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1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 2.5.1 2.5.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法ks5u精品课件平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。ks5u精品课件ks5u精品课件 向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问
2、题，包括相似问题，常证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件用向量平行（共线）的条件 ab . (2)证明垂直问题证明垂直问题,常用向量垂直的条件常用向量垂直的条件ab .ks5u精品课件利用夹角公式利用夹角公式 (3)求夹角问题求夹角问题 ， (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模向量的模|a|= 或或|AB|=|AB|= .ks5u精品课件探究（一）：探究（一）：推断线段长度关系推断线段长度关系 思考思考1 1：如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，已中，已知知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2B
3、D=2，那么对角线，那么对角线ACAC的的长是否确定？长是否确定？A AB BC CD D= =a+ +b, = =a- -b 思考思考2 2：设向量设向量 a， b，则向量则向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ ks5u精品课件思考思考3 3：AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，用向量语言，用向量语言怎样表述？怎样表述？思考思考4 4：利用利用 ，若求，若求 需要解决什么问题？需要解决什么问题？A AB BC CD Dab思考思考5 5：利用利用| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，| |ab|=2|=2，如何求如何求ab？ 等于多少？等于多少？|
4、 |a|=2|=2，| |b|=1|=1，| |a- -b|=2.|=2.ks5u精品课件思考思考6 6：根据上述思路，你能推断平行四根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？度之间具有什么关系吗？平行四边形两条对角线长的平方和等于平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍两条邻边长的平方和的两倍. 思考思考7 7：如果不用向量方法，你能证明上如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？述结论吗？ ks5u精品课件例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和A
5、BDC分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示.解：解：设 ，则求证：求证：ks5u精品课件 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素
6、.用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形ks5u精品课件探究（二）：探究（二）：推断直线位置关系推断直线位置关系 思考思考1 1：三角形的三条高线具有什么位置三角形的三条高线具有什么位置关系？关系？ 交于一点交于一点思考思考2 2：如图，设如图，设ABCABC的两条高的两条高ADAD与与BEBE相交于点相交于点P P，要说明，要说明ABAB边上的高边上的高CFCF经过点经过点P P，你有哪些办法？，你有哪些办法？ A AB BC CD DE EF FP P证明证明PCAB.PCAB.
7、ks5u精品课件思考思考4 4：对于对于PABCPABC，PBACPBAC，用向量观，用向量观点可分别转化为什么结论？点可分别转化为什么结论？思考思考3 3：设向量设向量 a， b， c，那么那么PCBAPCBA可转化为什么向量关系？可转化为什么向量关系？ A AB BC CD DE EF FP Pabc c( (ab) )0 0. a(cb) )0 0，b( (ac) )0 0.ks5u精品课件思考思考5 5：如何利用这两个结论如何利用这两个结论: : a(cb) )0 0，b(ac)0 0 推出推出c( (ab) )0 0？ 思考思考6 6：你能用其它方法证明三角形的三你能用其它方法证明三
8、角形的三条高线交于一点吗？条高线交于一点吗？A AB BC CD DE EF FP Pks5u精品课件探究（三）：探究（三）：计算夹角的大小计算夹角的大小 思考思考1 1：如图，在等腰如图，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分分别是两条腰别是两条腰ABAB、ACAC的中点，若的中点，若CDBECDBE，你认为你认为A A的大小是否为定值？的大小是否为定值？A AB BC CD DE Eks5u精品课件思考思考2 2：设向量设向量 a， b，可以利，可以利用哪个向量原理求用哪个向量原理求A A的大小？的大小？A AB BC CD DE Eabks5u精品课件思考思考3 3：以以a，b为为基
9、底，向量基底，向量 ， 如如何表示？何表示？ A AB BC CD DE Eab思考思考4 4：将将CDBECDBE转化为向量运算可得什转化为向量运算可得什么结论？么结论？ ab = （a2b2） ks5u精品课件思考思考5 5：因为因为ABCABC是等腰三角形，则是等腰三角形，则| |a|=|=|b| |，结合上述结论，结合上述结论: : ab = ( (a2b2 ), ),cosAcosA等于多少？等于多少？A AB BC CD DE Eabks5u精品课件例例2 2 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC的中点，的中点
10、，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC相交于点相交于点R R、T T，试推断，试推断ARAR、RTRT、TCTC的长的长度具有什么关系，并证明你的结论度具有什么关系，并证明你的结论. .A AB BC CD DE EF FR RT T 结论结论:AR=RT=TC:AR=RT=TC ks5u精品课件解：设解：设 则则由于由于 与与 共线，故设共线，故设又因为又因为 共线，共线，所以设所以设因为因为 所以所以ABCDEFRTks5u精品课件不共线，不共线，故故AT=RT=TCABCDEFRTks5u精品课件例例3：如图：如图4-4-1,在在RtBAC中中,已知已知BC=a,若长为若长为 2a 的
11、线段的线段PQ以点以点A为中点为中点,问问PQ与与BC的夹角的夹角取何取何值时值时BPCQ的值最大的值最大?并求出这个最大值并求出这个最大值. 【分析分析分析分析】 解答本题的解答本题的关键是要结合图形关键是要结合图形,利用向利用向量量 的三角形法则找出向量的三角形法则找出向量之间的关系之间的关系;或建立适当的或建立适当的坐标系坐标系,利用向量的坐标形利用向量的坐标形式来解答式来解答.ks5u精品课件【解析解析解析解析】解法一解法一:ABAC，ABAC=0.AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC,BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-
12、APAC+ABAP=-a2+AP(AB-AC)=-a2+ PQBC=-a2+a2cos，故当，故当cos=1,即即=0(PQ与与BC的方向相同的方向相同)时时,BPCQ最大最大, 其最大值为其最大值为0.ks5u精品课件解法二解法二:以直角顶点以直角顶点A为坐标原点为坐标原点,两直角边所在直线为两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设设|AB|=c,|AC|=b,则则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且且|PQ|=2a,|BC|=a,设点设点P的坐标为的坐标为(x,y),则则Q(-x,-y).BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b
13、),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y),BPCQ=(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by.ks5u精品课件 【评析评析评析评析】 平面向量的数量积的运算法则把平面向平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起量与实数紧密地联系在一起, 使它们之间的相互转化得使它们之间的相互转化得以实施以实施.因此因此,一方面我们要善于把向量的有关问题通过一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题数量积转化为实数问题,利用实数的有关知识来解决问题利用实数的有关知识来解决问题;另一方面另一方面,也要善于把实数问题转化为向量问题也要善于把实数问题转化
14、为向量问题,利用向利用向量作工具来解决相关问题量作工具来解决相关问题. ,cx-by=a2cos,BPCQ=-a2+a2cos.故当故当cos=1,即即=0(PQ与与BC方向相同）时，方向相同）时，BPCQ最最大，其最大值为大，其最大值为0.ks5u精品课件练习、证明直径所对的圆周角是直角练习、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90分析：分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90思考：能否用向量思考：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？ks5u精品课件小结作业小结作业1.1.用向量方法
15、解决平面几何问题的基本用向量方法解决平面几何问题的基本思路：几何问题向量化思路：几何问题向量化 向量运算关向量运算关系化系化 向量关系几何化向量关系几何化. .2.2.用向量方法研究几何问题，需要用向用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决量问题来解决. .它既是一种数学思想，也它既是一种数学思想，也是一种数学能力是一种数学能力. .其中合理设置向量，并其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键建立向量关系，是解决问题的关键. .ks5u精品课件作业：作业：P113P113习题习题2.5A2.5A组：组：1 1，2.2. B B组：组：3.3.ks5u精品课件
