《新课标版高考数学大坐标系与参数方程选1坐标系课件文选修44》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新课标版高考数学大坐标系与参数方程选1坐标系课件文选修44（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选修4-4 坐标系与参数方程 第第1课时课时 坐坐 标标 系系 20162016 考纲下载考纲下载 1了解在平面直角坐标系下的伸缩变换 2理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化 3能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程 请注意 从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测 2017 年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化 课前自助餐课前自助餐 直角坐标系 在给定坐标系下，任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 极坐标
2、系 (1)基本概念 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一射线 OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射线 OX 称为极轴 (2)极径与极角 设 M 是平面上任一点， 表示 OM 的长度， 表示以射线OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对 (，)称为点 M 的极坐标，其中， 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角 球坐标系与柱坐标系 (1)球坐标系 在空间任取一点 O 作为极点，从 O 引两条互相垂直的射线OX 和 OZ 作为极轴，再规定一个单位长度和射线OX 绕 OZ 轴旋转所成的角
3、的正方向，这样就建立了一个球坐标系 设 P 是空间一点，用 r 表示 OP 的长度， 表示以 OZ 为始边，OP为终边的角，表示半平面 XOZ 到半平面 POZ的角那么，有序数组 (r， ，)就称为点 P的球坐标 (2)柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的 OZ 轴，可得空间柱坐标系 设 P是空间一点，P在过 O且垂直于 OZ的平面上的射影为Q，取 OQ，xOQ，QPz，那么，点P的柱坐标为有序数组(， ，z) 求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系； 第二步在曲线上任取一点 P(， )； 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式； 第四步用极坐标 ， 表示上述
4、等式，并化简得极坐标方程； 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程 31(课本习题改编)将极坐标(2，2)化为直角坐标为( ) A(0，2) B(0，2) C(2，0) D(2，0) 答案 B 2化极坐标方程 cos 0 为直角坐标方程为( ) Ax2y20 或 y1 Bx1 Cx y 0 或 x1 Dy1 222答案 C 3 (2016 安徽六校联考)在极坐标系中， 点(2， )和圆 2cos3 的圆心的距离为( ) A. 3 B2 C. 219 D. 249 答案 A 解析 在极坐标系中，点(2，3)在直角坐标系下的坐标为 (1，3)；在极坐标系中的圆 2cos 在直角坐标系下的方程为 (
5、x1) y 1 ， 圆 心 坐 标 为 (1 ， 0) ， 点 到 圆 心 的 距 离 为（11） （ 30） 3，故选 A. 2222 4 (2016 河北冀州月考)直线 2cos 1 与圆 2cos 相交的弦长为_ 答案 3 解析 直线的方程为 2x1，圆的方程为 x2y22x0，圆|21|1心为(1，0)，半径 r1，圆心到直线的距离为 d22.设所2 012l2求的弦长为 l，则 1 ( ) ( ) ，解得 l 3. 222 5 (2015 广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin(4) 2，7点A 的极坐标为 A(2 2，4)， 则点 A 到直线 l 的距离为_ 5 2答案 2
6、22解析 由 2sin() 2得 2(sincos) 2，422所以 yx1，故直线 l 的直角坐标方程为 xy10，而点7A(2 2，4)对应的直角坐标为 A(2，2)，所以点 A(2，2)到|221|5 2直线 l：xy10 的距离为2. 2 授人以渔授人以渔 ? 题型一 平面直角坐标系下图形的变换 例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过?x2x，伸缩变换?后的图形 ?y3y(1)2x3y0； (2)x y 1. 22 ?1x x，?2?x2x，【解析】 由伸缩变换?得到?(*) ?1?y3y，?y y.?3(1)将(*)代入 2x3y0，得到经过伸缩变换后的图形方程是xy
7、0. ?x2x，因此，经过伸缩变换?后， ?y3y直线 2x3y0 变成直线 xy0. (2)将(*)代入 x y 1，得到经过伸缩变换后的图形的方程xy是1. 49?x2x，因此，经过伸缩变换?后，圆?y3y2222x y 1 变成椭圆22xy1. 49xy【答案】 (1)xy0 (2)491 2222 探究 1 (1)平移变换 在平面直角坐标系中，设图形 F 上任意一点 P的坐标为(x，y)，向量 a(h，k)，平移后的对应点为 P(x，y)，则有(x，?xhx，y)(h，k)(x，y)，或表示为? ?yky. (2)伸缩变换 ?kxx，一般地，由?所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为?yyk
8、 向着 x 轴的伸缩变换(当 k1 时，表示伸长；当 0k0，设变换为?可将其代入第二个方?yy，0，程，得 2xy4，与 x2y2 比较，将其变成 2x4y4，比较系数得?xx，?1， 4，直线?y，?y4x2y2 图像上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2x y4. 【答案】 ?xx，? ?y4y ? 题型二 极坐标与直角坐标方程的互化 例 2 直角坐标方程与极坐标方程互化 (1)y 4x； (2)y x 2x10； 2(3)3(R); (4)cos21； 1(5) cos2 4; (6). 2cos2 222 【解析】 (1)将 xcos，ysin代入 y 4x，
9、得(sin) 4cos.化简得 sin 4cos . (2)将 xcos，ysin代入 y x 2x10，得(sin) (cos) 2cos10，化简得 2cos10. 22222222 yy(3)当 x0 时，由于 tanx，故 tan3x 3，化简得 y 3x(x0)； 当 x0 时，y0.显然(0，0)在 y 3x 上，故 (R)3的直角坐标方程为 y 3x. 1cos(4)因为 cos21，所以 1，而 cos2，22所以 x y x2.代简得 y 4(x1) 222 (5)因为 cos2 4，所以 cos sin 4，即 x y4. 122(6)因为 ， 所以 2cos1， 因此 2
10、 x y 2cosx1，化简得 3x 4y 2x10. 【答案】 (1)sin 4cos (2) 2cos10 (3)y 3x (4)y 4(x1) (5)x y 4 (6)3x 4y 2x10 2222222222222222 探究 2 222?xcos，极坐标 和直 角坐标互化关系式?或?ysin x y ，?是解决本例的突破口 ytan （x0）?x? 思考题 2 (1)若点 P 的直角坐标为(1，3)，则点 P 的极坐标为 _ ； (2)若点P 的极坐标为(3，)，则点P 的直角坐标为4_ ； 9(3)判断点 A(2，4)，B(3，4)，C(2，4)是否在直线 4(R)上； (4)求直
11、线 4(R)和 2 的交点的极坐标 【解析】 由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它22? x y ，?xcos ，?们之间可以互化，则?或? y?tanx.?ysin?5(1)x1，y 3，2，tan 3，3.故极坐5标为(2，) 3 3 23 2(2)3，4，故 xcos2，y2. 3 23 2从而点的直角坐标为 (，) 22 (3)方法一：A 和 C 点的极坐标都适合方程 (R)，4所以 A，C 两点都在直线上B 点的极坐标不适合方程，但 B 点与(3，)表示同一个点，所以 B 点也在曲线上 4 3 2 3 2方法二： 三个点的直角坐标分别为 A( 2， 2)， B(2，2)，C(
12、2， 2)，直线方程的直角坐标方程为 yx，显然三点都在直线上 (4)方法一：显然(2，)是一个交点，由于圆和直线都关于原45点对称，所以另一个交点是 (2，4) 方法二：直线方程化为 yx，圆的方程化为 x2y24，解得交点的直角坐标为 A( 2， 2)，B( 2， 2)，化为极坐标5是 A(2，)，B(2，) 44 53 23 2【答案】 (1)(2，3) (2)(2，2) (3)在 5(4)A(2，4)，B(2，4) ? 题型三 直线、圆的极坐标方程 例 3 圆心 C的极坐标为(2，4)，且圆 C经过极点 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的
13、极坐标方程 【解析】 (1)圆心 C 的直角坐标为( 2， 2)，则设圆 C 的直角坐标方程为 (x 2) (y 2) r ，依题意可知r (02) (0 2) 4， 故圆 C的直角坐标方程为 (x 2) (y 2)222222224.而 x2y22 2(xy)0，化为极坐标方程为 22 2(sincos)0，即 2 2(sincos) (2)在圆 C 的直角坐标方程 x y 2 2(xy)0 中，令 y0，得 x 2 2x0，解得 x0 或 2 2.于是得到圆 C 与 x 轴的交点坐标(0，0)，(2 2，0)，由于直线过圆心 C( 2， 2)和点(2 2，200)，则该直线的直角坐标方程为
14、 y0(x2 2)，即 x22 2y2 20. 化为极坐标方程得 cossin2 20. 【答案】 (1)2 2(sin cos ) (2)cos sin 2 20 222 探究 3 欲求极坐标方程，一般先求直角坐标方程，再利用xcos ，ysin转化为极坐标方程即可 思考题 3 (2015 新课标全国)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x2， 圆 C2： (x1) (y2) 1， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 4(R)，设 C2与 C3的交点为 M，N ，求C2MN 的面积 22 【解析】 (
15、1)因为 xcos，ysin， C1的极坐标方程为 cos2，C2的极坐标方程为 2cos4sin40. 2(2)将 4代入 2cos4sin40， 得 3 240， 解得 12 2，2 2，|MN|12 2， 22 因为 C2的半径为 1， 11则C2MN 的面积2 21sin452. 【答案】 (1)C1：cos 2，C2： 2cos 4sin140 (2)SC2MN2 2 ? 题型四 柱坐标系与球坐标系 例 4 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标 【解析】 点 C1的直角坐标为(1，1，
16、1)， 设点 C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)， 其中 0，r0，0，02， ?xrsincos，?xcos，?由公式?ysin， 及?yrsinsin， ?zz?zrcos， ? x y ，?r x y z ，?得?及? yztan （x0）?cos ，?xr?r 3，? 2，?得?及?tan1?cos ? 3 .322222 3结合图形得 4，由 cos3，得 tan2. 点 C1的直角坐标为 (1，1，1)，柱坐标为 ( 2，4，1)，球坐标为( 3，)，其中 tan2，0. 4【答案】 C1(1，1，1，)，( 2，4，1)，( 3，4)，其中 tan 2，0 探究 4 化点
17、M 的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(，z)或?xcos，?球 坐 标 (r ， ， ) ， 需 要 对 公 式 ?ysin， 以 及?zz?22?xrsincos，?x y ，?y?yrsinsin， 进行逆向变换，得到?tan （x0），以及 x?zrcos?zz? ?r x2y2z2，?在由三角函数值求角时，要结合图形确定zcosr.?角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可 思考题 4 若本例中条件不变，点 C 的柱坐标与球坐标分别如何表示？点 D 呢？ 【解析】 由图知 C(1，1，0)，柱坐标( 2，0)，球坐4标为( 2，2，4)，同样点 D 的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为(1，0)，球坐标为(1，) 222 【答案】 C(1，1，0)，柱坐标( 2，4，0)，球坐标( 2，2，)D(0，1，0)，柱坐标(1，0)，球坐标(1，) 4222 关于极坐标系 (1)极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者缺一不可 (2)由极径的意义知 0， 当极角 的取值范围是0， 2时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径 0，极角可取任意角 (3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性
