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1、中考总复习专题中考总复习专题 -折叠问折叠问题题张文明张文明 由于目前中考中出现的折叠问题主要集由于目前中考中出现的折叠问题主要集中在矩形折叠上，我们今天就以矩形为主中在矩形折叠上，我们今天就以矩形为主来研究一下折叠问题的解决方法。来研究一下折叠问题的解决方法。矩形的三类折叠问题：矩形的三类折叠问题：第一类：沿对角线折叠第二类：相对顶点重合第三类：其他1.如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿对角线沿对角线折叠，使点折叠，使点B落在点落在点E处，处， 求证：求证：AF=CF,EF=DF解答1.如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCD沿对沿对角线折叠，使点角线折叠，使点B落在点落在点E处，处
2、， 求证：求证：AF=CF,EF=DF解：解：ABC和和AEC关于折痕关于折痕AC对称对称 ACE=ACB,ABCAEC AE=AB, B=E 在矩形在矩形ABCD中，中，ADBC,AB=CD,B=D FAC=ACF=ACB,AE=CD,E=D AF=CF AFE=CFD AEF CDF EF=DFABCDEF2.图中的图中的BDC是将矩形纸片是将矩形纸片ABCD沿对角沿对角线线BD折叠得到，图中（包括实线、虚线在折叠得到，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形内）共有全等三角形 （ ） A.2 对对 B.3对对 C.4对对 D.5对对 （2001，呼和，呼和浩特）浩特）ABCDCAEBCE
3、DABDCDB BCDBCDABDCDBE3将矩形将矩形ABCD沿着对角线沿着对角线BD折叠，折叠，使点使点C落在落在C处，处，BC交交AD于于E, 下列结下列结论不一定成立的是论不一定成立的是 （ ） A.AD=BC B.EBD=EDB C.ABECBD D.sinABE= (2001,黑龙江）黑龙江）EDAEEABCDC4已知：将矩形已知：将矩形ABCD沿着直线沿着直线BD折叠，折叠，使使C落在落在C处，处，BC交交AD于于E ,AD=8,AB=4.求求BED面积。（面积。（2000，山西），山西）ABCDCEF分析：分析：思路思路1 1：视：视EDED为底，为底，ABAB为高，则求为高，
4、则求ED. ED. 思路思路2 2：视视BDBD为底，为底，作作EFBDEFBD于于F.F.求求BDBD、EF.EF.4已知：将矩形已知：将矩形ABCD沿着沿着直线直线BD折叠，使折叠，使C落在落在C处，处，BC交交AD于于E ,AD=8,AB=4.求求BED面积。（面积。（2000，山，山西）西）ABCDCE解一：在矩形在矩形ABCD中中 AD BC DBC=EDB 当当矩形矩形ABCDABCD沿着直线沿着直线BDBD折折 叠后，叠后，BCDBCD和和BCDBCD关于直线关于直线BDBD对称，对称， DBC =EBD EBD=EDB BE=ED 在在ABE中，中，BE2=AB+AE2设设ED
5、=EB=x,则则AE=8-xx=4+（8-x)解得解得 x=5 即即ED=5 S BED= EDAB=10返回4已知：将矩形已知：将矩形ABCD沿着沿着直线直线BD折叠，使折叠，使C落在落在C处，处，BC交交AD于于E ,AD=8,AB=4.求求BED面积。（面积。（2000，山，山西）西）ABCDCEF解二：作作EFBDEFBD于于F F 在矩形在矩形ABCDABCD中中 AD AD BCBC DBC=EDB DBC=EDB 当矩形当矩形ABCDABCD沿着直线沿着直线BDBD折叠后，折叠后，BCBCD D和和BCDBCD关于直关于直线线BDBD对称，对称， DBC =EBDDBC =EBD
6、 EBD=EDB EBD=EDB BE=ED BF=FD BE=ED BF=FD EFD=BAD=90 EFD=BAD=90 EDF=BDA EDF=BDA DEFDBA DEFDBAEF:AB=DF:AD BD=4 ，DF=2 AB=4, AD=8EF:4=2 ：8， EF=SBDE=10555返回5由以上四道题，我们可以得到：由以上四道题，我们可以得到：对于第一类的折叠问题常有：（1）图形中含有一个等腰三角形（2）常常利用矩形的对边平行且相等和矩形折叠形成的直角三角形来综合解题（3）前三道题的结论可以推广到平行四边形上（4）这类折叠问题的常用图形：EABCDC常有结论：BED是等腰三角形是
7、等腰三角形 AEBCED ABDCDB BCDBCD ABDCDB相等的线段相等的线段: AE=CE,BC=BC=AD,AB=CD=CD,BE=ED相等的角：相等的角：EBD=DBC=EDB,ABC=CDE,CDB=CDB=ABD返回目录第二类 相对顶点重合这类折叠问题的基本图形：ABCDOEF引例：已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形。（第二册几何课本152页例5；2001，北京东城）引例：已知：如图，平行四引例：已知：如图，平行四边形边形ABCD的对角线的对角线AC的垂的垂直平分线与边直平分线与边AD、BC分别分别交
8、于交于E、F，求证：四边形，求证：四边形AFCE是菱形。是菱形。证明：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AEFC EAO=FCO 又又 AOE=COF AO=CO AOECOF EO=FO 四边形四边形AFCE是平行四边形是平行四边形又 EFAC四边形四边形AFCE是菱是菱形形5已知：如图，矩形ABCD，长AD为4cm ,宽AB为3cm，若使相对两顶点重合，把纸对折，则折痕EF长为 cm.ABCDOEF分析：分析：思路1：利用菱形AFCE,列方程解。思路2：用相似三角形解5 5已知：如图，矩形已知：如图，矩形ABCDABCD，长，长ADAD为为4cm ,4cm ,宽宽ABAB为为3
9、cm3cm，若使相对两，若使相对两顶点重合，把纸对折，顶点重合，把纸对折，则折痕则折痕EFEF长为长为 cm.cm.ABCDOEF解解1：仿照引例证明四边形：仿照引例证明四边形AFCE是菱形是菱形 在在Rt ABF中中 AB+BF=AF 设设AF=x=FC,则则BF=4-x 3+（4-x)=x 解得：解得：x= OA= EF=2OF=2 = cm返回返回ABCDOEF解解2：当矩形沿：当矩形沿EF折叠后点折叠后点A与点与点C重合，即点重合，即点A、点点C关于关于EF对称，所以对称，所以EF垂直平分垂直平分AC,则则 FOC=ABC=90， ACB=FCO FOCABC FO:OC=AB:BC=
10、3:4由勾股定理由勾股定理AC=5,OC= ，则，则OF= 易证易证OF=OE,EF=2OF= cm第二类折叠问题中常有： （1）图形中常含有菱形，有对角线与折痕的互相垂直平分。（2）这类题常用直角三角形勾股定理或三角形相似。6。如图，把矩形ABCD纸对折，设这痕为MN，再把B点折在折痕线MN上，得到RtABE,沿着EB线折叠所得到的EAF是（ ）（第二册几何182页想一想）A.等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形 7如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连结PQ. (1) 求MP （2）求证：
11、以PQ为边长的正方形面积等于三分之一。（1996，宁夏）解：解：(1)BQ是是BQC和和BQP的对称的对称轴轴 BQCBQP PB=BC=1 M、N是是AD、BC 上的中点，上的中点，BN= PN= MP=1- (2)由（由（1）得）得BN= BP, BPN=30 PBN=60又又BQ平分平分PBC，BQ=2QC= PQ= BQ= . PQ=即以即以PQ为边长的正方形面积等于为边长的正方形面积等于ABCDMNPQ8如图把一张矩形如图把一张矩形ABCD的纸片，沿的纸片，沿EF折叠折叠后后ED与与BC的交点为的交点为G，点，点D,C分别落在分别落在D和和C的位置上若的位置上若EFG=55EFG=55度，求度，求11，22的度数。（的度数。（20002000，吉林），吉林） 折叠问题实质就是轴对称，对称轴就折叠问题实质就是轴对称，对称轴就是折痕所在的直线，它具有轴对称的性质，是折痕所在的直线，它具有轴对称的性质，特别常用的如特别常用的如(1)关于一条直线对称的两个关于一条直线对称的两个图形是全等形图形是全等形, (2)对称轴是对应点连线的对称轴是对应点连线的中垂线。中垂线。
