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1、“希望杯希望杯”小学数学思维能力培训系列讲座小学数学思维能力培训系列讲座希 望 在 前 方主讲人：孟老师第1讲希望杯培训课4年级希望杯简介：1990年,中国科学技术协会普及部、中国优选法统筹法与经济数学研究会、高等教育出版社、中国青年报学校工作部和华罗庚实验室五家单位共同发起组织希望杯全国数学邀请赛。经过充分的筹备，第一届希望杯全国数学邀请赛于1990年成功举行。2003年，第一届小学希望杯成功举行，并得到广大师生的支持。时至今日，中学希望杯已经举办了27届，小学希望杯已经举办了14届。希望杯培训课4年级创始人合影，左起创始人合影，左起:周国镇，数学教育专家，数理天地杂志社社长兼总编,希望杯组
2、委会常任秘书长，命题委员会主任梅向明，原北京师范学院院长，数学家，希望杯顾问王寿仁（已故），著名数学大师华罗庚的助手，著名数学家，中国数学奥委会首任主席，希望杯首席顾问祖振铨（已故），原高等教育出版社社长，希望杯顾问徐伟宣，著名数学大师华罗庚的弟子，应用数学专家，中国优选法统筹法与经济数学研究会原理事长，多届希望杯组委会主任、副主任计雷，著名数学大师华罗庚的弟子，应用数学专家，中国优选法统筹法与经济数学研究会原理事长，多届希望杯组委会副主任希望杯培训课4年级希望杯奖杯、证书和奖牌希望杯奖杯、证书和奖牌 -盐中通行证盐中通行证希望杯培训课4年级【准备题】计算：1+2+3+999+1000解：原式
3、=（1+1000）10002=100110002=1001500=500500希望杯培训课4年级【例1】计算：（1）1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+198+197-196-195解：原式=（1998+1997-1996-1995）+（1994+1993-1992-1991）+（198+197-196-195）=4(1998-194)4=418044=1804希望杯培训课4年级（1）1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+198+197-196-195解法二：因为：199719961995+1994=0199
4、319921991+1990=0201200199+198=0所以：原式=1998+0+197196195=1804希望杯培训课4年级（2）1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+182+183原式=（183+182+181-180-179-178）+（177+176+175-174-173-172）+（9+8+7-6-5-4）+3+2+1=9(183-3)6+3+2+1=930+6=276希望杯培训课4年级【例2】（1）写出数列：1，2，3，4，5，6，中。第n个偶数和第n个奇数。解：数列中的偶数是：2，4，6，8，项数是：1，2，3，4，那么，第n个偶数=2n。数列中的奇数是
5、：1，3，5，7，第n个奇数=2n-1（n=1,2,3,），n，2n，2n-1希望杯培训课4年级（2）分别求自然数列中前n个奇数之和，以及前n个偶数（不包括0）的和。解：前n个奇数的和：1+3+5+（2n-1）=1+(2n-1)n2=n2希望杯培训课4年级如图：1=111+3=4=221+3+5=9=33希望杯培训课4年级前n个偶数之和：2+4+6+8+2n=(2+2n)n2=n2+n2+4+6+8+2n=1+3+5+(2n-1)+n=n2+n希望杯培训课4年级小结：前n个奇数之和：1+3+5+（2n-1）=n2前n个偶数之和：2+4+6+8+2n=n2+n希望杯培训课4年级试一试：写出下列各
6、式的答案1+3+5+7+992+4+6+8+10021+23+25+79希望杯培训课4年级（2）利用（1）中得到的公式计算：1+3+5+7+99=502=25002+4+6+8+100=502+50=255021+23+25+79=(1+3+5+79)-(1+3+5+19)=402-102=1500希望杯培训课4年级注意：2n+1（n=0，1，2，3，）也表示奇数。希望杯培训课4年级练习一1、计算: 1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-992、在小于100的自然数中，所有被11除余3的数的和是多少？希望杯培训课4年级【例3】下表中的30个方格中各有一个数，每个格子中的数等于同一横行
7、最左边一格和同一竖列最上面一格的数之和。（如A=14+17=31）。问这30个数的总和等于多少？1011131517191214A1618希望杯培训课4年级10 11 13 15 17 191214A1618解：在30个数的和中，11、13、15、17、19各加了5次，12、14、16、18各加了6次，10加了1次。因为：11+13+15+17+19=7512+14+16+18=60所以：总和=755+606+10=375+360+10=745希望杯培训课4年级【例4】已知一列数：1、3、6、10、15、21、，问第59个数是多少？解：这个数列各项的规律是：1=13=1+26=1+2+310=
8、1+2+3+4所以：第59个数是：1+2+3+59=（1+59）592=1770答：第59个数是1770。希望杯培训课4年级【例5】在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？a1a2a8a766分析:宝塔上八层彩灯数组成等差数列，设最高一层（即第八层）有a8盏灯，其余依次为a7至a1。第一层与第八层盏数之和是8884=222（盏）第一层比第八层多6（8-1）=42（盏）希望杯培训课4年级解一：宝塔上八层彩灯数组成等差数列，设最上面一层（即第八层）有a8盏灯，那么第一层的灯比第八层多6（8-1）=42（盏）第一层与第八层、第二
9、层与第七层、第三层与第六层、第四层与第五层的灯的盏数之和相等，都是：8884=222（盏）所以最上面一层共有（222-42）2=90（盏）希望杯培训课4年级解二：设最上边一层有a8盏灯，第一层有a1盏灯，每层彩灯数组成等差数列。a7a1a266a8a1=a8+6(8-1)=a8+42即a1-a8=42又（a1+a8）82=888即a1+a8=222-得：2a8=222-422a8=180a8=90答：最上边一层有彩灯90盏。希望杯培训课4年级【例6】若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒子中。其中只有一个盒子是空的，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空
10、盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来没有发现有人动过棋子，问共有多少个盒子？多少棋子？原来现在1+2+3+4+？在50-60之间空空1122334希望杯培训课4年级解：现在和原来的棋子数是：原来空1234现在？空123经试算得棋子数：0+1+2+3+10=（1+10）102=55(个)以上算式有11项，即有11个盒子。答：有11个盒子，55个棋子。希望杯培训课4年级试一试：能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分得的花生颗数不同？解：不能因为如果每个猴子分别分得0、1、2、3、9颗花生，那么，共需要0+1+2+3+9=45（颗）共有44颗花生，还差1颗，无论哪只猴子少分一颗，都有2只猴子
11、分得的花生同样多。希望杯培训课4年级练习二1、一堆相同的立方体堆积如图，第1层1个，第2层3个，第3层6个，第2017层有多少个？2、每相邻的三个圆点组成一个小三角形，如图。问图中这样的小三角形个数多还是圆点的个数多？希望杯培训课4年级3、小明和小强比赛口算，计算：1+2+3+，当计算到规定的那个加数时，小明的得数是60，小强的得数是66，老师说他们两人的得数有一个错了，有一个对了，问：他们谁算错了？错在那里？4、如果十个互不相同的两位奇数之和等于898，那么这十个数中最小的一个是多少？希望杯培训课4年级希望杯真题希望杯真题: :1 1、喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则
12、这两页的页码数的和是_。（2013年四年级第1试）分析与解根据左右两页的页码数是连续两个自然数可得，420=22357=2021，所以，两页的页码数的和是：20+21=41希望杯培训课4年级2、小杰从27起写了26个连续奇数，小强从26起写了27个连续自然数，然后他们分别将自己写的数求和，求这两个和的差？（2016年四年级培训题）分析与解将两人写的数分别写出：27293133737577小杰2627282930505152小强观察可知，这两组数和的差是：1+2+3+4+23+24+25-26=299。希望杯培训课4年级3、已知m1，m个连续的自然数的和是33，则m所有可能取的值是_。（2016
13、年四年级第2试）分析与解332=16.5，所以16+17=33，所以m=2333=11推出10+11+12=33，所以m=3334=8.25推出7+8+9+10=34，所以舍去m=4335=6.6推出5+6+7+8+9=35，所以舍去m=5336=5.5推出3+4+5+6+7+8=33，所以m=6，337=4.7，1+2+3+4+5+6+7+8=2833不符合题意，舍去m=7。想一想：m有可能取的值比8大吗？所以，m所有可能取的值分别是2、3、6。希望杯培训课4年级.【例7】“希杯望杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。那么“希+望+杯+好”之和等
14、于多少?【解析】好好好=好111=好337。若杯=7，则好=9，999/37=27，所以，希+望+杯+好=3+2+7+9=21若杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符合题意。所以希+望+杯+好=3+2+7+9=21。希望杯培训课4年级【例8】下面的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =_？ stva+vtstttvtt【解析】两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定t =1，那么百位不可能向千位进位，所以s +v =11，十位向百位进了1位，所以v =t +t +1=3，可得s =11-3=8又因为a +t =t
15、，所以a =0，四位数tavs 为1038。希望杯培训课4年级.【例7】“希杯望杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。那么“希+望+杯+好”之和等于多少?【解析】好好好=好111=好337。若杯=7，则好=9，999/37=27，所以，希+望+杯+好=3+2+7+9=21若杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符合题意。所以希+望+杯+好=3+2+7+9=21。希望杯培训课4年级【例9】如图所示的乘法竖式中，“希望杯赛”每个字分别代表09中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“希望杯赛”代表的数字分别为几
16、?希望杯赛希望杯赛.希望杯培训课4年级希望杯赛希望杯赛.？9330001希望杯培训课4年级【解析】先从式子中可以看出“杯”=0，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“希”只能为3由于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“希”比“望”和“赛”都大，所以“望”和“赛”只能分别为1和2，这样“希望杯赛”就可能为3102或3201分别进行检验，发现31023102=9622404，与算式不相符，而32013201=10246401符合，所以“希望杯赛”代表的数字分别为3、2、0、1希望杯培训课4年级练习：请在下面的空格中填入适当的数，使幻方中每行每列以及每
17、对角线上三个数的和都相等：95149017291923希望杯培训课4年级【例10】已知9个数的平均数是9，如果把其中一个数改为9，这9个数的平均数变为8，那么这个被改动的数原来是几？分析与解因为9个数的平均数是9，所以这9个数的总和是99=81，改动后9个数的平均数是8，所以改动后9个数的总和是98=72。改动使这个数减少了81-72=9，减少9之后变成了9，那么，这个数原来是18。希望杯培训课4年级【例11】爷爷、爸爸、小明今年的年龄分别是60岁、35岁、11岁，则再过几年爷爷的年龄等于小明和爸爸的年龄之和？分析与解爷爷的年龄比小明和爸爸的年龄和大60-35-11=14岁，因为爷爷的年龄每年
18、增加1，小明和爸爸的年龄和每年增加2，年龄之差每年缩小1，所以14年后爷爷的年龄等于小明和爸爸的年龄和。希望杯培训课4年级2、小红长到妈妈今年的年龄时，妈妈77岁，当妈妈是小红今年的年龄时，小红2岁。求小红今年的年龄。练习：1、2015个数的平均数是2014，其中2012个数的平均数是2011，求另外3个数的平均数。希望杯培训课4年级【例12】有三个连续自然数a、a+1、a+2，它们恰好分别是5、4、3的倍数，则这三个数中最小的一个至少是几？分析与解aa+1a+2543突破：a是5的倍数，则a+5也是5的倍数；a+1是4的倍数，则a+1+4也是4的倍数；a+2是3的倍数，则a+2+3也是3的倍
19、数。那么a+5是5、4、3的公倍数。所以a+5的最小值是543=60，a最小是55。希望杯培训课4年级【例13】有一些数除以4、6、8都余3，求100以内所有这些数的和。分析与解4、6、8的最小公倍数是24，除以4、6、8都余3的数是24+3=27，下一个是27+24=51，还有75、99等。另外最小的一个是3，也符合除以4、6、8都余3的要求。这样，所有这些数的总和就是：3+27+51+75+99=255。希望杯培训课4年级【例14】有一个四位数A，将四位数的各位上的数字(均不为0)重新排列得到的最大数比A大7668，得到的最小数比A小594，则A=_。分析与解设将四位数的各位上的数字排列后得到的最大数是abcd，最小数是dcba，这里9abcd0，所以有：abcd=A+7668dcba=A-594abcd-dcba=7668+594=8262列成竖式，解数字谜：abcd-dcba8262希望杯培训课4年级由此可知：a=9,d=1,b-c=3。bc可能为：b=4b=5b=6b=7b=8b=9c=1c=2c=3c=4c=5c=6最小数可能是：1149、1259、1369、1479、1589、1699。将这六个数依次进行验证，代入A=dcba+594中，当A的数字和dcba的数字相同时，即符合题意，最后知：A=1963。希望杯培训课4年级再再 见见希望杯培训课4年级
