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1、第一章第一章分析力学基础分析力学基础 18 18世纪提出了处理多个约束的刚体系统动力学问题。世纪提出了处理多个约束的刚体系统动力学问题。 利用利用矢量力学矢量力学分析出现以下问题：分析出现以下问题： 对于复杂约束系统约束力的性质和分布是未知的；对于复杂约束系统约束力的性质和分布是未知的； 表述形式复杂。如球坐标系下的运动方程。表述形式复杂。如球坐标系下的运动方程。 质点系问题为大量方程的微分方程组。质点系问题为大量方程的微分方程组。 1788 1788年拉格朗日发表了年拉格朗日发表了分析力学分析力学一书，提出了一书，提出了解决动力学问题的新观点和新方法：解决动力学问题的新观点和新方法：采用功和
2、能量来描采用功和能量来描述物体的运动和相互作用力之间的关系。述物体的运动和相互作用力之间的关系。与矢量力学相比，与矢量力学相比，分析力学的特点：分析力学的特点： （3 3）追求一般理论和一般模型，对于具体问题，只要代入和展开）追求一般理论和一般模型，对于具体问题，只要代入和展开 的工作，处理问题规范化。的工作，处理问题规范化。（1 1）把约束看成对系统位置（速度）的限定，而不是看成一种力。）把约束看成对系统位置（速度）的限定，而不是看成一种力。 （2 2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学 分析方法，得到标量方程。分析方法
3、，得到标量方程。（4 4）不仅研究获得运动微分方程的方法，也研究其求解的一般方）不仅研究获得运动微分方程的方法，也研究其求解的一般方 法。法。 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目，称为质点系的的数目，称为质点系的自由度数自由度数，简称，简称自由度自由度。 1 11 1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 例：确定一个质点在空间的位置需例：确定一个质点在空间的位置需3 3个独立的参量个独立的参量 自由质点为自由质点为3 3个自由度。个自由度。例：质点例：质点M 被限定只能在球面被限定只能在球面的上半部分运动的上半部分运动由此解出由此解出这
4、样该质点在空间中的位置就由这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定这两个独立参数所确定它的自由度数为它的自由度数为2。 n个质点组成的质点系个质点组成的质点系， 若受到若受到s个完整约束作用个完整约束作用自由度数为自由度数为 N=3n-s描述质点系在空间中的位置的独立参数称为描述质点系在空间中的位置的独立参数称为广义坐标。广义坐标。对于完整约束对于完整约束广义坐标的数目系统的自由度数广义坐标的数目系统的自由度数思考：思考：非完整约束，广义坐标数目和系统的自由度数目的关系？非完整约束，广义坐标数目和系统的自由度数目的关系？拉格朗日广义坐标拉格朗日广义坐标 约束方程为约束方程为 系统
5、系统N个独立的坐标参量表示为个独立的坐标参量表示为系统的系统的n个坐标参量个坐标参量 设由设由n个质点组成的系统受个质点组成的系统受s个完整双侧约束个完整双侧约束 其中其中为广义坐标为广义坐标 的变分称为的变分称为广义虚位移广义虚位移。 例：一单摆在空间摆动，摆长为例：一单摆在空间摆动，摆长为l。 约束方程为约束方程为 自由度数为自由度数为2 2。 x，y为独立变量为独立变量 （单摆在（单摆在xy面上的投影与面上的投影与x轴夹角）为独立变量。轴夹角）为独立变量。 思考：思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度数目的关系如何？数目的关系如
6、何？描述导弹的位置：描述导弹的位置：质心的位置质心的位置导弹的纵轴和导弹的纵轴和x 轴的夹角轴的夹角独立的广义坐标数目为独立的广义坐标数目为3 3 约束方程约束方程 导弹的速度方向要对准飞机的质心导弹的速度方向要对准飞机的质心 非完整约束非完整约束 独立的虚位移数目自由度数目独立的虚位移数目自由度数目2 2 设作用在第设作用在第i个质点上的主动力的合力个质点上的主动力的合力 在三个坐标轴上的投影分别为在三个坐标轴上的投影分别为 虚功方程虚功方程 1 12 2 以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 1.1.以广义坐标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件称为与
7、广义坐标称为与广义坐标 相对应的相对应的广义力广义力 。 由于广义坐标的独立性由于广义坐标的独立性 可以为任一值可以为任一值 如令如令 质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 用广义坐标表示的质点系的平衡条件用广义坐标表示的质点系的平衡条件 求广义力的两种方法求广义力的两种方法 1.1.直接计算法（解析法）直接计算法（解析法） 2.2.几何法几何法 令某一个令某一个 不等于零不等于零 而其他而其他N-1个广义虚位移都等于零个广义虚位移都等于零 利用广义虚位移的任意性，利用广义虚位移的任意性， 例例1 11 1已知：杆已知：杆OA和和AB以铰链相
8、连，以铰链相连， O端悬挂于圆柱铰链上，端悬挂于圆柱铰链上， 杆长杆长OA=a AB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计。杆重和铰链的摩擦都忽略不计。今在点今在点A和和B分别作用向下的铅锤力分别作用向下的铅锤力 和和又在点又在点B作用一水平力作用一水平力试求：平衡时试求：平衡时 与与 ， ， 之间的关系。之间的关系。 系统有两个自由度。系统有两个自由度。 现选择现选择 和和 为系统的两个广义坐标为系统的两个广义坐标 计算其对应的广义力计算其对应的广义力 和和用第一种方法计算广义力：用第一种方法计算广义力：解：解：故故系统平衡时应有系统平衡时应有 用第二种方法计算：用第二种方法计算： 保持保持 不变
9、，不变， 只有只有 时时则对应于则对应于 的广义力为的广义力为 可得一组虚位移可得一组虚位移 保持保持 不变，不变， 只有只有 时时可得另一组虚位移可得另一组虚位移 对应于对应于 的广义力的广义力 例例 1 12 2已知：重物已知：重物A和和B分别连接在细绳两端，重物分别连接在细绳两端，重物A放置在粗放置在粗 糙的水平面上。重物糙的水平面上。重物B绕过定滑轮绕过定滑轮E铅直悬挂。铅直悬挂。 在动滑轮在动滑轮H的轴心上挂一重物的轴心上挂一重物C。 设重物设重物A重量为重量为重物重物B重量为重量为，不计动滑轮不计动滑轮H的重量。的重量。试求：平衡时重物试求：平衡时重物C的重量的重量 ；以及重物以及
10、重物A与水平面间的静滑动摩擦因数。与水平面间的静滑动摩擦因数。 系统具有两个自由度。系统具有两个自由度。 广义坐标广义坐标： 首先令首先令 向右向右， 主动力所做虚功的和为主动力所做虚功的和为 对应广义坐标对应广义坐标 的广义力为的广义力为 解：解：因为系统平衡时应有因为系统平衡时应有 因此平衡时因此平衡时, ,要求物块与台面间静摩擦因数要求物块与台面间静摩擦因数 再令再令 向下，向下， 2.2.以广义坐标表示的保守系统的平衡条件及系统的稳定性以广义坐标表示的保守系统的平衡条件及系统的稳定性 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，势能为如果作用在质点系上的主动力都是有势力，势能为各力的投影为各
11、力的投影为 虚功为虚功为 虚位移原理的表达式成为虚位移原理的表达式成为 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点 系的势能在平衡位置处一阶变分为零。系的势能在平衡位置处一阶变分为零。如果用广义坐标如果用广义坐标 表示质点系的位置。表示质点系的位置。 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数则质点系的势能可以写成广义坐标的函数 由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式 在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能 对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。对于每个广义
12、坐标的偏导数分别等于零。不稳定平衡：不稳定平衡：在平衡位置上系统势能具有极大值。在平衡位置上系统势能具有极大值。随遇平衡：随遇平衡：系统在某位置附近其势能是不变的。系统在某位置附近其势能是不变的。 稳定平衡：稳定平衡：在平衡位置处系统势能具有极小值。在平衡位置处系统势能具有极小值。对于一个自由度系统，对于一个自由度系统， 系统具有一个广义坐标系统具有一个广义坐标q，因此系统势能可以表示为因此系统势能可以表示为q的一元函数的一元函数即当系统平衡时，当系统平衡时，在平衡位置处有在平衡位置处有如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能具如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能具有极小值
13、。有极小值。即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零 一个自由度系统平衡的稳定性判据一个自由度系统平衡的稳定性判据例例 1 13 3已知：如图所示一倒置的摆，摆锤重量为已知：如图所示一倒置的摆，摆锤重量为 ，摆杆长度为，摆杆长度为l，在摆杆上的点在摆杆上的点A连有一刚度为连有一刚度为k的水平弹簧，摆在铅直的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设位置时弹簧未变形。设OA=a摆杆重量不计。摆杆重量不计。试求：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。试求：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。解：解：该系统是一个自由度系统，该系统是一个自由度系统， 选择摆角选择
14、摆角 为广义坐标。为广义坐标。 摆的铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能的零点。摆的铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能的零点。系统的总势能为系统的总势能为由有有由由得到系统的平衡位置为得到系统的平衡位置为对于稳定平衡对于稳定平衡要求要求即即 1 13 3 动力学普遍方程动力学普遍方程n个质点组成的系统个质点组成的系统第第i个质点个质点 , ， ， ， 。惯性力为惯性力为理想约束作用理想约束作用 在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。 写成解
15、析表达式写成解析表达式动力学普遍方程动力学普遍方程特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。特别适合于求解非自由质点系的动力学问题。例例 14已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 的的 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩的重物。设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩 擦都忽略不计。擦都忽略不计。求：质量为求：质量为 的物体下降的加速度。的物体下降的加速度。解：解：取整个滑轮系统为研究对象。取整个滑轮系统为研究对象。由动力学普遍方程由动力学普遍方程例例 1 15 5已知：两相同均质圆轮半径皆为已知
16、：两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为质量皆为m。求：当细绳直线部分为铅垂时，轮求：当细绳直线部分为铅垂时，轮II中心中心C 的加速度。的加速度。解：解：研究整个系统。研究整个系统。此系统具有两个自由度此系统具有两个自由度取转角取转角 为广义坐标为广义坐标令令则点则点C 下降下降动力学普遍方程动力学普遍方程（a）令令则则代入动力学普遍方程代入动力学普遍方程或或（b b）运动学关系运动学关系（c c）联立式（联立式（a a）（）（b b）（）（c c）解出）解出 1 14 4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 设由设由n质点组成的系统受质点组成的系统受s个完整约束作用，系统具有个完整约束作用，
17、系统具有N=3n-s个自由度。个自由度。设设 为系统的一组广义坐标为系统的一组广义坐标对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立的。故故 是任意的，是任意的， 为使上式恒成立，为使上式恒成立， 必须有必须有广义惯性力广义惯性力上式不便于直接应用，上式不便于直接应用， 为此可作如下变换：为此可作如下变换：（1）证明：证明：注意注意 和和 只是广义坐标和时间的函数只是广义坐标和时间的函数（2）证明证明：对时间求微分对时间求微分而而若函数若函数 的一阶和二阶偏导数连续的一阶和二阶偏导数连续得到得到第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程拉格朗日方程方程
18、式的数目等于质点系的自由度数。方程式的数目等于质点系的自由度数。如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力）如果作用在质点系上的主动力都是有势力（保守力）于是拉格朗日方程可以写成于是拉格朗日方程可以写成引入拉格朗日函数（又称为动势）引入拉格朗日函数（又称为动势）则拉格朗日方程又可以写成则拉格朗日方程又可以写成例例 1 16 6已知：轮已知：轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。A，B两轮皆为均质圆盘，两轮皆为均质圆盘，质量为质量为 的物块的物块C以细绳跨过定滑轮以细绳跨过定滑轮B联于点联于点A，半径为半径为R，质量为质量为 ，弹簧刚度为弹簧刚度为
19、k，质量不计。质量不计。试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，试求：当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下， 此系统的运动微分方程。此系统的运动微分方程。解解： 此系统具有一个自由度，此系统具有一个自由度， 以物块平衡位置为原点。以物块平衡位置为原点。取取x为广义坐标为广义坐标。以平衡位置为重力零势能点。以平衡位置为重力零势能点。取弹簧原长处为弹性力零势能点。取弹簧原长处为弹性力零势能点。系统在任意位置系统在任意位置x处的势能为处的势能为其中其中 为平衡位置处弹簧的伸长量为平衡位置处弹簧的伸长量此系统的动能为此系统的动能为系统的动势为系统的动势为代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程得得
20、注意到注意到则系统的运动微分方程为则系统的运动微分方程为例例 1 17 7试求：此系统的运动微分方程。试求：此系统的运动微分方程。已知：运动系统中，已知：运动系统中，可沿光滑可沿光滑，两个物体两个物体重物重物 的质量为的质量为摆锤摆锤 的质量为的质量为水平面移动。水平面移动。用无重杆连接，杆长为用无重杆连接，杆长为l。解：解：选选 和和 为广义坐标为广义坐标（a a）将式（将式（a a）两端对时间求导数）两端对时间求导数（b b）系统的动能系统的动能则系统的势能为则系统的势能为选质点选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置在最低处时的位置为系统的零势能位置由此得由此得把以上结果代入拉格朗日方
21、程中把以上结果代入拉格朗日方程中如果质点如果质点 摆动很小，摆动很小，可以近似地认为可以近似地认为且可以忽略含且可以忽略含 和和 的高阶小量，的高阶小量， 上式可改写为上式可改写为（c c）（d d）从以上两式中消去从以上两式中消去，得到，得到（e e）这是自由振动的微分方程，其解为这是自由振动的微分方程，其解为（f f）固有角频率为固有角频率为摆动周期摆动周期（g）如果如果则质点则质点 的位移的位移 将很小将很小质点质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期的摆动周期将趋于普通单摆的周期若将式（若将式（e e）代入（）代入（d d）得到得到（h）可见质点可见质点 沿沿x方向也作自由振动。方向也作自由振动。将式（将式（f f）代入，）代入，
