《概率论与数理统计课件：7-1 参数估计矩估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计课件：7-1 参数估计矩估计（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总体总体样本样本统计量统计量描述描述作出推断作出推断随机抽样随机抽样 参数估计问题是利用从总体抽样得到的样参数估计问题是利用从总体抽样得到的样本来估计总体的某些参数或者参数的函数本来估计总体的某些参数或者参数的函数. .第七章第七章 参数估计参数估计 在参数估计问题中，假定总体分布在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数. .这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计. .参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1, X2, Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计，或估计作出估计，或估计的某个已知函数的某个已知函数 .
2、 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量).). 为为 F(x, )，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( ( 可以是可以是参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计点估计点估计 估计未知参数的值估计未知参数的值区间估计区间估计 根据样本构造出适当的区根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真值未知参数的已知函数的真值1 1 点估计点估计已知总体已知总体XX1, X2, Xn为样本为样本据此据此, ,我们应如何估计我们应如何估计 为估计为估计
3、,我们需要构造出适当的样本的函数我们需要构造出适当的样本的函数T(X1, X2, Xn)（即统计量即统计量），），每当有了样本观测每当有了样本观测值值x1, x2, xn ，就代入该函数中算出一个值就代入该函数中算出一个值T(x1, x2, xn ) ，用来作为用来作为 的估计值的估计值 . .T(x1, x2, xn ) 称为参数称为参数 的一个估计值的一个估计值T(X1,X2,Xn)称为参数称为参数 的估计量的估计量 请注意，被估计的参数请注意，被估计的参数 是一个未知常数，是一个未知常数，而估计量而估计量 T(X1,X2,Xn)是一个随机变量，是是一个随机变量，是样本的函数样本的函数,
4、, 当样本值取定后，估计值是个当样本值取定后，估计值是个已知的数值已知的数值. .问题是问题是: :使用什么样的统计量去估计使用什么样的统计量去估计 ？ （一）（一）. . 矩估计法矩估计法 设总体的设总体的k阶原点矩为阶原点矩为 k，它们一般均它们一般均为参数为参数 的函数，记为的函数，记为 k（ ）。）。 替换原理替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：总体矩及其函数，譬如：用样本均值估计总体均值用样本均值估计总体均值E E( (X X) )，即，即 ；用样本方差估计总体方差用样本方差估计总体方差Var(Var(X X) )，即，即用样
5、本的用样本的 p p 分位数估计总体的分位数估计总体的 p p 分位数，分位数，用样本中位数估计总体中位数。用样本中位数估计总体中位数。 由辛钦大数定律由辛钦大数定律当当n较大时用样本较大时用样本k阶原点矩近似总体阶原点矩近似总体k阶原点矩阶原点矩. .即即由此估计未知参数由此估计未知参数 ，这就是这就是矩估计法矩估计法即即 其基本思想是用样本矩估计总体矩其基本思想是用样本矩估计总体矩. .矩估计法是英国统计学家矩估计法是英国统计学家K K. .皮皮尔逊尔逊(1857-1936)(1857-1936)最早提出的最早提出的. .记记总体总体k k阶矩阶矩为为样本样本k k阶矩阶矩为为用相应的样本
6、矩去估计总体矩的估计方法用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法就称为矩估计法就称为矩估计法. .记记总体总体k k阶中心矩阶中心矩为为样本样本k k阶中心矩阶中心矩为为令令设总体分布含有个设总体分布含有个m未知参数未知参数 1 ， m解此方程组得其根为解此方程组得其根为 以以此此分分别别估估计计参参数数 i ，i=1,.,m，并并称称其其为为 i 的的矩估计矩估计。如要估计如要估计 1 , , m 的某函数的某函数g( 1 , , m)，则用则用 去估计去估计g( 1, m)，此估计称为，此估计称为g( 1, m)的矩估计。的矩估计。 矩估计的一般步骤矩估计的一般步骤设总体分布含有个设总体分布含
7、有个m m未知参数未知参数 1 1 ， m m（1）根据未知参数的个数求总体的各阶矩根据未知参数的个数求总体的各阶矩（2 2）解方程组（即从方程组中解出未知参数）解方程组（即从方程组中解出未知参数）（3 3）用用Ai代替上述方程组中的代替上述方程组中的 ，i=1,2,m得到得到i=1,2,m作为作为 的矩估计量的矩估计量i=1,2,m（4 4）若估计的是参数的函数若估计的是参数的函数则用则用代替代替得到得到作为作为的矩估计量的矩估计量解解: : 解方程得解方程得的矩估计为的矩估计为:得到得到例例7.1.17.1.1 设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为是未知参数是未知参数,其中其中X1,
8、X2,Xn是取自是取自X的样本的样本, ,求参数求参数 的矩估计的矩估计.用用 代替代替 例例7.1.27.1.2 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本，的一个样本，求总体均值求总体均值 与方差与方差 2 2的矩估计。的矩估计。解：解：解方程组得解方程组得用样本矩代替相应的总体矩得矩估计量为用样本矩代替相应的总体矩得矩估计量为一般地，不论总体服从什么分布，总体期望一般地，不论总体服从什么分布，总体期望 与方差与方差 2 存在，则它们的矩估计量分别为存在，则它们的矩估计量分别为例例7.1.37.1.3 设总体设总体 X U (a, b), a, b 未知，求未知，求 a, b 的的 矩法估计量矩法估计量. .解解 由于由于令令解得解得用样本矩代替相应的总体矩，得到用样本矩代替相应的总体矩，得到a,ba,b的矩估计为的矩估计为矩法的矩法的优点优点是简单易行是简单易行, ,并不需要并不需要事先知道总体是什么分布事先知道总体是什么分布, ,只需要只需要知道总体的矩就可以了知道总体的矩就可以了. .缺缺点点是是，当当总总体体类类型型已已知知时时，没没有有充充分分利利用用分分布布提提供供的的信信息息. . 一一般般场场合下合下, ,矩估计量不具有唯一性矩估计量不具有唯一性. .
