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1、第四章第四章 正弦稳态分析正弦稳态分析 在在线性电路中线性电路中若若激励激励以同一频率以同一频率正弦规律变化正弦规律变化，则，则相应的相应的响应也以同一频率正弦规律响应也以同一频率正弦规律变化，只是幅值和相变化，只是幅值和相位不同。位不同。第一节第一节 正弦量及其描述正弦量及其描述一正弦量的时域表示一正弦量的时域表示 正弦电流正弦电流 正弦电压正弦电压 1周期周期T 频率频率f 和角频率和角频率 2tu(t)Umu0(=T )2相相(位位)角、初相角、初相(角角)与相位与相位差差 为为纵纵轴轴左左边边正正向向最最大大值值的的点点与与原原点点间间的的最最短短距距离离，规规定在定在 | 。 =0的
2、正弦量可视为参考正弦量的正弦量可视为参考正弦量。相相位位差差：两两同同频频率率正正弦弦量量的的相相位位角角之之差差。等等于于它它们们的的初相之差初相之差(与与t无关的常数无关的常数)。ui 0：称称u超前于超前于i或称或称i滞后于滞后于u ；ui0：称称u滞后于滞后于i 或称或称i超前于超前于u；ui =0 ：称：称u与与i 同相同相 ；ui =： 称称u与与i反相反相 ；ui =(2) 称称u与与i正交。正交。3振幅振幅(幅值、最大值幅值、最大值)与与有效值有效值(effective value) 有有效效值值：若若电电流流i在在一一个个周周期期T内内流流过过某某电电阻阻R所所作作的的功功等
3、等于于大大小小为为I的的直直流流电电流流在在这这段段时时间间内内对对同同样样R所所作作的的功功，则则I就定义为的就定义为的i 有效值。有效值。方均方均根值根值 瞬瞬时时值值为为小小写写字字母母i， u；最最大大值值为为大大写写字字母母上上足足标标mIm, Um；有效值同直流有效值同直流为为大写字母如大写字母如I， U。正弦量的有效值正弦量的有效值 交交流流表表指指示示值值、铭铭牌牌额额定定值值通通常常指指有有效效值值(如如220V)；而而耐压值、冲击值往往指最大值耐压值、冲击值往往指最大值。 Um =311V 二正弦量的相量表示二正弦量的相量表示1、正弦交流量的运算、正弦交流量的运算解：直接用
4、三角函数进行：解：直接用三角函数进行：正正弦弦交交流流量量的的运运算算较较复复杂杂。观观察察到到u的的与与u1 、u2相相同同，只只是是振振幅幅与与初初相相这这两两个个要要素素不不同同。将将复复数数与与正正弦弦量量建建立立某种联系，可使运算简化。某种联系，可使运算简化。2、正弦量与复数的关系、正弦量与复数的关系其为两串联感性器件电压，其为两串联感性器件电压， 正弦量为一复数的实部正弦量为一复数的实部称为正弦量称为正弦量i的的有效值相量有效值相量(phasor)。大大写写字字母母I 上上加加小小圆圆点点是是为为了了使使之之与与有有效效值值I 相相区区别别，相相量量不不同同于于一一般般的的复复数数
5、，是是针针对对正正弦弦电电流流i或或正正弦弦电电压压u而而言的复常数言的复常数,反映其幅值和相位。反映其幅值和相位。+i+j(t=0)i(t=t1)t1it1tejt旋转因子，旋转因子， 为旋转矢量在实轴上的投影为旋转矢量在实轴上的投影相相量量与与正正弦弦量量是是一一一一对对应应的的表表示示关关系系。由由正正弦弦量量可可写写出其相量，由相量和角频率出其相量，由相量和角频率 可写出可写出其其正弦量正弦量解：解：4正弦量运算与相量运算的对应正弦量运算与相量运算的对应例例：同频率正弦量相加同频率正弦量相加(减减)对应为相量的加对应为相量的加(减减)。正弦量的加减运算正弦量的加减运算例例 1已知已知用
6、用相量形式求相量形式求u1+u2解：解：DRGDRG显显示示“DEG”2 2ndFndF CPLXCPLX 5 5 a a 3030 b b 2 2ndFndF xyxy + + 1010 a a 6060 b b 2 2ndFndF xyxy = =显显示示“9.33” b b 显显示示“11.16” 2 2ndF ndF rr 显示显示“14.55” b b 显示显示“50.1” 可见可见相量计算比三角函数法计算简便相量计算比三角函数法计算简便。 例例2：(5+j4) (6+j3)=18+j392 2ndFndF CPLXCPLX 5 5 a a 4 4 b b 6 6 a a 3 3 b
7、 b = =显显示示“18” b b 显显示示“39”例例3：3 3 +/-+/- a a 4 4 +/-+/- b b 2 2ndFndF rr 显显示示“5” b b 显显示示“-126.8698”例例4： 10-60 =5-j8.66 1010 a a 60 60 +/-+/- b b 2 2ndFndF xyxy 显示显示“5” b b 显示显示“-8.66”正弦量的微分与积分计算正弦量的微分与积分计算正弦量求导与相量正弦量求导与相量j对应对应正弦量正弦量积分与相量积分与相量 j对应对应同理同理振幅振幅为原来的为原来的 倍倍，初相，初相增加增加90振幅为原来的振幅为原来的1/ 倍倍，初
8、相，初相减小减小90 正弦稳态下正弦稳态下R、L、C 等元件的等元件的VAR涉及建立正涉及建立正弦量微分方程，由以上可知弦量微分方程，由以上可知正弦量微分方程正弦量微分方程可对应可对应为的为的相量的代数方程相量的代数方程。因而正弦稳态分析可用比较。因而正弦稳态分析可用比较简便的简便的相量法相量法进行。由电路直接建立相量方程，首进行。由电路直接建立相量方程，首先要先要确定电路元件的相量模型及确定电路元件的相量模型及VAR的相量形式。的相量形式。第二节第二节 电阻、电感和电容的相量形式的电阻、电感和电容的相量形式的VAR一、一、R元件：元件：R i 当当UL 一一定定时时，L越越大大，IL 就就越
9、越小小，XL =L 称称为为感感抗抗,量量纲纲L=VA= 越越大大，XL 越越大大，高高频频信信号号就就越难以通过越难以通过L；=0，XL =0,直流下直流下L可等效为短路可等效为短路.二、二、L元件：元件：ijL三、三、C元件：元件：UC 一定时一定时1C越大越大IC 就越小就越小XC = -1C称为容抗称为容抗量纲量纲1C=VA=, 越大，即越大，即XC 越小越小时，高频信号就越容易通过时，高频信号就越容易通过C；=0，即，即XC 时，时，直流情况下直流情况下C可等效为开路可等效为开路.1( jC)+ u 第三节第三节 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳 一
10、、一、KCL、KVL的相量形式的相量形式：R、L、C相量形式的相量形式的VAR二、复阻抗、欧姆定律的相量形式：二、复阻抗、欧姆定律的相量形式：线线性性无无源源一一端端口口网网络络端端口口电电压压相相量量与与电电流流相相量量之之比比称称为为等效复阻抗等效复阻抗Z (complex impedance) 欧姆定律的欧姆定律的相量形式相量形式N0 ZZ是普通的复数，不是相量，是普通的复数，不是相量，Z上方不打圆点上方不打圆点Z=|Z|ZZ=R + jX |Z| RXzRjX + +等效复阻抗等效复阻抗Z Z的两种坐标表示的两种坐标表示1 1、代数形式、代数形式2 2、极坐标形式、极坐标形式R、L、C
11、的的复阻抗复阻抗N个复阻抗串联：个复阻抗串联：阻抗阻抗“性质性质”：RjXX=0(Z = 0) 同相，同相，N0呈电阻性呈电阻性(谐振状态谐振状态)X0(Z 0(Z = 0) N0呈呈(电电)感性感性相量形式分压公式：相量形式分压公式：3 、Z的的“串联模型串联模型”对应的阻抗对应的阻抗与其电压与其电压相相似似|Z| X zRUUXURzZ=R + jXRjX + +4、复导纳复导纳Y (complex admittance) YGjB|Y|GBIIBIGY的的“并联模型并联模型” 的的导纳导纳与其电流与其电流相相似似Y与与Z的关系的关系 ：（1）（2） 例例1：图图示示电电路路已已知知： ，
12、试试求求正弦稳态下的正弦稳态下的i 、uR 、uL 与与uC ，并作相量图。并作相量图。 i 1512mH5F+ uR -+ uL - -+ uS - -+ uC - -对正弦量的二阶微分方程很难求解。对正弦量的二阶微分方程很难求解。解：解：建立电路的相量模型建立电路的相量模型15j60 j40+ - -+ - -+ - -+ - -26.9第四节第四节 正弦稳态电路的一般相量分析法正弦稳态电路的一般相量分析法一、分析方法概述：一、分析方法概述： 对对于于电电阻阻电电路路的的等等效效变变换换、独独立立变变量量法法、网网络络定定理理在正弦稳态下变为相量形式的各方法。在正弦稳态下变为相量形式的各方
13、法。 （4）所所有有的的方方程程均均为为相相量量与与复复数数的的关关系系式式，不不但但有有大大小小关关系系，还还有有相相位位关关系系。且且一一个个复复数数方方程程可可对对应应为为两两个个实数方程实数方程(实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程实部方程与虚部方程或模方程与辐角方程)。相量分析法还具有以下特点：相量分析法还具有以下特点：（1） 涉及复数运算，计算量大。涉及复数运算，计算量大。（2）阻抗串联模型的）阻抗串联模型的阻抗阻抗、电压、电压及功率及功率相似相似；导纳并联模型的导纳并联模型的导纳导纳、电流、电流及功率及功率相似相似。（3）借助一些几何关系及相位关系）借助一些几何关系及相位关系(如
14、等腰如等腰、等边、等边、同相、反相、正交等同相、反相、正交等)使分析简化。使分析简化。（5）功率花样多。）功率花样多。例例1：求图示电路各节点的电压：求图示电路各节点的电压：解：解：22j1j2给出给出 写出原电路各电气量瞬时表达式写出原电路各电气量瞬时表达式例例2：求图示二端网络的戴维南等效相量模型。：求图示二端网络的戴维南等效相量模型。-j810j10解：解：5j3CLRiRiL+ +uL-+ +uS- -例例3： 图示正弦交流电路中，已知图示正弦交流电路中，已知US =100V，IR =3A，IL =1A，=1000rad/s，且有，且有uL 超前超前uS 60o 。试求参数。试求参数R
15、、L、C之值。之值。解解：相量图法相量图法例例4：图示正弦交流电路中，若图示正弦交流电路中，若I1 =I2 =40A，求电流，求电流I的的值。值。解解：相量图相量图 令令第五节第五节 正弦稳态功率正弦稳态功率 一、瞬时功率一、瞬时功率p(instantaneous power)N+ +u- -i则网络则网络N吸收的瞬时功率：吸收的瞬时功率： Tu、i、Pt0iPuUI cos二、二、平均功率平均功率P(average power)R、L、C元件的功率表达式如下：元件的功率表达式如下：p的算术平均值的算术平均值 P = UI cos 反映了反映了N消耗的平均功率，消耗的平均功率，N的平均耗能速率
16、的平均耗能速率；亦称为有功功率亦称为有功功率(active power) 。= cos 称称为为功功率率因因数数( power factor) , 称称为为功功率率因因数数角角(N无无源源时时为为阻阻抗抗角角)。 后后面面附附加加“滞滞后后”指指i滞滞后后于于u(感性感性)；“超前超前”指指i超前于超前于u(容性容性).三、无功功率三、无功功率Q（reactive power） 注注意意：Q L = UL IL 0，Q C =UC IC 0时为感性时为感性二、串联谐振的特征二、串联谐振的特征 1：Z0 =R，纯电阻性纯电阻性，且，且| Z0|为为| Z |的最小值的最小值。 2：为回路的为回路
17、的特性阻抗特性阻抗取决于取决于L和和C，与信号源无关，量与信号源无关，量纲为纲为 3：串联谐振时的电压关系：串联谐振时的电压关系： Q值值的的大大小小反反映映了了谐谐振振的的程程度度。实实际际谐谐振振电电路路的的Q值值可达几十至几百。可达几十至几百。串联谐振：串联谐振：4： 串联谐振时的能量关系串联谐振时的能量关系三、串联谐振时的能量关系三、串联谐振时的能量关系总能量恒定不变，且为电场或磁场能量的最大值。总能量恒定不变，且为电场或磁场能量的最大值。 5: 谐谐振振时时电电路路与与电电源源不不再再交交换换能能量量，仅仅在在回回路路内内L、C间交换能量。间交换能量。6: Q值值较较大大，微微弱弱的
18、的激激励励源源可可维维持持较较大大的的谐谐振振能能量量、电电压与电流。压与电流。LSRSC解：解：0 0 = = = 5010= 50106 6 rad/srad/s，= =0 0 L L=1000=1000例例1 1已知已知= 5010= 50106 6 rad/srad/s，QL L =100 =100，L = 200H= 200H，US S =100V =100V，求谐振时求谐振时C = =？I0 0 = =？= =？UC C 0 0 = =？R = =？一、一、GCL并联谐振电路并联谐振电路 与与RLC串联谐振电路对偶，有下表串联谐振电路对偶，有下表 CL第八节第八节 并联谐振电路并联
19、谐振电路并联谐振电路并联谐振电路 RLC串联谐振串联谐振GCL并联谐振并联谐振第九节第九节 三相电路三相电路 多相制多相制多个同频率同幅值不同初相的正弦电源按一定方式多个同频率同幅值不同初相的正弦电源按一定方式联接的电路。主要有：二相、三相、六相及十二相等。联接的电路。主要有：二相、三相、六相及十二相等。 电力系统大多电力系统大多采用三相制采用三相制电路，其具有以下优点：电路，其具有以下优点： 1）同样尺寸的）同样尺寸的三相电机比单相电机功率大三相电机比单相电机功率大、且运行平稳（、且运行平稳（p = P，平衡制）、结构简单、易维护、价格低；平衡制）、结构简单、易维护、价格低； 2）输送功率相
20、同时，三相制比单相制可）输送功率相同时，三相制比单相制可节省约节省约25%的有色金属。的有色金属。一、三相电源及其联接一、三相电源及其联接1对称三相电源：由同频率、等幅值、初相位互差对称三相电源：由同频率、等幅值、初相位互差120的三个正的三个正弦电压按一定对称方式联接而成。这三个电源依次称为弦电压按一定对称方式联接而成。这三个电源依次称为A相、相、B相相和和C相（国标称相（国标称L1相、相、L2相、相、L3相），即以相），即以uA为参考正弦量。为参考正弦量。120120120uuAuBuC0则则有有AXBYCZ对称性对称性(symmetrical)引入对称相位算子：引入对称相位算子： 相相序
21、序各各相相到到达达正正向向最最大大值值的的次次序序（从从越越前前到到滞滞后后的的轮轮换换次次序序）。 上上 图图 为为 ABCA， 称称 为为 正正 (相相 )序序 .若若 反反 之之 ， 相相 序序 为为ACBA，则为则为负负序序,不作特别说明，均指正序。不作特别说明，均指正序。2三相电源的联接方式三相电源的联接方式相电压相电压端线与中线间的电压端线与中线间的电压(对称时有效值记为对称时有效值记为Up ):线电压线电压各端线间的电压各端线间的电压(对称时有效值记为对称时有效值记为Ul )如如:1) Y联接联接 ANBC+ +XYZNABC由相量图得由相量图得2) 联接联接 A(Z)B(X)C
22、(Y)ABC 联接联接时时,线电压与相电压为同一个电压线电压与相电压为同一个电压Ul=Up，三相电压源构三相电压源构成一个回路，若电压源顺序接错，回路上的成一个回路，若电压源顺序接错，回路上的电压之和电压之和则则不为零不为零,由于电源内部阻抗很小，由于电源内部阻抗很小， 将会产生很大的环流，使电源损坏。将会产生很大的环流，使电源损坏。一般用图示电路来判断连接的正确与否一般用图示电路来判断连接的正确与否.3三相负载的联接方式三相负载的联接方式ABCNABC由由三相电源供电的负载称为三相电源供电的负载称为三相负载三相负载,也有两种联接方式也有两种联接方式:Y或或4三相电路三相电路:由三相电源和三相
23、负载构成的复杂的交流电路由三相电源和三相负载构成的复杂的交流电路. 三相电源三相电源一般一般保持保持绝对的绝对的对称，三相负载可对称对称，三相负载可对称(各相相等各相相等),可不对称可不对称(各相不等各相不等).因此因此,三相电路又可分为三相电路又可分为对称三相电路对称三相电路和和不不对称三相电路对称三相电路.1)对称三相电路的分析对称三相电路的分析 根据电源和负载联接方式的不同，可构成根据电源和负载联接方式的不同，可构成Y-Y系统，系统， -系统以及系统以及Y -系统，系统， -Y系统，系统，后两种系统一般通过负载的后两种系统一般通过负载的-Y变换化为前两种系统变换化为前两种系统的分析。的分
24、析。对称对称Y-Y系统系统ABCABCZZZZlZlZlZNN由由弥尔曼定理弥尔曼定理得：得：ANBC+ABCNZlZNZlZlZZZN对称对称Y-Y系统系统对称对称Y-Y系统讨论：系统讨论：1）由于）由于中线中线上的电压、电流为零，因此中线存在与否，中线阻上的电压、电流为零，因此中线存在与否，中线阻抗的大小抗的大小对于电路的计算无影响对于电路的计算无影响。2）因为中线上的电压为零，中线可缩为一个节点，这样各相的）因为中线上的电压为零，中线可缩为一个节点，这样各相的计算就具有计算就具有独立性独立性。可在某。可在某一相的回路中求解电路一相的回路中求解电路。AAZZlNNCCZZlNNBBZZlN
25、N3）由于三相电流及负载电）由于三相电流及负载电压对称，可压对称，可只求一相的值，只求一相的值，其它各相直接写出其它各相直接写出。对称对称-系统系统ABCAB C 将负载经将负载经-Y变换，电源变为变换，电源变为Y联接，系统变为联接，系统变为Y YABCABCZ/3Z/3Z/3ZlZlZlZNN三角形连接的对称负载中，相电压等三角形连接的对称负载中，相电压等于线电压于线电压; 相电流和线电流分别对称，相电流和线电流分别对称，且有线电流是相电流的且有线电流是相电流的 倍倍ABCAB C 例、已知：例、已知：Z=4.5+j14 , Zl=1.5+j2 , Ul=380V。求：负载端的线电压、线电流
26、和相电流。求：负载端的线电压、线电流和相电流。ABCABCZZZZlZlZlNNA解：利用解：利用Y变换，将电路化为变换，将电路化为YY系统计算，然后系统计算，然后再化为一相来计算。再化为一相来计算。AAZZlNNABCAB C 对称对称-系统系统2)不对称三相电路的分析不对称三相电路的分析ABCZAZBZCZNNNS1、不接中线时（、不接中线时（S打开时）打开时）负载不对称负载不对称负载相电压不对称负载相电压不对称负载工作条件变化。负载工作条件变化。点点N 、N电位不等电位不等中性点位移中性点位移。ABCZAZBZCZNNNS各负载电压对称，可正常工作各负载电压对称，可正常工作 实际工作中，
27、中线保证不致断开，实际工作中，中线保证不致断开，不允许不允许接入开关和保险丝接入开关和保险丝2、有中线，、有中线， ，（开关闭合），（开关闭合）， 为了保证负载能正常工作，可接上为了保证负载能正常工作，可接上阻抗很小的中线。阻抗很小的中线。 三相电路的不对称主要由负载不对称引起，极限的三相电路的不对称主要由负载不对称引起，极限的情况是负载短路和开路的情况，保持电源不变，按一情况是负载短路和开路的情况，保持电源不变，按一般电路分析。般电路分析。 比如没有中线时，比如没有中线时，Zc断开，则断开，则ZA和和ZB串联，各分串联，各分一半线电压一半线电压.5三相电路的功率三相电路的功率:三相负载的平均
28、功率等于各相负载平均功率之和。三相负载的平均功率等于各相负载平均功率之和。在对称三相电路中有：在对称三相电路中有：三相负载的无功功率等于各相负载无功功率之和。三相负载的无功功率等于各相负载无功功率之和。在对称三相电路中有：在对称三相电路中有：三相负载的视在功率：三相负载的视在功率：在对称三相电路中有：在对称三相电路中有：三相三相对称对称负载的瞬时功率：负载的瞬时功率：1）三相电路的功率基本概念）三相电路的功率基本概念:2）三相电路的功率的测量）三相电路的功率的测量:瓦特表读数：瓦特表读数：其中其中UW为为电压线圈所接端子间的电压，电压线圈所接端子间的电压，方向由同名端指向非同名端方向由同名端指
29、向非同名端， IW为为与与电流线圈串接支路上的电流，方向由电流线圈串接支路上的电流，方向由同名端流向非同名端同名端流向非同名端。W*ABCNZZZWW*ABCNZAZBZCWW*WW*WABCW*WW*W三三相相负负载载一瓦法：只用于测三相四线制对一瓦法：只用于测三相四线制对称负载。称负载。三瓦法：用于测三相四线制不对三瓦法：用于测三相四线制不对称负载。称负载。二瓦法：用于测三相三线制任意二瓦法：用于测三相三线制任意负载。负载。对称负载时有：对称负载时有：1. 正弦量、相量、相量模型、相量图、正弦量、相量、相量模型、相量图、复阻抗、复导纳等概念；复阻抗、复导纳等概念；3.有功功率、无功功率、视
30、在功率和有功功率、无功功率、视在功率和复功率的计算；复功率的计算；4.功率因数的提高；功率因数的提高；5串联谐振串联谐振、并联谐振电路的特点；并联谐振电路的特点；6. 三三相电路的基本相电路的基本概念概念和分析和分析方法方法，功率的计算与测量。功率的计算与测量。第四章小结第四章小结2. 相量法相量法分析分析正弦正弦稳态稳态交流电路交流电路 ； 课课 堂堂 练习练习1、图示移相电路，虚框为某绕组其、图示移相电路，虚框为某绕组其R=750，L=215mH。为了使绕组上的电压对电源电压相移为了使绕组上的电压对电源电压相移/2 ，取，取C=？同时，若？同时，若绕组上的电压为绕组上的电压为85V，电源电
31、压应为多少？，电源电压应为多少？LRC+ uRL +uC2、图示两套完全相同的线圈中，电阻和、图示两套完全相同的线圈中，电阻和感抗感抗都是都是是是 2120。如在一组线圈中串联一只电容器。如在一组线圈中串联一只电容器，要使，要使两线圈两线圈电流相等，相位相差电流相等，相位相差90。，则在，则在f=50Hz时应串联多大的时应串联多大的电容？若电容？若 ,求求I。题题1题题2RjXLjXCjXLRR3CLR2R1VW4、图示电路，求元件参数值，已知、图示电路，求元件参数值，已知:RC5mHCC3、图示电路，所有激励源的角频率均为、图示电路，所有激励源的角频率均为=10=105 5rad/srad/
32、s，但，但它们的大小和相位均未知。当它们的大小和相位均未知。当R=1.5k时，时， ；C=0.04F，求，求R=0.5k时，电流时，电流 的值。的值。题题3题题46、图示电路，当、图示电路，当 时，时，i1(t)=0，且，且电压电压uS(t)与电流与电流i(t)同相。求同相。求:（1）电感）电感L2的值；（的值；（2）电）电流流iC1(t) 。R2R1L11H1C11FL2C2250F5. 所示电路中，已知所示电路中，已知(1) 画出图中各电压、电流相量图画出图中各电压、电流相量图;(2)电路吸收的有功功率电路吸收的有功功率P 和无功功率和无功功率Q 。题题5题题61. 解：解：2. 解：解：500R+- -abZi组成戴维南组成戴维南等效电路等效电路 3. 解：解：4. 解：解：605. 解：解：令：令：则：则：画出相量图：画出相量图：306. 解：解：
