cm，记正方形与圆的面积之和为，记正方形与圆的面积之和为S cmS cm2 2，则，则S S( )( )2 2( )( )2 2(0x100).S(0x15x15时，时，f(x)0f(x)0；当；当10x1510x15时，时，f(x)0f(x)0，因此当，因此当x x1515时，时，f(x)f(x)取最小值，取最小值，f(15)f(15)2 000.2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为1515层层. .
