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1、关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章 随机变量的数字特征1问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；21 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成
2、绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。3定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。4 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).5 例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。解：X的分布律为：6 例4：设一台机器一天内发生
3、故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则7 例5：8例6：9几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望10 11 12 例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。13 例8：14 例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=115 16数学期望的特性： 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合
4、的情况17证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：181920 例例1111：一民航送客车载有一民航送客车载有2020位旅客自机场出发，旅客有位旅客自机场出发，旅客有1010 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以不停车，以X X表示停车的次数，求表示停车的次数，求 ( (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立客是否下车相互独立) )本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和，然后利用随机分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和
5、来求变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。 解：引入随机变量：21 例12：22总结数学期望的数学期望的计算方法算方法数学期望的定数学期望的定义数学期望的性数学期望的性质随机随机变量函数的数学期望量函数的数学期望例例11的方法：的方法：“X分解成数个随机分解成数个随机变量之量之和，和，利用利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)”根据根据题型，以上方法可能独立使用，也型，以上方法可能独立使用，也可能可能结合使用。合使用。23定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。
6、数学期望简称期望，又称均值。24 25 26几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望27数学期望的特性： 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况282 方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定) 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 29我们需要引进一个量来描述我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程的取值分散程度，即度，即X的取值与的取值与E(X)的偏离程度的偏
7、离程度偏离的度量：偏离的度量：平均偏离：平均偏离：绝对值（不好研究）绝对值（不好研究）30但是，绝对值（大但是，绝对值（大 ） 平方（大平方（大)所以我们研究所以我们研究方差方差定义定义设设X是一随机变量，是一随机变量，为标准差或均方差。为标准差或均方差。存在，则称之为存在，则称之为X的方差。记为的方差。记为D(X)或或Var(X)，即即方差实际上是一个特殊的函数方差实际上是一个特殊的函数 g(X) =(X-E(X)2 的期望的期望31对于离散型离散型随机变量X，对于连续型连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式(常用)：32 例1：设随机变量X具有数学期望33 例2：设
8、随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：34 例3： 解： 35 例4：解：X的概率密度为：36 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数37方差的性质： 38证明：39X与与Y相互独立：已知相互独立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3。E(X-2Y)；D(X-2Y)。解：由数学期望和方差的性质解：由数学期望和方差的性质40 例6：Xkpk011-pp41 例7： 解：例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的
9、概率。44表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望 方差分布率或分布率或密度函数密度函数分布分布01分布分布pp(1-p)二项二项分布分布b(n,p)npnp(1-p)泊泊松分布松分布均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态分布45几个与期望及方差有关的练习题几个与期望及方差有关的练习题1、设、设X的数学期望的数学期望E(X)=2,方差方差D(X)=4,则则E(X2)= ；2、设、设X B(n,p),已知已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,则则 n= ; P= ;3、设、设X P()，且，且P(X=1)=P(X=2),则则E(X)= , D
10、(X)= ;46总结方差的方差的计算方法算方法定定义法：函数的数学期望法：函数的数学期望方差的性方差的性质常用公式：常用公式：D(X)=E(X2)-E(X)2X分解成数个相互独立的随机分解成数个相互独立的随机变量之和，量之和，利用利用D(X)=D (X1 +X2+Xn)= D (X1)+ D (X2)+ +D (Xn)”根据根据题型，以上方法可能独立使用，也型，以上方法可能独立使用，也可能可能结合使用。合使用。47作作业题P94：1，7483 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： 4
11、9协方差的计算协方差的计算证证(2):(2):注注: X,Y相互独立相互独立 50协方差的性质：思考题：思考题：51证明证明4)4)：利用利用52例例2：设设(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：56XY11D05758相关系数的性质相关系数的性质线性关系线性关系59证明（证明（1）6061相关系数的意义相关系数的意义 相关系数是描述了相关系数是描述了X与与Y线性相关程度线性相关程度X,Y不相关不相关(弱弱)X,Y相互独立相互独立(强强)(没有线性关系）没有线性关系）(没有任何关系）没有任何关系）可能会有别的关系，可能会有别的关系，如二次关系。如二次关系。62复复习公式公式63实用的相关系数用
12、的相关系数计算公式算公式6465Variable 1Variable 2Data Correlations66Variable 1Variable 2Data Correlations67Variable 1Variable 2Data Correlations% Compute sample correlationr = corrcoef(var1,var2)68Variable 1Variable 2Data Correlations% Compute sample correlationr = corrcoef(var1,var2)r = 1.0000 0.7051 0.7051 1.0
13、00069练习题计算文档算文档testdata2.txt中数据的相关系数中数据的相关系数步步骤：1、用、用textread函数读取文档testdata2.txt中的数据 2、用corrcoef函数计算读取的两个随机变量数据的相关系数70Solution%read datavar1, var2 = textread(testdata2.txt,%f%f,headerlines,1)% Compute sample correlation r = corrcoef(var1,var2)% Plot data pointsfigure(1)plot(var1,var2,ro) Variable 2V
14、ariable 171程序运行程序运行结果果r=1.000000000000000.594792457879950.594792457879951.00000000000000所以相关系数等于：所以相关系数等于：0.5947924578799572相关系数等于：相关系数等于：0.5947924578799573应用用1：缺陷：缺陷检测74 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|=|Y| )=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？ 7576续例例 277续7879 例3：设X,Y相互独立服从同一分布， 记U=X-Y,V=X+Y,则
15、随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？804 矩、协方差矩阵 显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。协方差是二阶混合中心矩。 8182n维正态变量具有以下四条重要性质：83常见分布的期望与方差函数函数分布类型名称 函数名称 函数调用格式 二项分布 Binostat E,D= Binostat(N,P) 几何分布 Geostat E,D= Geostat(P) 超几何分布 Hygestat E,D= Hygestat(M,K,N) 泊松分布 Poisstat E,D= Poisstat( ) 连续均匀分布 Unifstat E,D= Unifstat(N) 指数分布 Expstat E,D= Expstat(MU) 正态分布 Normstat E,D= Normstat(MU,SIGMA) 分布 Tstat E,D= Tstat(V) 分布 Chi2stat E,D= Chi2stat(V) 分布 fstat E,D= fstat(V1,V2) 84
