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1、第五章角动量守恒定律5-1角动量守恒定律5-1-1质点的角动量1. .质点的圆周运动质点的圆周运动平动动量：动量：对圆心的角动量：大小大小:mO方向方向:满足右手关系满足右手关系,向上向上.(对某定点对某定点,定轴定轴)()J 转动惯量转动惯性5-1-1质点的角动量2. 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动对定点对定点(太阳太阳)的的角动量：大小：大小：方向：方向：3. 一般定义：一般定义：对O点的角动量：SunOxyz方向：方向：说明：1 .角动量是矢量角动量是矢量(kgm2s-1).3 .角动量的方向：角动量的方向：4 .质点直线运动对某定点的角动量：质点直线运
2、动对某定点的角动量：大小大小方向：方向： 如何使如何使 L=0？等于零2 .角动量对不同点角动量对不同点(轴轴)一般是一般是 不同的不同的. 与与 同方向同方向吗？Omdo共轴共轴转动惯量转动惯性的量度5-1-2质点系的角动量5-1-3角动量守恒定律回忆中学的表达式？回忆中学的表达式？ o对对O点的力矩点的力矩 Md5-2力矩角动量定理5-2-1力矩质点角动量定理方向用右手螺旋yxzO类比积分形式?5-2-2质点角动量定理t1t2冲量矩角冲量右手系角动量守恒开普勒第二定律例例：m 行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积等的面积.Kepler laws5
3、-2-3角动量守恒定律行星受力方向与矢径在一条直线（有心力），故行星对太阳的角动量守恒.m m 行星的动量时刻在变行星的动量时刻在变,但其但其角动量角动量可维持不变可维持不变.在研究质点受在研究质点受有心力有心力有心力有心力作用的运动时作用的运动时,角动量将代替角动量将代替动量起着重要的作用动量起着重要的作用.质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒.5-2-4质点在有心力作用下的运动r1r2v1v2o有心力对力心的力矩恒为零例例:半径为半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿在的小球穿在圆环上，开始小球静止于圆环上，开始小球静止于A点并下滑点并下滑.求求:小球滑至
4、小球滑至B点时（点时（ ）对对O点的角动量和角速度点的角动量和角速度.解：分析力解：分析力方法方法1: 重力矩重力矩: 由由: 对对O点力矩为零点力矩为零方向方向: (1)OABRvGrL=L( )(2)(2)代入代入(1) :由由方法方法2: 由机械能守恒由机械能守恒(2)得得(1)例例: 质量为质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔缓的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔缓慢下拉慢下拉，水平面光滑，开始小球作圆周运动水平面光滑，开始小球作圆周运动( r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周的圆周.解解：1 作用在小球的力始终作用在小球的力始终通
5、过通过O点点(有心力有心力)求：求： v2 =？ (2)由由r1r2时，时，F 做做的功的功.2 r1r2v1v2o由质点角动量守恒由质点角动量守恒试求试求: :该质点对原点的角动量矢量该质点对原点的角动量矢量. .解：解：例例:一质量为一质量为m的质点沿一条二维曲线运动的质点沿一条二维曲线运动其中其中a,b, 为常数为常数 (恒矢量)或由或由判断下列情况角动量是否守恒：圆锥摆运动中圆锥摆运动中,做水平匀速做水平匀速圆周运动的小球圆周运动的小球m.(1)对对C点的角动量点的角动量 CCO(2)对对O点点的角动量的角动量(3)对竖直轴对竖直轴CC的角动量的角动量说 明3 角动量守恒定律是独立于牛
6、顿定律的角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然界中更普适的定律之一自然界中更普适的定律之一.4 角动量守恒定律只适用于惯性系角动量守恒定律只适用于惯性系.2 守恒指过程中任意时刻守恒指过程中任意时刻.1 角动量守恒条件：角动量守恒条件：合外力矩为零.合外力为零合外力为零, 力矩不一定为零力矩不一定为零, 反之亦然反之亦然.结论：一对作用力、反作用力对定点(定轴)的合力矩等于零.o5-2-5质点系的角动量定理一、 一对力对定点的力矩一对内力质点系角动量F Fi iP Pi io二、质点系的角动量定理合外力矩为零，质点系总角动量守恒三、质点系的角动量守恒定律牛二+牛三角动量定理角动量定理积分形式角动
7、量定理积分形式说 明3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然界中更普适的定律之一自然界中更普适的定律之一.4 角动量守恒定律只适用于惯性系角动量守恒定律只适用于惯性系.2 守恒指过程中任意时刻守恒指过程中任意时刻.1 角动量守恒条件：角动量守恒条件：合外力矩为零.合外力为零合外力为零, 力矩不一定为零力矩不一定为零, 反之亦然反之亦然.即：虽然即：虽然 ,但对某轴外力矩为零但对某轴外力矩为零,则总则总角动量不守恒角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的但对这轴的角动量是守恒的.3 由分量式：角动量守恒的几种可能情况：1孤立系.2有心力场,对力心角动量守恒.为什么星
8、系是扁状，盘型结构？为什么星系是扁状，盘型结构？引力使星团压缩引力使星团压缩, ,角动量守恒角动量守恒惯性离心力惯性离心力离心力与引力达到平衡离心力与引力达到平衡, ,r 就一定了就一定了. .而与角动量平行方向无限制,最终压缩成铁饼状.例例: 半径为半径为r 的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处水平地固定在高处,其其上穿过一条轻绳上穿过一条轻绳,质量相同的两人质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速以不同的爬绳速率率vA、vB从同一高度同时向上爬从同一高度同时向上爬,试问谁先到达试问谁先到达O处处.解解:对象对象: 滑轮滑轮+绳绳+A+B, 可见可见,不论不论A、B对绳的速率对绳的
9、速率vA、vB如如何何,二人对二人对O的速率相同的速率相同,则则受外力受外力:mAg =mBg =mg, N, 对对z 轴的合力为轴的合力为0.对对z轴轴,系统角动量守恒系统角动量守恒, A 、 B对对O点速率点速率vA, vB初始时刻系统角动量为零初始时刻系统角动量为零,则则: z轴正向轴正向: O点向外点向外 .故将故将同时同时到达到达O点点. .若两人质量不相同?两人质量不相同.系统对系统对O轴合外力矩轴合外力矩mB mA由角动量定理由角动量定理轻者先登顶！mB mA方向：向里方向：向里 v 均对地例例：在光滑在光滑水平桌面上一质量为上一质量为M的木块的木块A与劲度系数与劲度系数为为 k
10、的轻质弹簧相连的轻质弹簧相连, 弹簧另一端固定在弹簧另一端固定在O点点. 一质量为一质量为m的子弹的子弹 B 以速度以速度v0(v0 l0) 射向木块射向木块A并嵌在其中并嵌在其中. 当当木块木块A由点由点 a 运动到点运动到点 b 时时, 弹簧的长度由原长弹簧的长度由原长 l0 变为变为l . 解：解：木块连同子弹由木块连同子弹由a点点运动到运动到b点点.系统机械能守恒， 试求试求：木块木块A在点在点b时的速度的大小和方向时的速度的大小和方向.子弹射入木块前后子弹射入木块前后 且对且对O点的点的角动量守恒动量守恒. Ol0lab还有守恒量吗？设设: 子弹与木块共同速度为子弹与木块共同速度为v
11、1解得解得Ol0lab31守恒定律习题课32解解:(1)该时刻物体该时刻物体A相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量;(2)写出写出A相对于桌面的动能的表达式相对于桌面的动能的表达式;(3)写出写出A相对于桌面的动量的表达式相对于桌面的动量的表达式. 7 .如图如图 为弧形槽为弧形槽B的的1/4光滑圆弧光滑圆弧,置于光滑桌面置于光滑桌面C上上. 当质量为当质量为m的物体的物体A沿沿 下滑过程中下滑过程中B将向左运动将向左运动.若若A滑到滑到d点时相对于点时相对于B的速度为的速度为v12,此时此时B相对于桌面的速相对于桌面的速度为度为v2,方向水平向左方向水平向
12、左,试求试求:p6-7mR0MC33解解: :由公式由公式(1)该时刻物体该时刻物体A相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量;(2)写出写出A相对于桌面的动能的表达式相对于桌面的动能的表达式(3)写出写出A相对于桌面的水平动量的表达式相对于桌面的水平动量的表达式.mR0MC34 8 . 判断下列表述的正误判断下列表述的正误, 并说明理由并说明理由.p6-8 (1)所受合外力为零的系统机械能一定守恒所受合外力为零的系统机械能一定守恒; (2)不受外力的系统不受外力的系统,必同时满足动量守恒和机械能守恒必同时满足动量守恒和机械能守恒; (3)合外力为零合外力为零,
13、内力只有保守力的系统机械能一定守恒内力只有保守力的系统机械能一定守恒; (4)只有保守力内力作用的系统只有保守力内力作用的系统,动量和机械能一定守恒动量和机械能一定守恒; (5)一质点在某一过程中一质点在某一过程中,所受合外力的冲量为零所受合外力的冲量为零,则质点则质点的动量一定守恒的动量一定守恒;不一定是的不一定不一定不一定关键:1清楚明确守恒条件;2外力合力为零,做功不一定为零;3“守恒”应是整个力学过程每一状态都守恒. (6)合外力为零的系统合外力为零的系统,对某一点的角动量一定守恒。对某一点的角动量一定守恒。不一定35 选择题：关于机械能守恒定律有下列表述选择题：关于机械能守恒定律有下
14、列表述 1.无外力与非保守内力的系统，机械能守恒。无外力与非保守内力的系统，机械能守恒。 2.外力的合功为零的系统，机械能守恒。外力的合功为零的系统，机械能守恒。3.外力做功为零、非保守内力做功为零的系统，外力做功为零、非保守内力做功为零的系统，机机 械械 能守恒。能守恒。4.外力做功与非保守内力做功之和为零的系统，外力做功与非保守内力做功之和为零的系统，机机 械械 能守恒。能守恒。 其中其中 正确的是正确的是 A. (1),(2),(3) B. (1),(2),(4) C. (1),(3) D. (1),(3),(4) 最 D36 9 .如图如图,质量为质量为M半径为半径为R的圆弧形槽的圆弧
15、形槽D置于光滑水平面置于光滑水平面上上.开始时质量为开始时质量为m的物体的物体C与弧形槽与弧形槽D均静止均静止,物体物体C由圆由圆弧顶点弧顶点 a 处下滑到底端处下滑到底端 b 处的过程中判断下列说法是否正处的过程中判断下列说法是否正确确?并说明理由并说明理由.p6-6RabDCO OabDNCabDvC(1)以地面为参考系以地面为参考系,槽槽 D 对物体对物体 C 的支持力不的支持力不 做功做功.(2)以槽以槽D为参考系为参考系,槽槽D对物体对物体C 的支持力不的支持力不 做功做功.(3)以地面为参考系以地面为参考系,物体物体C在在b点相对于地面的速率点相对于地面的速率v1满足满足.NCmg
16、应是应是:37abDNMgN(4)以以D为参考系为参考系,物体物体C在在 b 点相对于槽的速率点相对于槽的速率v2满足满足(5)以地面为参考系以地面为参考系, C、D系统动量守恒系统动量守恒;(6)以地面为参考系以地面为参考系,物体物体C、D系统机械能守恒系统机械能守恒.RabDCO O竖直方向动量不守恒!重力是外力!并做正功!38地球的质量为地球的质量为m，太阳的质量为，太阳的质量为M，地，地心与日心的距离为心与日心的距离为R，引力常量为，引力常量为G，假设地球绕太阳作圆周运动。则地球对假设地球绕太阳作圆周运动。则地球对日心的轨道角动量日心的轨道角动量 L_ 39.2mmomv0v0求碰撞后
17、轻杆的角速度406. 质量为质量为m的粒子的粒子A受到另一粒子受到另一粒子B的引力作用，的引力作用，B 保持保持在原在原 点点 不动。开始时不动。开始时A离离B很远很远(r)，且具有沿水平，且具有沿水平方向的速度方向的速度v0，此速度方向与粒子，此速度方向与粒子B的垂直距离为的垂直距离为D。粒。粒子子A由于由于B 的引力作用偏离原来的运动方向，沿如图所示的引力作用偏离原来的运动方向，沿如图所示的轨道运动，已知轨道与粒子的轨道运动，已知轨道与粒子B 之间的最短距离为之间的最短距离为d。试。试求粒子求粒子B 的质量的质量M。v0ADvdB.Mm 解解:P10-6417. 在实验室内观察到相距很远的
18、一个质子在实验室内观察到相距很远的一个质子P (质量为质量为mp)和一个和一个粒子粒子(质量为质量为m= 4mp )，沿一直线相向运动，沿一直线相向运动，速率都是速率都是v0，为求得为求得两者能达到的最近距离两者能达到的最近距离R，有人的有人的解法如下：解法如下：以以质子、质子、粒子为系统，因仅有保守力（库粒子为系统，因仅有保守力（库仑力）做功，故系统的机械能（其中势能为电势能）仑力）做功，故系统的机械能（其中势能为电势能）守恒。则有守恒。则有 p11-7 将将m= 4mp代入上式后有：代入上式后有： 你认为以上解法正确吗？试说明理由并给出正确结果。你认为以上解法正确吗？试说明理由并给出正确结
19、果。 42解：当粒子与质子速度一致时两者达到最近距离解：当粒子与质子速度一致时两者达到最近距离R，此时两者的速度，此时两者的速度v相同相同4311. 质质量量m=0.2kg的的小小球球A，用用弹弹性性绳绳在在光光滑滑水水平平面面上上与与固固定定点点O相相连连，弹弹性性绳绳的的劲劲度度系系数数为为k=8N/m，其其自自由由伸伸展展长长度度为为l0=0.6m。最最初初小小球球的的位位置置及及速速度度v0如如图图所所示示。当当小小球球的的速速率率变变为为v时时，它它与与O点点的的距距离离最最大大且且等等于于0.8m。求此时小球的速率。求此时小球的速率v及初速率及初速率v0。0.4mAOv030。vP
20、12-1144 解：以小球与绳为系统，只有保守力做功解：以小球与绳为系统，只有保守力做功, , 0.4mAOv030。机械能守恒，机械能守恒， 且对且对O点角动量守恒：点角动量守恒： 4513 质子被重核散射 一一个个质质子子接接近近一一个个电电荷荷为为Ze的的很很重重的的核核。当当它它们们距距离离很很远远时时，质质子子的的能能量量为为1/2Mpv02. 把把质质子子在在远远距距离离处处的的轨轨道道直直线线延延长长到到近近距距离离，这这条条延延长长线线离离重重核核最最小小的的距距离离为为b。这这个个距距离离叫叫作作碰撞参量。对对于于实实际际的的轨轨道道，请请列列出出最最接接近近的的距距离离S所所满满足足的的方方程程。(设重核的质量为无限大设重核的质量为无限大)v0sb质子的轨道质子的轨道核核.P12-1346作用力是有心力作用力是有心力, ,所以角动量守恒，所以角动量守恒， 在碰撞过程中，能量守恒解解:v0sb质子的轨道核核S vs47作业作业作业作业: : P83 P834 4-15,17,18,21.-15,17,18,21. 5 5-1,4.-1,4.下次习题课,带练习册
