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1、1洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理 Fermat Fermat定理定理2分析分析: 设设欲证欲证:使使只要证只要证亦即亦即证明证明 作辅助函数作辅助函数 验证验证在在上上满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件.3证明证明 反证法反证法,由第由第1题题!若将第若将第1题改为题改为:提示：提示：4求证存在求证存在使使2. 设设 可导，且可导，且在在连续，连续，证明证明：因此至少存在因此至少存在显然显然在在 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,
2、即即设辅助函数设辅助函数使得使得5在在内可导内可导, 且且证明至少存在一点证明至少存在一点使使上连续上连续, 在在证明证明 第第2题的特殊情况题的特殊情况:n = 2!6证明证明不妨设不妨设设设 证明对任意证明对任意有有3.74. 设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续上连续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 试证必存在试证必存在 分析: 所给条件可写为想到找一点 c , 使证明证明: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故由由介值定理介值定理, 至少存在一点至少存
3、在一点 由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 8证明证明:9106. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使法法1 令令则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件,使使因此存在因此存在117 试证至少存在一点试证至少存在一点使使证证: 法法2 用柯西中值定理用柯西中值定理 .则则 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 即即分析分析:128.且且试证存在试证存在证明证明: 欲证欲证因因 f ( x ) 在在 a , b 上满足上满足L-中值定理条件中值定理条件,故有故有将将代入代入 , 化
4、简得化简得故有故有即要证即要证13证证例例1 114两式相减两式相减,则有则有1516例例2 2证明证明:两式相减两式相减, ,得得令令h0,0,两边取极限两边取极限, ,利用利用f ( a) 的连续性得的连续性得17 有关中值问题的解题方法小结有关中值问题的解题方法小结利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯西中值定理柯西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含
5、高阶导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .1819单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘. .导数的应用导数的应用1. 研究函数的性态研究函数的性态:增减增减 , 极值极值 , 凹凸凹凸 , 拐点拐点 ,渐近线渐近线 .2. 解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题3. 其他应用其他应用 : 证明不等式证明不等式 ;
6、研究方程实根等研究方程实根等.201. 1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上严格单调递增上严格单调递增在在 I 上严格单调递减上严格单调递减在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减212. 2. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点极值可疑点 : 使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2) 第一充分条件第一充分条件过过由由正正变变负负为极为极大大值值过过由由负负变变正正为极为极小小值值(3) 第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值223. 3. 在在 a, b 上连续的函数上连续的函数f( (x) )的最大（小）值求法的
7、最大（小）值求法求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点(2) 最大值最大值最小值最小值注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )234.4.连续曲线凹凸与拐点连续曲线凹凸与拐点（1 1）凸（凹）函数的定义）凸（凹）函数的定义24（2 2）凸函数的判定）凸函数的判定判定法则判定法则1判定法则判定法则2判定法则判定法则325(3) (3) 拐点的定义及判定法拐点的定义及判定法拐点拐点 连续曲线上有切线的连续曲线上有切线的凹凸分界点凹凸分界点过过由由正正变变负负或或过过由由负负变变正正判定法则判定法则126例例1 1证证27例例2证明证明方法方法1：2829例例3证明证明3031证明证明32证法一：证法一：33证法一：证法一：证法二：证法二：34
