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1、第一章 数与式第1课 实数及其运算实数实数无理数无理数无限不循环小数无限不循环小数整数整数分数分数负整数负整数自然数自然数有限小数或无限循环小数有限小数或无限循环小数1.实数的分类实数的分类 按实数的定义分类：按实数的定义分类：要点梳理要点梳理正无理数正无理数 负无理数无理数 有理数有理数 正整数正整数 零零 正分数正分数 负分数分数 根据需求，我们也可以按符号进展分类，如：实数根据需求，我们也可以按符号进展分类，如：实数 2实数的有关概念数的有关概念 (1)数数轴：规定了定了 ， 和和 的直的直线 叫做数叫做数轴数数轴上一切的点与全体上一切的点与全体实数一一数一一对应 (2)相反数：只需相反
2、数：只需_不同，而不同，而_一一样的两个数称的两个数称 为互互为相反数假相反数假设a、b互互为相反数，那么相反数，那么ab_. (3)倒数：倒数：1除以一个不等于零的除以一个不等于零的实数所得的数所得的_，叫做，叫做 这个数的倒数假个数的倒数假设a、b互互为倒数，那么倒数，那么ab_.原点原点 正方向正方向 单位位长度度 符号符号 绝对值0 商商 1 正实数正实数负实数负实数零零(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点分开原点的绝对值：在数轴上，一个数对应的点分开原点的 叫做叫做这个数的绝对值这个数的绝对值间隔隔 a 0 a |a|是一个非负数，即是一个非负数，即|a|_.0 |a| (a0)(
3、a=0)(a0)(5)科学记数法，近似数，有效数字：科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成科学记数法就是把一个数表示成 的方式；的方式； 一个近似数，一个近似数， 到哪一位，就说这个数准确到哪一位，这时，到哪一位，就说这个数准确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，一切的数字都从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，一切的数字都叫做这个近似数的有效数字叫做这个近似数的有效数字(6)平方根，算术平方根，立方根：平方根，算术平方根，立方根： 假设假设x2a，那么，那么x叫做叫做a的平方根，记作的平方根，记作_； 正数正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平
4、方根；的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 假设假设x3a，那么，那么x叫做叫做a的立方根，记作的立方根，记作_a10n(1a10,n是整数是整数)四舍五入四舍五入 3.零指数零指数幂，负整数指数整数指数幂： 任何非零数的零次任何非零数的零次幂都等于都等于1，即，即 ； 任何不等于的数的任何不等于的数的p次次幂，等于，等于这个数个数p次次幂的倒数，的倒数， 即即 4.实数的大小比数的大小比较： _大于零，大于零，_小于零，小于零，_大于一切大于一切负数；数； 在数在数轴上表示的两个数，右上表示的两个数，右边的点所表示的数的点所表示的数总比比_的的 点所表示的数点所表示的数_ 差差值法比法比较
5、： ab0ab ab0ab ab0ab a01(a0) ap (a0，p为正整数正整数) 正数正数 负数数 正数正数 左左边 大大 5.实数的运算：实数的运算： 实数的运算顺序是先算实数的运算顺序是先算 ，再算，再算 ，最后算，最后算 _假设有括号，先算假设有括号，先算_，再算，再算_，最后算，最后算 _同级运算应同级运算应 .乘方和开方乘方和开方 乘除乘除 加减加减 小括号小括号 中括号中括号 大括号大括号 从左到右从左到右,按按顺序序进展展 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1正确了解正确了解实数相关的概念数相关的概念在在实数范数范围内，由于内，由于对数学概念的了解不清楚，数学概念的了解
6、不清楚，导致出致出现各种各种判判别和列式和列式错误这些概念包括：正数、些概念包括：正数、负数、有理数、无理数、有理数、无理数、数、实数、相反数、倒数、平方根、算数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、平方根、立方根、绝对值、数、数轴、零指数、零指数、负整数指数等整数指数等2留意根本技留意根本技艺的掌握及正确的运算的掌握及正确的运算在在实数范数范围内，由于内，由于对根本技根本技艺掌握不熟掌握不熟练，导致出致出现一系列一系列变形和形和计算算错误这些技些技艺包括：分数的通分与包括：分数的通分与约分、运算的分、运算的灵敏运用、灵敏运用、实数的运算、数的运算、实数的大小比数的大小比较、近似数的表示
7、、用、近似数的表示、用科学科学记数法表示数等数法表示数等3利用数形利用数形结合的数学思想直合的数学思想直观地地处理理问题 数本身是无形的、数本身是无形的、笼统的，而点、的，而点、线等等图形却是直形却是直观的数的数轴正是在有形的直正是在有形的直线上按由小到大的上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，序把无形的数表示出来，把把“数与数与“形有机地形有机地结合起来，从而便于学合起来，从而便于学习和研和研讨4运用分运用分类讨论思想，全面解答思想，全面解答问题 在学在学习相反数、相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法那么和有理数乘方运算的符号法那么时，应把把实数分成正数分成正实数、零、数、零、负实数三数三
8、类分分别研研讨，运用分，运用分类讨论的思想，在一些看上去的思想，在一些看上去较复复杂的的计算算题中，可中，可经过分分类讨论，全面地把代数式的全面地把代数式的值一一求出来，如：一一求出来，如： 知知abc0，且，且M ，根据，根据a、b、c的不同取的不同取值，M有有 () A独一确定的独一确定的值B三种不同的三种不同的值 C四种不同的四种不同的值D八种不同的八种不同的值B根底自测根底自测1(2021金金华)有四包真空小包装火腿，每包以有四包真空小包装火腿，每包以规范克数范克数(450克克)为基准，超越的克数基准，超越的克数记作正数，缺乏的克数作正数，缺乏的克数记作作负数，以下数数，以下数据是据是
9、记录结果，其中表示果，其中表示实践克数最接近践克数最接近规范克数的是范克数的是 () A2 B3 C3 D4 解析：四个解析：四个选项中中2的的绝对值最小，故最接近最小，故最接近规范范A2(2021衢州衢州)数数2的相反数的相反数为 () A2 B. C2 D 解析：一个数的相反数就是在解析：一个数的相反数就是在这个数前面加个数前面加“号号3(2021义乌)3的的绝对值是是 () A3 B3 C D. 解析：解析：|3|3，一个，一个负数的数的绝对值是它的相反数是它的相反数AA4(2021宁波宁波)以下各数中，是正整数的是以下各数中，是正整数的是 () A1 B. 2 C0.5 D. 解析：解
10、析：选项中只需中只需2既是正数，又是整数既是正数，又是整数5(2021陕西西)我国第六次人口普我国第六次人口普查显示，全国人口示，全国人口为0536875 人，将人，将这个个总人口数人口数(保管三个有效数字保管三个有效数字)用科学用科学计数法表示数法表示为 () A1.37109 B1.37107 C1.37108 D1.371010 解析：解析：05368751.3705368751091.37109.BA题型分类题型分类 深度分析深度分析题型一型一 实数的分数的分类 【例【例 1】(1)在在0,1,2,3.5这四个数中，是四个数中，是负整数的是整数的是 ( ) A0 B1 C2 D3.5
11、解析：解析：负整数既是整数既是负数，又是整数，数，又是整数，这里只需里只需2符合符合 (2)在在实数数0,1, ,0.1235中，无理数的个数中，无理数的个数为 ( ) A0个个 B1个个 C2个个 D3个个 解析：无理数是无限不循解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循小数，开不尽方，是无限不循环小数小数CB探求提高探求提高 判判别一个数是不是无理数，关一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循就看它能否写成无限不循环小数初中常小数初中常见的无理数共分三种的无理数共分三种类型：型： (1)含根号且开不尽方的数；含根号且开不尽方的数； (2)化化简后含后含(圆周率周率)的式子；的
12、式子； (3)有有规律但不循律但不循环的无限小数掌握常的无限小数掌握常见无理数无理数类型有助型有助于于识别无理数无理数知能迁移知能迁移1(1)以下五个以下五个实数：数： ，0，tan 45，|3|， ( )1.其中正数的和其中正数的和为 ( ) A4 B5 C6 D7 解析：解析：(3)0tan45 ( )11124，这三个正数的三个正数的和等于和等于4，选A. (2)以下四个数中，在以下四个数中，在0到到3之之间的无理数是的无理数是 ( ) A. B. C D1 解析：解析：0 bc，那么，那么abc_.解析：由解析：由|a|1，|b|2，|c|3， 得得a1，b2，c3. 又又abc.可以
13、可以a1，b2，c3， 所以所以abc1(2)(3)2， 或或abc(1)(2)(3)0.2 2或或0 0(2)设|a|4，|b|2，且，且|ab|(ab)，试求求ab一切一切值的和的和 解：解：|a|4，|b|2，a4，b2， 又又|ab|(ab)0，ab0ab0，那么，那么 的的值等于等于_ 解析：由解析：由ab0ab0，得，得a0a0且且b0b0或或a0a0且且b0b0， 于是于是 1 11 11 11 1 或或 ( (1)1)( (1)1)1 13.3.1 1或或3 3题型五与数轴联络题型五与数轴联络 【例【例 5】(1)如如图，假，假设A是是实数数a在数在数轴上上对应的点，那么关于的
14、点，那么关于 a，a,1的大小关系，表示正确的的大小关系，表示正确的选项是是 ( ) Aa1a Baa1 C1aa Daa1 解析：如解析：如图，在数，在数轴上找出上找出a所所对应的位置，的位置， 易知易知a1a，选A.A(2)(2)察看察看图中的数中的数轴，用字母，用字母a a，b b，c c依次表示点依次表示点A A、B B、C C所所对应 的数，那么的数，那么 、 、 的大小关系是的大小关系是 ( ( ) ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析：由所解析：由所给的数的数轴表示，可以表示表示，可以表示1a1a ， b0b10 10 1， b ba1a1，1 1 33， |
15、a|1,0|b| |a|1,0|b| ，0|ab| 0|ab|3 3， 3.3. . .选C.C.C探求提高探求提高 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的位置，及其相反数的位置再根据数轴上右边的数大于左边的数，位置，及其相反数的位置再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小确定各数的大小知能迁移知能迁移5(1)(2021宜昌宜昌)如如图，数，数轴上上A、B两点分两点分别对应实数数 a、 b，那么以下，那么以下结论正确的正确的选项是是 ( ) A. a b Dab 0 解析：由于解析：由于a0，bb.C(2)(2)有理数有
16、理数a a、b b满足足a0a0b0，且，且|a|b|a|b|，试用用“号把号把a a、b b，a a、b b衔接起来：接起来：_._. 解析：据解析：据题意，把有理数意，把有理数a a、b b表示在数表示在数轴上，并把上，并把a a、b b也表示在同一条数也表示在同一条数轴上，如上，如图，易得，易得aabbbba.a.abba易错警示易错警示1实数概念中的常数概念中的常见错误试题假假设一个一个实数的数的(1)倒数；倒数；(2)绝对值；(3)平方数；平方数；(4)立方；立方； (5)平方根；平方根；(6)算算术平方根；平方根；(7)立方根等于它的本身，那么立方根等于它的本身，那么这个个 数分数
17、分别为： (1) (2) (3)_(4)_(5)_(6)_(7)_学生答案展学生答案展现(1)1；(2)正数；正数；(3)1；(4)1或或1；(5)1；(6)0； (7)1和和1.分析分析实数概念了解往往似是而非或不数概念了解往往似是而非或不够全面，出全面，出现一些不一些不该有的有的错误上述上述给出的答案不完好，漏掉了一些符合条件的数，出的答案不完好，漏掉了一些符合条件的数，产生生错误的的缘由是忽略了引由是忽略了引进负数数对数的范数的范围扩展不展不顺应试题假假设一个一个实数的数的(1)(1)倒数；倒数；(2)(2)绝对值；(3)(3)平方数；平方数；(4)(4)立方；立方； (5) (5)平方
18、根；平方根；(6)(6)算算术平方根；平方根；(7)(7)立方根等于它的本身，那么立方根等于它的本身，那么这个个 数分数分别为： (1) (2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_ (1) (2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_正解正解(1)1(1)1和和1 1；(2)(2)正数和正数和0(0(或非或非负数数) )；(3)1(3)1和和0 0；(4)(4)1 1、0 0和和1 1；(5)0(5)0；(6)0(6)0和和1 1；(7)(7)1 1、0 0和和1.1.批批阅笔笔记此此题调查了了实数的根本概念，有的同窗数的根本概念，有的同窗对所学的倒数、所学的倒数、绝对值、平方与平方
19、根等概念没有全面了解，因此呵斥、平方与平方根等概念没有全面了解，因此呵斥错误思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 1注重注重实数概念的学数概念的学习，了解，了解实数与数数与数轴上的点是上的点是一一一一对应的的 2留意留意实数乘方概念的了解，防止概念之数乘方概念的了解，防止概念之间的混淆的混淆 3可借助数可借助数轴，“数形数形结合，找到数与点的关系，合，找到数与点的关系，根据根据对称性称性质找出互找出互为相反数的位置，再比相反数的位置，再比较大小大小失失误与防与防备 引引进负数，使数的概念得以数，使数的概念得以扩展，展，实现了算了算术数到有理数数到有理数的的飞跃，许多小学构成的
20、多小学构成的认识被推翻了：被推翻了： 1“除了仍表示运算符号外，除了仍表示运算符号外，还可以看作一个数可以看作一个数的性的性质符号；符号；“还可以用来表示原数的相反数，即在一个可以用来表示原数的相反数，即在一个数前面添上数前面添上“号，可得到原数的相反数号，可得到原数的相反数 2减法可以减法可以转化化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引但引进负数后，减法就不再作数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是把减独立的运算而存在，而是把减法法转化化为加法加法 3原来的一些原来的一些结论不再成立，如不再成立，如“差一定小于或等于被差一定小于或等于被减数减数这个
21、个结论就是不一定正确了就是不一定正确了 4数数“0被被赋予新的含予新的含义，具有独特的性，具有独特的性质，思索相关，思索相关问题要全面，否那么的要全面，否那么的话，极易落入，极易落入“0设置的圈套置的圈套 完成考点跟踪训练 1 搞清搞清实数的分数的分类规范，尤其要弄懂无理数的范，尤其要弄懂无理数的三种常三种常见方式：方式： ；无限不循无限不循环小数，如小数，如0.10100100010.1010010001；开方开不开方开不尽的数，如尽的数，如 等。等。绝对值的性的性质要留意正确区分数的三种要留意正确区分数的三种情况，尤其是情况，尤其是负数去掉数去掉绝对值应变为其相反其相反数。数。实数的大小比
22、数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，重点掌握作差法和作商法，才干更好地有的放矢。才干更好地有的放矢。 2. 2.有关实数的非负性：有关实数的非负性： 假设几个非负数的和等于假设几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都那么这几个非负数都0.例、假设例、假设求求 的值。的值。解：由解：由3a+4+ (4b-3)2 = 0得得 3a+4= 0 且且 (4b-3) 3a+4 = 0 且且 4b-3 a=-4/3，b=3/4ab=(-4/3)(3/4)=-1有理数集合：有理数集合： ； 课时训练课时训练1、把以下各数填在相应的大括号内：、把以下各数填在相应的大括号内：整数集合：整数集合： ； 分数集合
23、：分数集合： ； 无理数集合：无理数集合： 。 -1，0， , 3.14, cos60-1，3.14，0， ，cos60， , -3, tan30, 2.1010010001 2、以下说法中，错误的个数是、以下说法中，错误的个数是 无理数都是无限小数；无理数都是无限小数；无理数都是开方开不尽的数；无理数都是开方开不尽的数；带根号的都是无理数；根号的都是无理数；无限小数都是无理数。无限小数都是无理数。 A.1个；个； B.2个；个； C.3个；个； D.4个。个。3、数轴上的点与、数轴上的点与 一一对应。一一对应。 A.整数；整数； B.有理数；有理数； C.无理数；无理数； D.实数。实数。4、以下运算正确的选项是、以下运算正确的选项是 A.B.C.D.CDA7、 的绝对值等于的绝对值等于 ， 的平方根等于的平方根等于 ， 的倒数是的倒数是 。黄冈黄冈2004年中考题年中考题8.(海淀区海淀区2004) 2的相反数是的相反数是 A B C-2 D2 9.(9.(重庆市北碚区重庆市北碚区 2004 ) 2004 ) 的相反数是的相反数是 A. B. C. -2 D. 2A. B. C. -2 D. 210.(青海省湟中县实验区青海省湟中县实验区2004 ) 的相反数的倒数是的相反数的倒数是 . CA A
