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1、荆门龙泉中学 叶子成高 中 数 学23xY一一.复习回顾复习回顾1.在同一坐标系中作出下列直线在同一坐标系中作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7o2x+y=02x+y=12x+y=-32x+y=42x+y=74xYoAx+By=0Ax+By=t1Ax+By=t252.作出下列不等式组的所表示的平作出下列不等式组的所表示的平面区域面区域655x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1, 4.4)A: (5, 2)B: (1, 1)Oxy问题问题1 1：x 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题2 2：y 有无最大（小）值？有
2、无最大（小）值？问题问题3 3：2 2x+y 有无最大（小）值有无最大（小）值？2.作出下列不作出下列不等式组的所表等式组的所表示的平面区域示的平面区域7二二.提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:设设z=2x+y,当当x,y满足满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.855x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy直线直线l l越往右平移越往右平移,z,z随之增大随之增大. .以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对应的z z值值最
3、大最大; ;经过点经过点B(1,1)B(1,1)的直线所对的直线所对应的应的z z值最小值最小. . 可以通过比较可以通过比较(x,y)所在区域边所在区域边界顶点处的函数界顶点处的函数z值大小得到。值大小得到。思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值？的最大、最小值？9线性规划问题：问题：设设z=2x+y，式中变量满足，式中变量满足下列条件：下列条件： 求求z的最大值与最小值。的最大值与最小值。 目标函数目标函数（线性目标函数）（线性目标函数）线性约线性约束条件束条件象这样关象这样关于于x,yx,y一一次不等式次不等式组的约束组的约束条件称为条
4、件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+yZ=2x+y称为目标函数称为目标函数,(,(因因这里目标函数为关于这里目标函数为关于x,yx,y的的一次式一次式, ,又称为又称为线性目标函线性目标函数数10线性规划线性规划：线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解可行解 ：满足线性约束条满足线性约束条件的解件的解(x，y)叫可行解；叫可行解； 可行域可行域 ：由所有可行解组由所有可行解组成的集合叫做可行域；成的集合叫做可行域； 最优解最优解 ：使目标函数取得使目标函数取得最大或最
5、小值的可行解叫最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)(x,y)11设设z=2x+y,当当x,y满足满足时时,求求z的最大值和最小值的最大值和最小值.线性目线性目标函数标函数线性约线性约束条件束条件线性规线性规划问题划问题任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解这里目标函数这里目标函数所表示的几何所表示的几何意义意义在在y轴上的截距。轴上的截距。12典型例题例例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件
6、：解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程得最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3. 也可以通过比较可行域边界也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。顶点的目标函数值大小得到。线性规划 例例2 解下列线性规划问题：解下列线性规划问题： 求求z=300x+900y的最大值和最小值，的最大值和最小值，使式中使式中x、y满足下列条件：满足下列条件：x+3y=0300x+900
7、y=0300x+900y=112500答案答案：当当x=0,y=0时，时，z=300x+900y有最小值有最小值0.当当x=0,y=125时，时，z=300x+900y有最大值有最大值112500.14练练 习习(1)已知已知求求z=2x+y的最大值和最小值。的最大值和最小值。15551Oxyx-y=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)解解:作出可行域作出可行域(如图阴影部分如图阴影部分)16例例3: 某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲, ,乙两种产品乙两种产品, ,每生产一每生产一件甲种产品使用件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙
8、种产品使每生产一件乙种产品使用用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件, ,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算, ,该厂所有可能该厂所有可能的日生产安排是什么的日生产安排是什么? 若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙种产品获件乙种产品获利利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?把例把例1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:32利润利润( (万元万元) )821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产
9、品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品资源消耗量资源消耗量资资 源源170xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域, ,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意义的.解：设甲解：设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件, ,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.线线性性约约束束条条件件180xy4348M（4，2）问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.变式：变式：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产
10、品获利1万元万元，生产一件乙生产一件乙产品获利产品获利3万元万元，采用哪种生产安排利润最大？采用哪种生产安排利润最大？190xy4348N N（2 2，3 3）变式：变式：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.20解线性规划应用问题的一般步骤解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题还原成实际问题( (准确作图，准确计算
11、准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且最左或最右的直线；方法找出与可行域有公共点且最左或最右的直线； 法法2 2：算：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。落在一条边界线
12、段上）。此法可弥补作图不准的局限。21例例4 4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的利润皮甲种肥料的利润1 1万元万元, ,主要原料是磷酸盐主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸、硝酸盐盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料利润车皮乙种肥料利润0.50.5万元万元, ,需要的主要需要的主要原料是磷酸盐原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝、硝酸盐酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区
13、域。并生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？的利润？分析：设分析：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：皮数，于是满足以下条件：xyo22解：解：设生产甲种肥料设生产甲种肥料x x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y y车皮，车皮， 能够产生利润能够产生利润Z Z万元万元. .根据题意根据题意, ,得得xyoM(2,2)作出可行域作出可行域( (如图阴影部分如图阴影部分) )Z Zmaxmax2+0.5 2+0.5 2=
14、32=323答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各2 2车皮，能车皮，能够产生最大利润，最大利润为够产生最大利润，最大利润为3 3万元。万元。24例例5 5、要要将将两两种种大大小小不不同同规规格格的的钢钢板板截截成成A A、 B B、C C三三种种规规格格，每每张张钢钢板板可可同同时时截截得得三三种种规规格的小钢板的块数如下表所示格的小钢板的块数如下表所示 ： 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1
15、515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需三块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。种规格成品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，可得张，可得25x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, x N*y0 y N* 经经过过可可行行域域内内的的整整点点B(3,9)和和C(4,8)且且和和原原点点距距离最近的直线是离最近的直线是x+y=12，它们是最优解它们是最优解.答答:(略略)作直线作直线 l0:x+y=0，向
16、右平移此直线向右平移此直线目标函数目标函数z=x+yz=x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4, ,但它不是最优整数解，但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向右平移继续向右平移,262x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =0直直线线x+y=12x+y=12经经过过可可行行域域中中的的整整点点是是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它它们是最优整数解们是最优整数解. . 作作直线直线 l0:x+y=
17、0，向右平移此直线，向右平移此直线，目标函数目标函数z = x+yz = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当当直直线线经经过过点点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4, ,但但它它不不是是最最优优整整数数解解. .作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得解得交点交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, x N*y0 y N*x0y271. 1. 线性规划的讨论范围：线性规划的讨论范围：教材中讨论教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题了两个变量的线性规划问题，这类问
18、题可以用图解法来求最优解，但涉及更多可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；变量的线性规划问题不能用图解法来解；2. 2. 求线性规划问题的最优整数解时，求线性规划问题的最优整数解时，常常 用用打网格线打网格线和和调整优值调整优值的方法，这要求作的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确。率与其他直线的斜率关系要把握准确。28151529练习练习: 3.设设f(x)ax2 bx，且，且1f(1)2，2f(1)4，求求f(2)的取值范围的取值范围.作出不等式组表示的作出不等式组表示的平面区域（如图阴影平面区域（如图阴影部分）部分）abo31制 作 叶 子 成
