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1、 高等数学（上）高等数学（上）第二节第二节 洛必达洛必达(LHospital)法则法则可能存在、可能不存在可能存在、可能不存在. .通常把这种极限称为通常把这种极限称为不定式不定式. . 如果当如果当 ( (或或 ) )时，时， 与与 都趋于零或都趋于无穷大，则都趋于零或都趋于无穷大，则并称为并称为 型型 , , 或或 型的不定式型的不定式 . . 高等数学（上）高等数学（上）定理定理1（1）当当 时时, ,函数函数 及及 都趋于零；都趋于零；（3） = = A （或为无穷大）（或为无穷大） （2）在点在点 的某去心邻域的某去心邻域 内，内， 及及 都存在且都存在且 . .那么那么 = = A
2、 高等数学（上）高等数学（上）证证 补充定义补充定义则则 及及 在在 x = a 处连续处连续 .设设 ，则，则 和和 在区间在区间 x ,a 或或 a ,x 上满足上满足柯西中值定理的条件柯西中值定理的条件 . .因而有因而有 高等数学（上）高等数学（上）注注 x a+ , a, , + , 定理仍成立定理仍成立 .对于对于 x 时时 , 令令 则有则有即即定理定理2 成立成立 高等数学（上）高等数学（上）例例1 求求 .解解例例2 求求 . .解解 高等数学（上）高等数学（上）例例3 求求解解 高等数学（上）高等数学（上）洛必达法则洛必达法则有有6 622个个.使用说明使用说明:(1)可反
3、复使用可反复使用,但每次使用前但每次使用前,必须检查是否必须检查是否型或型或 型型;(2)若有可约去因子若有可约去因子,或有非零的极限因子或有非零的极限因子,要先行约去或提出要先行约去或提出.有时有时,也要与无穷小替换也要与无穷小替换、变量代换等方法联合使用变量代换等方法联合使用(要简化和整理要简化和整理)，目的是为了求导数简单目的是为了求导数简单;(3)条件是充分的而非必要条件是充分的而非必要(容后再叙容后再叙). 高等数学（上）高等数学（上）例例4 求求解解 高等数学（上）高等数学（上）例例5 求求 （ , , 为正整数为正整数 . .）解解自己做自己做 求求说明说明说明说明指指指指( (
4、对对对对) )数函数要比幂函数更快数函数要比幂函数更快数函数要比幂函数更快数函数要比幂函数更快( (慢慢慢慢) )地趋于无穷大。地趋于无穷大。地趋于无穷大。地趋于无穷大。 高等数学（上）高等数学（上）例例如如解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效. .注注 定理定理 1 , 2 说明当说明当 A ( 或无穷或无穷 大大)时时, 也存在等于也存在等于 A (或无穷或无穷 大大) . 但当但当 不存在时不存在时 , 并不能断定并不能断定 也不也不存在存在 , 此时只能用其它方法来求此时只能用其它方法来求 .等号是虚拟的等号是虚拟的 高等数学（上）高等数学（上）其它类型的不定式其它类型
5、的不定式例例6 求求 . .解解 高等数学（上）高等数学（上）例例7 求求 解解 高等数学（上）高等数学（上）例例8 求求 .解解 高等数学（上）高等数学（上）例例9 求求 解解 原式原式 高等数学（上）高等数学（上）例例10 求求 .解解 高等数学（上）高等数学（上）例例11 求求 .解解类似类似幂指函数要取对数幂指函数要取对数. . 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（上）高等数学（上）确定常数确定常数a a、b b, ,使极限使极限存在，并求出其存在，并求出其存在，并求出其存在，并求出其值值。 例例12.12.=8/3，其中，其中a=-4/3,b=1/3 高等数学（上）高等数学（上）课堂练习课堂练习=1=1/2=1/2= e 2/= e1/3= 1
