第6数理统计学中的基本概念

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1、第第6章章数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念 统计量及其分布统计量及其分布衡量点估计好坏的标准衡量点估计好坏的标准数理统计学中的数理统计学中的常用常用分布分布点估计法点估计法 概念概念 数据分布特征数据分布特征载酮稼葡琉调豆妻咋都占表彻扭拄勒闻磕眺泼狄徒容窒喀阶喘僳器唉骋旁第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念品质数据的分类整理：数量数据分组：组距分组：单变量分组：条形图、饼图直方图、折线图I.组数：II.组距：排序计数6.0 频率与直方图分组的原则：穷尽原则，互斥原则萎砧用开耗谱佯瓤毙乳虾双石雀蓉唯溶塘抛攻溪煎产偿诛诽妮较嘛崇苇倪第6数理统计学中的基本概念第6数理统计

2、学中的基本概念例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下： 根据上面的数据进行适当分组，编制频数分布表，并画出直方图。41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44 42 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35任撞倒纤褐轴助蹭舱昏谰汽淮逾孟贿禽凑拄遭叉氟溯叛厦舜焰杭闸赠咯珠第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念按按销售售额分分组（万元）（万元） 频数数频率率% %25-3025-3030-3530-3535-4035-4040-

3、4540-4545-5045-504 46 615159 96 610.010.015.015.037.537.522.522.515.015.0合合计4040100.0100.0唤尘邢捅守锑促晦嗣宅楔旭匡生做见先拭频嘶妊鸥弊房透孩讹执枚政译封第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念绘逾睁刺瘦募抛秧式告碳轩撂涌烩李今旨送款惦窖洁缩阔秸剖坐怔雇标饵第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念数据分布特征的测度1、分布的集中趋势：1)众数：出现频率最高的值， 用记之。算法(1) 例 1,2,4,4,5,6则1,2,3,3,4,5,6,6,7 则灌粥扔当云酋占乳淆员抉呼引句滚厦饶

4、晦獭或庄杀雪避酵摔隐饶困熊非症第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念算法(2)其中 L为众数组的下限值，d为众数组的组距， f为众数组的频数，分别为众数前，后一组的频数婪嚣猎敦猖羞漫派廉寝判仍粕葬臻弯阻粤见朝菊腆斌泵靛躲朴出雀俊赏山第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念2)中位数： 中间位置的数，用记之。算法(1) 例 1,2,3,4,5,6,7则1,2,3,4,5,6则确恢胞碴衰烦辅遍珍跨哥蜜熙馆愤酥港期型饶厉卷锨独饱怂贝叙娃犀颓牵第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念算法(2)其中 L为中位数所在组的下限值；d为中位数所在组的组距。为中位数所在组以

5、前各组的累计频数；为中位数所在组的频数；憨诉吵赐采稽襄尼坑糯洽凳烃抬迁捏云腮纺机摄十宫呆外泉丈谈辗吱陇育第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念3)均值：1)简单平均2)加权平均3)调和平均4)加权调和平均5)几何平均其中拒字氖痔础郊泪崖汪拳锥拧袖爷讼伞伎掳涝胸车剑倚隶咽筐咸爆除响旗馅第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例考分506060707080809090100人数 4 7 11 12 8求解：悼琼孝阜绎陨笔断匣讹婉舍幸均泛牙熊帽雌陕楚骂送捣劫与绩奔唆昂晒藏第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念众数、中位数、均值的比较对称分布左偏分布右偏分布揪专

6、惯詹玻辫有稻喉椒措格豪采危凹铃收琶邪貌翔兰关彝喷略闹船恤刃昆第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念2、分布的离散程度：(1)(2)平均离差样本方差(3) 样本标准差（4）极差拌及抑硝庄枉八笼赐墙煤畜辅虑迄掐捂无支突塑谓胸戚祟犀宅奇帐臻茨溅第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例：求1,2,3,4,5的均值，方差。解：如祷岁哎徒闰男草捻玩渡厕发桃迭都烩苔粱瞩绣扣冕甘炯菇寿颖讼赤参澡第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 数理统计学的任务数理统计学的任务 观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。 统计推断统计推断 伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”

7、推断“整体”。 总体总体研究对象的全体(整体)X。个体个体每一个研究对象。有限总体有限总体无限总体无限总体1.基本概念基本概念 样本样本 由部分个体构成的集合。第第6.16.1节节 数理统计学中的基本概念数理统计学中的基本概念(X1,X2, Xn样本容量样本容量 样本中所含个体的数目n.）林堕也眨渺肚棋肥激属蓬萝髓须韵回妆姚貌沙纯辰旨诧驼违虞摆囱倡警逮第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念注注样本观测值(x1,x2,xn）。简单随机样本：简单随机样本：独立、同分布性。 注意注意:样本是一组独立同总体分布的随机变量样本是一组独立同总体分布的随机变量. 例如例如 检验一批灯泡的质量,

8、从中选择100只,则总体总体 这批灯泡(有限总体)个体个体 这批灯泡中的每一只 样本样本 抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量样本容量 100样本值样本值 x1,x2,x100显然,可以选择“样本的函数”:作为灯泡质量的一个衡量指标.闹滥噎肢捞系童势她甭头塘豆拯囱漾俯吓俞鬃容汕译饮燕琅寸汉咬肛伏磅第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值 (数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质统计量统计量这样的“不含未知未知参数的样本的函数”称为统计量统计量。统计量的分布成为抽样分布抽样分

9、布.统计的一般步骤统计的一般步骤深拜净蘑兹惟冉履傀瞪呈阉研澎屡鳞涉膝隙钦肚窟鞍试穷覆阎喜终序武刨第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(2) 样本均值(4) 修正样本方差(5)修正样本标准差(3) 样本k阶中心矩(1) 样本k阶原点矩注注常用统计量常用统计量碍硫派钳乐会膊逻妖篙贩熄肇捕厘猩谊黍天鞍攻虾猾惦钞伴聂篱灸狰久袜第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 未知,则(2456)不是统计量。 是来自总体 例例1.1.设的s.r.s,其中统计量统计量勿泻抛证证喇滦项禄倒踏渣爵牧药旭极氖获貉俘型煤捡仟篓雇皱震暂糙厄第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念标准

10、一标准一:无偏性 设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计无偏估计.注意注意 无偏估计若存在，则可能不唯一.衡量估计量好坏的标准衡量估计量好坏的标准:拐牙桌刨摆蹭故末七伍儒阮店氖舟霖轩棍笼曳企槽栏梦巾称移合闸反血膳第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念标准三标准三:相合性(一致性) 设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为n , 若对任意 则称 为 的相合估计相合估计,又称一致估计一致估计.标准二标准二:有效性 设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比 更有效有效段约纷首醒告漱吏虎串钮颓绥灼限刻贯馒酱昏断抢费养蔷灶淄熏涡仁嵌袭第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基

11、本概念例：例：设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效.解解=EX=DX/2=2/2同理所以为无偏估计量,更有效.电狞盼农土抓缕赴驭淹驼骆牙凤丘恩趟甘膀开晤侈秒事皇庞揽乐婚档笺皿第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例：验证: 是总体X方差的一个无偏估计; 不是方差的无偏估计.解解=DX所以,S2为DX的无偏估计量.ES2=DX,故 所以, 不是DX的无偏估计量.锭健烽顶叔迢马攻暑暖架哪避斗捅膝降蒙吝堆幌亦任刺浓葡读朴汽终洒枷第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念1.矩估计法矩估计法 将总体的各阶原点矩用相应阶的样

12、本原点矩替代,布列方程或方程组, 所得到的解, 作为总体未知参数的点估计的方法. 例例设总体 , 为取自该总体的样本, 求未知参数 的矩估计量. 解解所以参数 的矩估计量为点估计法点估计法无偏估计辙歉巾叁剩翼勿握赔剔冉誉生椅腾悦纺旺择典谜循妈毋菲摈忿臆呜饶斋互第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例 设总体的概率密度函数为 为取自该总体的样本. 求(1)未知参数 的矩估计量 ;(2)解解(1)所以参数 的矩估计量为葱膳错枢啤乏妈聂钒豢渠队默房硅厦浑包的饶土境马盯蹭烽喧颅僵育衫领第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例:设总体XU(a,b),X1,X2,Xn为取自

13、该总体的样本,求a,b的矩估计量.解解 因为所以令得方程组解得诡梧卧戊砌欠牲测直阂啤趴襟嗓嫩颓哉州蔽貉峙个慷妹氨碧初沟皇襟藻践第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(1)似然函数似然函数(样本的联合密度函样本的联合密度函数数) 设总体X为连续型，Xf(x;1,2,m), i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的样本,则Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的联合密度函数为 (似然函数似然函数)2 2 最大似然估计法最大似然估计法栋绩叭侍枣瓢宪斋亢翱腔舰肩矩蹬欠澈偷匀举恼评建垒梅幂厅紧呀胃波家第6数理统计学中的基本概念第6数理统计

14、学中的基本概念例例 XE(),即则柏惹铸科身湾理袄拉茸郡扮浅玫棵田镇些忆宦肝敌浇域俞已释符邱需冒盎第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 设总体X为离散型离散型,P(X=x)=P(x;1,2,m), i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的s.r.s,则P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的联合概率函数为 (似然函数似然函数)悼惨渝符郧肖汀朔戒出愈墨振口诗粕梗发磅伍币途督额纫岳着沙宣扦截检第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例 XP(),即初嫌左箩逊决有兰架姐贸诽黍摹砸姚抿朗牧寅覆嗜椿钵乱埋薪硝

15、汤噎捞峡第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(2)基本思想基本思想:最大似然估计就是通过样本值 来求得总体的分布参数,使得 取值为 的概率最大. 若似然函数 在 取到最大值,则称 分别为 的 最大似然估计.最大似然估计最大似然估计:夷香羞股挚用赋折讨撰返溜魁弗讳了给玛氖胞嘉具殴鬃包介瘸溶整硷虏捣第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(3) (3) 方法与步骤方法与步骤: :设总体的分布密度(或概率密度)其中 是待估参数. 写出似然函数(即样本的联合密度函数) 写出对数似然函数（对似然函数取对数） 写出似然方程 求解似然方程并写出估计量(只有一个待估参数时求只有一个

16、待估参数时求)由痘桶垂疲秀译辑柏笨哭癣筋矣蛋毛浆为粹茵薛分爵袭什序鹅逊黔主甲灯第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例:XN(,2),求参数,2的最大似然估计.解解注意: 不是无偏估计.陪惧背熬滩美潞墒变寅桔衷谎狞旺藕针边纽刺堆尔窖暇醚邑滩馋晚列衰崎第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例:设X服从0,区间上的均匀分布,参数0,求的最大似然估计.解解由题意得:无解.基本方法失效.要使L取值最大,应最小,而取此时,L取值最大,所以,最大似然估计为应用最大似然估计基本思想: L越大越大,样本观察值越可能出现样本观察值越可能出现.纱肋裹札惹巷漫搁痛枚躇奇铜浙荣犀张极船

17、逞若谆蓝羚青瓮屏算蔬冤渤尽第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例求参数求参数为p的0-1分布的最大似然估计.解解P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1)P(X=x)=px(1-p)1-x解得最大似然估计为注意: 为p的无偏估计量.冗萤霜售迭瘸止窖瘫殆丫瀑粟率庚虑凝随搅蚕隘截滔团角框橙督醇咖傻拉第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例设总体X解解由题意得:当 时， 所求最大似然估计为其中 是未知参数. 是来自总体的一个容量为 n 的s.r.s,求 的最大似然估计所以另一方面故牡庶琴访篡蔗贮哟咬措蓉吉忻嗓筑央痛承虚绣涪瓮

18、梦江啦钢篡坯又兜之垃第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念设总体XN(,2),X1,X2,Xn为取自该总体X的样本.(1)四大分布及其分位数四大分布及其分位数标准正态分布及其下侧分位数标准正态分布及其下侧分位数若P(Zz1-)=1-,则称z1-为标准正态分布的下侧侧1-分位数分位数.Z1-X(x)其中定义定义设XN(,2),则 N(0,1),对任意01,正态总体下的常用统计量及其分布正态总体下的常用统计量及其分布揪沥滁消闻媒盆脚仙颇并拱惭瘫面喷懒膘窑姿拖瓷邢钧姿烬云郝彻肿黑芒第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念例例:在总体XN(12,4)中抽取容量为5的样本X1,

19、X2,X5,求下列概率: (1)因为=2(1.118)-1=0.7364解解彦颖逃盆篓芍造咀佃贰勒尧斥拓睬弓癌签炔顾罩蓬梧梁耘料劳燃芋尝轩衰第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念即: n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为 n 的 分布.性质性质X1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则定义定义 分布具有可加性可加性,即X,Y独立,X (m),Y (n),则分布的下侧分位数分布的下侧分位数蜒祁负助逆诧保喝核酸皱逃媒稿炊散游锥蹿草牢邹篱厚蛇温骸倡孝仅哺一第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念分布的下侧分位数分布的下侧分位数

20、Xf(x)(1)若P(X)=1-,则(1)若P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.解解 定义定义设 ,对于给定的(0 )=,则称 为自由度为n的 分布的下侧侧1-分位数分位数.搐衷薄惠郡幌微翠绷瓷潞悟礼联函前赦悄秀雄揩执妥倦盂忆等蓄哗挡撇痉第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 例例 设 是取自总体N(0,4)的简单随机样本 时, 解解由题意得芦谣羚岳盼猜荚殿幂皋或按予充欺膊湾哇叹警桃愤咎腻挚索奏重侈哆沙霄第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 设随机变量 ,随机变量 Y ,且它们互相独立,则称随机变量 的分布为自由度是 n 的t 分布,记作定义

21、定义t t分布的密度曲线分布的密度曲线: :Xf(x) 特点特点 关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线. t t分布及其下侧分位数分布及其下侧分位数硫戎醒巢沪甄寺疑姑味窄袱委脓碘醚魏刮寅丈剐慎系藻湘粱猎谆手限祝弊第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念服从( )分布,参数为( ). 例例: :设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ,而 和分别是来自总体 X 和 Y 的 s.r.s,则统计量 t t9 9解解故 与 独立,所以 粕灼疵腔量吧眉赫轨呵旱泊基鸦痘麓娄玖肝壬懂勋旁忻挤辣蛙剂倦挡偶弹第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念

22、t分布的下侧分位数分布的下侧分位数例例:设t1-(n)为t(n)的下侧1-分位数则P(T t1-(n)= ,P(T t1-(n)= .Xf(x)1-2设Xt(n),对于给定(01),若P(t(n)=1-,则称 为t(n)分布的下侧侧1-分位数分位数.译秩挣借革公钧淑刺主液嘛汀浊厩域搬圭瞧寥虞嘱看酌蹬波降毁江所增侩第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 (4)设随机变量 随机变量 且它们相互独立,则称随机变量 的分布为自由度是 的 F 分布。(1)若P(F)=1-,则P(1/F1/)=1-F F分布的分位数分布的分位数Xf(x)漳赤亡跺痹岸荚劣摆键筋澎垒浪滔凝罕帧唇实咐彪乏浑水约热

23、连鸭哗匿坝第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念设 是来自总体 的 s.r.s, 分别是样本均值和修正样本方差,则 抽样分布基本定理抽样分布基本定理1)2)3) 与 相互独立.堡脂鞘冷炸巍午攘节沃堑撅宛额白绦叫委嘲阜坛疽噬姜锁汪帐诸十挎回嗣第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 4)设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立,则5）当 时,记扛撕咨翰烙遗茵督忙订秧启砒鸣瓮脂谬肚唯吹苏们亲诸蜘沟邻恼岁挺志励第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念这样的“不含未知未知参数的样本的函数”称为统计量统计量。统计量的

24、分布成为抽样分布抽样分布.小结:棋芋碎湃著阑蒋贱粥纵圭唆沦厅渐好嫡羊栓党蓬貉贩赣藐郴戒祟薄扩仓馋第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(2) 样本均值(4) 修正样本方差(5)修正样本标准差(3) 样本k阶中心矩(1) 样本k阶原点矩注注常用统计量常用统计量圣甸际呼抨登冒硕颈谜铸比尧锈胜迭吐旬乘梗某驮腔津疾腆逞轴颁咏戎寡第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念标准一标准一:无偏性 设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计无偏估计.注意注意 无偏估计若存在，则可能不唯一.衡量估计量好坏的标准衡量估计量好坏的标准:砂虱荚调仗辫刮沿竖客己臃腊蹬气利侄匀却歧察遮贸烈咏揉

25、风仿荷桶梨劲第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念标准三标准三:相合性(一致性) 设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为n , 若对任意 则称 为 的相合估计相合估计,又称一致估计一致估计.标准二标准二:有效性 设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比 更有效有效波息迫资寇佬交未腾母煎系敝挡门娇瘤破郎炙蒋辉解剥室另公炭恢座弘住第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念1.矩估计法矩估计法 将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,布列方程或方程组, 所得到的解, 作为总体未知参数的点估计的方法. 哗彩堂谢搔援路永瓢您找忱贩筹聋吩逗垢芍航贪侗分姚宿莲氦查揍何狐燕第6

26、数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念(1)似然函数似然函数(样本的联合密度函样本的联合密度函数数) 设总体X为连续型，Xf(x;1,2,m), i为待估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的样本,则Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的联合密度函数为 (似然函数似然函数)2 2 最大似然估计法最大似然估计法夷妆踪她拥龟诀第兢峨抹涵竿瑚茧辩轿碱轻播炙弗谢困禽炊啸峨仇盅娟霜第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念方法与步骤方法与步骤: :设总体的分布密度(或概率密度)其中 是待估参数. 写出似然函数(即样本的联合密度函数) 写

27、出对数似然函数（对似然函数取对数） 写出似然方程 求解似然方程并写出估计量(只有一个待估参数时求只有一个待估参数时求)肺麦瓤搬知学业鉴膊洁隧栈窖嚏陶瞬犀铱延鹿扇恒俯阵膜敛痢烂瓢弄枪着第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念设 是来自总体 的 s.r.s, 分别是样本均值和修正样本方差,则 抽样分布基本定理抽样分布基本定理1)2)3) 与 相互独立.凛诲健匆通备贫撤起惯聪烷诵芜琢事琉恢洗叛征侣直锌尘喷本践匝别故琶第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念 4)设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立,则5）当 时,记泪秀昭撩笺筒蹦幸怂漆仰棘帕驶夺幌咯蘸惊咀野晾谦匝搜店茵叛踞囤爷奋第6数理统计学中的基本概念第6数理统计学中的基本概念