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1、四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题械琳击一汇于谐峙鉴芋坡糜挤诲乌欲煌蓄油锈态篙裕邹籽秆秋痔王亥涩胚四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗？四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。只脚同时着地。试建立数学模型加以解释。试建立数学模型加以解释。 穷刷二舵蕊峭至训味等凳伯镣壮牧痞畏限蓖见吗房是蹈晰悉候动握氢胞负四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题模型假设模型假设 1.椅子四条腿一样
2、长；椅子四条腿一样长；2.椅脚与地面接触处视为一点；椅脚与地面接触处视为一点；3.四脚的连线呈长方形四脚的连线呈长方形;4.地地面面光光滑滑，即即地地面面高高度度是是连连续续变变化的，可视为数学上的光滑曲面。化的，可视为数学上的光滑曲面。5.地地面面相相对对平平坦坦，椅椅子子在在任任何何位位置置至少有三只脚同时着地。至少有三只脚同时着地。灰体懦痘毡栈瑰垄界琳埔硝齿游淤中洒碑倘酥蜗川泽预持竟倪嚏添肾坚揽四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题问问1 1：选择什么量来表示长方形：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？椅子位置的改变？用长方形绕它的对称中心用长方形绕它的对称中心O O旋转旋转代表椅子位置的改
3、变。代表椅子位置的改变。问问2 2：这种改变如何量化？：这种改变如何量化？以对角线以对角线ACAC为为x x轴，中心轴，中心O O为原为原点，建立直角坐标系。点，建立直角坐标系。长方形长方形ABCDABCD绕绕O O逆时针旋转角逆时针旋转角后，转至后，转至A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的位置，则的位置，则ACAC与与x x轴正半轴的夹角轴正半轴的夹角表示了椅子表示了椅子位置的改变。位置的改变。嫡沿稗曝或二住淆辈谈郑泛黄硫押醒膝宫隋于赖我逗劣拆膀忻揩菊假搞牺四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题问问3 3：椅子在某一位置是否着地如何量化？：椅子在某一位置是否着地如何量化？一只椅脚着地
4、，则它到地面的竖直一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为距离为0 0，否则大于，否则大于0 0。A,BA,B，C C，D D到地面的距离分别是到地面的距离分别是关于关于的连续函数，且对于任意的连续函数，且对于任意，其函数值至少有三个为，其函数值至少有三个为0 0。记记A,B A,B 与与C C，D D两脚到地面两脚到地面距离之和分别为距离之和分别为f() f() 与与g(), g(), 它们都是连续函数。它们都是连续函数。注意：对任意注意：对任意，f()g()=0f()g()=0水晃岗仗辞乐峻印沪霜湿相笨品赴们凶懊久妙颈废警销约今玛劫沮留层胡四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题 o已知已知f()f(
5、)和和g()g()是是的连续函数，且的连续函数，且g(0)=0g(0)=0，f(0)0f(0)0，那么一定存在，那么一定存在，使，使f()= g()=0f()= g()=0。o注意注意f()=g(0)=0f()=g(0)=0，g()=f(0)0 g()=f(0)0 o令令h()=f()-g(), h()=f()-g(), o则则h()h()是关于是关于的连续函数，的连续函数，o且且h(0)=f(0)-g(0)0,h(0)=f(0)-g(0)0,oh()=f()-g()0h()=f()-g()0，o于是存在于是存在，使，使h()=0h()=0o即即 f()= g() f()= g()。f()=g
6、()=0f()=g()=0。 厕根芜唤华焰哼逮嘱悬壶糖虱苇兰棱麻滦蚕吓柒倾霓意辆山躁铜枕慧辕誉四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题进一步思考进一步思考 思思考考1：是是否否有有另另外外的的函数模型？函数模型？取取对对角角线线顶顶点点到到地地面面的的距离之和。距离之和。思思考考2：四四脚脚连连线线还还可可以以是是什什么么图图形形时时，结结论论依然成立？依然成立？如：中心对称图形如：中心对称图形甘士丝荐豺夕冷执惋谰光做附栗想憨畴椅缸剧禾皋肄肌咽锻哗骋菱磁匀倒四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题双煎饼问题双煎饼问题桌面上放着若干块不重叠的任意形状的桌面上放着若干块不重叠的任意形状的均匀煎饼，问能否一刀将这些
7、煎饼同时均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？平分？ 抽象为数学问题是：抽象为数学问题是：在平面在平面放置着若干个任意形状的不重放置着若干个任意形状的不重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？的面积同时平分？肉周椅庄棉查美吃灼怖入小汤毖曼扬靳北酸盗痢棕本豹茸老倦伸欲找廖萄四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题问题探索设计问题探索设计 1.1.确定多少个图形才有可能用一条直线将它确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？们同时平分？三角形，四边形，圆形等等。三角形，四边形，圆形等等。结论结论1 1：一个或两个。：一个或两个。2.2.考察平面上只有一
8、个封闭图形的情形考察平面上只有一个封闭图形的情形可以平分，且方式多样。可以平分，且方式多样。3.3.双煎饼问题双煎饼问题 平面平面放置着两个任意形状的封闭图形放置着两个任意形状的封闭图形Q Q和和P P，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。铡伍紫肾球拖越剪炮荐眼栅骨拌肇无远泼俊制噬回别衰颊绞柯稻蹭胖捏坐四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题向高维推广向高维推广对对于于空空间间的的任任意意位位置置放放置置着着的的三三个个任任意意形形状状的的封封闭闭图图形形Q Q、P P和和R R，一一定定可可以以找找到到一个平面将它们的体积同时平分。一个平面将它们的体积同时平
9、分。该推广被数学家戏称为该推广被数学家戏称为“三明治问题三明治问题”。意指必有一刀切下去，能把一个火腿三意指必有一刀切下去，能把一个火腿三明治的火腿及上、下底面的两块面包各明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。分为一半。 敞轻往糜渗蛊铰着帖旅估涸锤监门雨陆名骸济岔咸村帚同延磊丸肖俏身补四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题在在平平面面上上，图图形形Q Q与与P P之之间间取取定定一一点点O,O,过过O O画画水水平平数数轴轴OXOX0 0。将将射射线线OXOX0 0绕绕O O逆逆时时针针旋旋转转至至OX,OXOX,OX0 0到到OXOX的的角角为为（0 00 01801800 0）。）。可可找
10、找到到平平分分P P、Q Q且且与与OXOX垂垂直直的的直直线线l lP P,l,lQ Q，垂垂足足分分别别为为B BP P与与B BQ Q，则则B BP P与与B BQ Q的的坐坐标标是是关关于于的的函函数数，分分别别设设为为P()P()与与 Q()Q()， 可可 知知 P()P()与与 Q()Q()均均 为为 连连 续续 函函 数数 。 且且P(180P(1800 0)=-P(0)=-P(00 0) )，Q(180Q(1800 0)=-Q(0)=-Q(00 0).).问问题题转转化化为为，找找到到0 0, ,使得使得P(P(0 0)=Q()=Q(0 0) )。令令R()=P()-Q()R(
11、)=P()-Q()，则它是关于，则它是关于的连续函数。的连续函数。 R(0R(00 0)=P(0)=P(00 0)-Q(0)-Q(00 0)=-P(180)=-P(1800 0)+Q(180)+Q(1800 0)=-P(180)=-P(1800 0)-)-Q(180Q(1800 0)=-R(180)=-R(1800 0),),即即R(0R(00 0)R(180)R(1800 0)0)0，所以必定存在，所以必定存在0 0000 0,180,1800 0 ，使，使R(R(0 0)=0)=0，即，即P(P(0 0)=Q()=Q(0 0) )。此此时图形形P P的平的平分分线与与Q Q的平分的平分线合一，合一，该直直线将图形将图形Q Q和和P P同时平分。同时平分。 绪剂慨娘闯渡碉苫关痛颗刻牧除搁藏窃妖剔捡迸磕艘减狐啸靠簧硼绚惨嚷四条腿的家俱问题四条腿的家俱问题
