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1、中值定理与导数应用习题课1 1洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容21 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理32 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.43 3、柯西中值定理、柯西中值定理推论推论54 4、洛必达法则、洛必达法则定义
2、定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.65 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理7 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式86 6、导数的应用、导数的应用定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法9定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法10定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义函数的
3、极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .11定理定理( (第一充分条件第一充分条件) )定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )12求极值的步骤求极值的步骤: :13步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值
4、那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题14实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1516定理定理1 117方法方法1:1:方法方法2:2:18利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘19第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的
5、水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步20(6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式21定义定义22例例1 1解解二、典型例题23这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.24例例2 2解解25例例3 3证证由介值定理由介值定理,26注意到注意到由由, 有有+ ,得得27例例4 4证证28例例5 5证证29 ,则有则有30例例6 6解解31若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有32解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为33例例7 7解解奇函数奇函数3435列表如下列表如下:36极大值极大值拐点拐点极小值极小值37作图作图38测测 验验 题题3940414243444546测验题答案测验题答案47
