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1、几何概型及蒲丰投几何概型及蒲丰投针试验针试验主讲：詹晓琳主讲：詹晓琳主要内容v几何概型v几何概型的应用v蒲丰投针试验v蒙特卡罗方法几何概型GeometricProbabilityv古典概型的本质特征：1、样本空间的有限性2、样本点的等可能性一般地说，当试验结果为无限时，会出现一些本质的困难，使问题不像有限时那么容易解决，这里讨论其中具有某种“等可能性”的一类问题。几何概型GeometricProbabilityv问题1：假设车站每隔10分钟发一班车，乘客随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率？v问题2：已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积1000平方公里的海域，调查人员每次出海搜索的区域面积
2、为50平方公里，假设在这片海域随机地选择一点进行搜寻，问能够找到黑匣子的概率是多少？几何概型GeometricProbabilityv“等可能”的确切意义：设在区域中有任意一个小区域的A,如果它的面积为S(A),则点落入A中的可能性大小与S(A)成正比，而与A的位置及形状无关。A几何概型GeometricProbabilityv几何概型：将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。注：几何度量是指长度、面积、体积。几何概型的应用例1：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间2,3上的概率。几何概型
3、的应用例2：甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。30301010yx几何概型的应用v思考题：一个圆的所有内接三角形中，其中是锐角三角形的概率是多少？几何概型总结v几何概型的特征：1、试验E的样本空间有一个可度量的几何图形；2、试验E可以看成在中等可能地投掷一点；3、事件A就是所投掷的点落在中的可度量几何图形A中。蒲丰ComtedeBuffon17071788，法国数学家，自然科学家，几何概率的开创者，以蒲丰投针问题闻名于世。蒲丰投针问题Buffon
4、sneedleproblem在平面上画有等距离为的一些平行线，向平面上随机投一长的针。1768年，蒲丰利用投针试验估计值。蒲丰投针问题的求解解：设针投到平面上的位置可以用一组参数来描述，为针的中心距离最近一条平行线的距离，为针与平行线正方向的夹角。则该试验的样本空间为设平行线与针相交为事件，因为针与平行线相交的充要条件是，即蒲丰投针问题的求解因为由几何概型知蒲丰投针问题的求解针与平行线相交的概率与有关，现将m根长为的针投向平面，记针与平行线相交的频率为，其中n为相交的次数。由大数定律知：故有：即可以通过投针试验求的近似值。试验演示试验演示蒲丰投针试验的结果一些人进行了试验，将结果列于下表：蒙特
5、卡罗的基本思想v由蒲丰投针试验可以看出：1、当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望；2、通过某种试验的方法，可以得出该事件发生的频率，或者该随机变量的样本均值；3、利用大数定理得到的关于频率和样本均值的收敛性，可以得到有关的解。蒙特卡罗方法MonteCarloMethodvMonteCarlo方法：亦称统计模拟方法，statisticalsimulationmethod即利用随机数进行数值模拟的方法。为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过计算机来模拟
6、随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，因此又称为计算机模拟。MonteCarlo名字的由来vMonteCarl是由是由Metropolis在二次世界大战在二次世界大战期间提出的：期间提出的：Manhattan计划，研究与原子计划，研究与原子弹有关的中子输运过程。弹有关的中子输运过程。Nicholas Metropolis (1915-1999)vMonteCarlo是摩纳哥（是摩纳哥（Monaco)的首都，的首都，该城以赌博闻名。该城以赌博闻名。Monte-Carlo, Monaco蒙特卡罗方法的应用用传统方法难以解决的问题中，特别针对随机模型由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用。在这种情况下，可以考虑采用MonteCarlo方法。例如：排队系统。课后作业v几何概型：P17：15，P31:14，思考题v蒙特卡罗方法：对蒲丰投针试验进行蒙特卡罗模拟，取a=2,l=3,得到的值。
