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1、北京邮电高校20242024学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试留意事项:学生必需将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号!一、 填空题:(每空3分,共30分) 1 给定集合,则定义在上的包含的最小s-代数是 . 2 若是W上的两个非空集合类,是上的测度,若满意:(1) ;(2),则称是在上的扩张。 3 某集代数包含了全部的左开右闭区间(实数集上的). 该集代数上有一个测度,对于随意可测集,其中,均有.将该测度扩张到某s-代数上记为.对单点集, . 04 设概率测度空间,两个简洁函数,则 , .5 设为定义
2、某概率空间上的随机变量,若的分布函数为,则数学期望的L-S积分形式为 .6 设三维随机变量听从正态分布,其中,则= 1 7 设随机过程为平稳二阶矩过程,且均方连续.设该过程的均值函数为,相关函数,均方积分记为随机变量. 则 .8 设为泊松过程,则条件概率 . 9. 设为参数为的维纳过程,则= .二.(8分)设A是系,证明A是单调类;若A也是系,证明A是s-代数。证明:由A是系,若A,n=1,2,且,则A.若,A,n=1,2,由A是系,A且,则A. 所以A.即 A,所以A是单调类。4分A是系,A对余集运算封闭且A,若A也是系, A对交集运算封闭,所以A是集代数。因为A是单调类,所以A是s-代数。
3、 4分 三.(16分)设随机向量的概率密度为(1) 求边缘密度;(2) 求时条件密度;(3) 求.解(1),.4分(2)当时,=.4分(3)由(2)知 ,所以.,所以.= .8分四. (14分)设随机变量的分布列为 (1) 求随机变量的特征函数;(2)求.解 (1) . 8分 (2)易知 ,所以. 6分五. (14分)设随机过程,其中是两个独立同分布的随机变量.(1)若都以2/3和1/3的概率取值-1和2,证明为平稳过程; (2)若都听从标准正态分布,证明为高斯过程.(1)证明,所以,均值函数为常数,自相关函数只依靠于时间差,为平稳随机过程。7分(2)对于随意正整数,取随意时间点随意实数,因为相互独立且听从正态分布,的线性组合仍旧听从正态分布,所以听从一维正态分布。故为高斯过程。7分七. (18分)设马氏链的状态空间为,转移概率矩阵为(1)确定该链的状态分类;(2)各状态的周期;(3)求平稳分布;(4) 求, .解. (1)链可分, 32,6是不行分闭集, 状态空间,3,2,6正返态,1,4,5为特别返.6分 (2) 周期. 3分 (3) 设平稳分布为,则 解之得,其中.5分 (4) . 4分2