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1、11.6 变量间的相关关系、统计案例高考理数高考理数考点变量的相关性、统计案例考点变量的相关性、统计案例1.两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.知识清单2.回归方程(1)最小二乘法求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程对于
2、一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归方程的截距和斜率分别为(3)相关系数rb.当r0时,表明两个变量正相关;当r3.841时,有95%的把握说X与Y有关;当K26.635时,有99%的把握说X与Y有关;当K210.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.1.求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;(2)利用公式=,=-求得回归系数;(3)写出回归直线方程.2.非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图;(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数;回归直线方程的求解回归直线方程的求解方法1方法技巧(3)
3、作恰当变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性回归方程.例1(2016课标全国,18,12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,2.646.参考公式:相关系数r=,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=-.解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得=4,
4、(ti-)2=28,=0.55,(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-49.32=2.89,r0.99.(4分)因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)(2)由=1.331及(1)得=0.10,=-=1.331-0.1040.93.所以,y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.93+0.109=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)评析本题主要考查线性回归直线方程及回归分析,计算准确是解题的关键,注意理解回归
5、分析的实际意义.独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度,首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量K2应该很小.如果由观测数据计算得到的K2的观察值k很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量K2的含义,我们把K2k0解释为有1-P(K2k0)100%的把握认为“两个分类变量有关系”;把K210.828,所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.(3)从“经常使用微信”的人中抽取6人,其中,青年人有6=4人,中年人有6=2人,记4名青年人的编号分别为1,2,3,4,2名中年人的编号分别为5,6,则从这6人中任选2人的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个,其中选出的2人均是青年人的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,故所求事件的概率为=.
