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1、第 7 讲 空间几何体的概念与结构R二满分晋级新课标剖析当前形势空间几何体在近五年北京卷（ 理） 考查510分内容要求层次具体要求晨） 考要求柱 、锥 、台 、球及其简单组合体柱 、锥 、台 、球的表面积和体积C认识柱、锥 、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.灵活运用柱、锥 、台、球及其简单组合体的表面积和体积公式，并能运用这些公式计算现实生活中简单物体的结构.北京高考解读2008 年2008 年2010年 （ 新 课 标 ）2011年 （ 新 课 标 ）2012年 （ 新 课 标 ）第8题5分AB4第4题5分第8题5分第8题5分第7题5分第7题5分
2、767.1空间几何体的基本元素知识点睛1 . 几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等.2 .构成几何体的基本元素：点、线、面.4 B、C./ -1点 一 , 不号/ 大小的基本元素 一线 无限延伸，不号虑粗细平 面.4 8 0 , p, y.而 不考虑以薄，无 限 延 展 教师备案 用运动的观点理解空间基本图形间的关系：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（ 经过的空间部分） ，面动成体. 教师备案 （1）立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝
3、对平且无限延展的，它是点的集合.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量.我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成45。 ，并将横边的长度画成邻边的两倍. 画两个相交平面时，当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感.有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等.3 .多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体.凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体.截
4、面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（ 包括它的内部） ，叫做这个几何体的截面.顶点 体对角线面对角线非凸多面体 教师备案 在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象.例 ：按照要求完成下面两个相交平面的作图，图中表示两个平面的交线:BB考 点1：空间几何体基本元素的认识 教师备案 例1的目的是希望学生通过平面图形到空间图形，通过空间图形到平面图形来对空间几何体有一个初步的认识.【 例1】 * 下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是（）如图，一个封闭的立方体，
5、它的六个表面各标有A , B, C, D, E, F这六个字母之现放置成如图的三种不同的位置，则字母A , B, C对 面 的 字 母 分 别 是 . 如图， 模块均由4个棱长为1的小正方体构成， 模块由1 5个棱长为1的小正方体构成，现从模块中选出3个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体，则 能 够 完 成 任 务 的 模 块 为 .(2 ) E, D, F或 7.2多面体的结构特征78知识点睛L 棱柱： 教师备案 以运动的观点来看： 棱柱可以理解为由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体.两个底面为全等多边形，对应边互相平行结 构 性 质- 侧面都是平行四边形，侧棱平行
6、且相等棱柱底面边数：三枝柱、四棱柱、五棱柱分类卜疝棱与底面：垂直直棱柱；不垂直二斜棱柱特殊直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.特殊的四棱柱：棱柱侧面积(S Q全面积( % )体 积 ( V )每个侧面的面积之和S侧+ 2 s 底无力 教师备案祖胞原理：然势既同，则积不容异.夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.经典精讲考点2： 棱柱的基本概念【 例2 】 下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是棱长相等的直四棱柱是正方体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；若有两个侧面垂直于底面，则该四
7、棱柱为直四棱柱；若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；若底面是正方形，且有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为正四棱柱；若每个侧面都是全等的矩形，则该四棱柱为正四棱柱；若底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱为正四棱柱;若底面是正方形，且有两个侧面是矩形，则该四棱柱为正四棱柱.【 解析】.考点3 ： 棱柱的结构与性质【 例3 】 正方体的对角线长为/ ,则侧面对角线长是( )5A . / B. C.向2 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为夜,为.【 解析】( D D
8、 ：( 2 )瓜 ；D,显 I3 ，展 ,这个长方体的对角线长尖子班学案1【 拓2】 长方体中共点的三条棱长分别为a , b, c ,分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为刃 ,Sh, Sc(ScSb S),则 ( )A. c b a B. b c a C. b a c D. a b c【 解析】D；知识点睛2 . 棱锥： 教师备案) 以运动的观点来看：棱锥可以理解为当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体.底面为多边形 结构性质，其余各nil是仃一个公共顶点的一: 角形棱锥底而边数:二棱锥、四棱锥、五 . 棱 锥一底而形状：正多边形一正棱锥正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角
9、形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高.80正四面体：各棱长都相等的正三棱锥.（ 本讲最后有正多面体的剪纸，老师可以引导学生自己动手折） 教师备案 正棱锥的性质很多，要特别注意的是：平行于底面的截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：棱锥的侧棱和高被这个平面分成的线段成比例.所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形.截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于截得的棱锥与已知棱锥的高的平方比.有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形：正棱锥的高、 侧棱及其在底面的射影、 斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形，即右
10、图RtzSOH,R t A 5 O C , R t A S W C , R t A O H C ,这是解决正棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握.棱锥彳则面积（ 5州 ）全面积（ 5全 ）体 积 （ V ）各侧面积之和s侧+s底g s底 教师备案 棱锥的体积公式的理解：任何一个棱锥都可以分成一些三棱锥，从而只需考虑三棱锥的体积即可，任何一个三棱锥S M C ,我们都可以选定其中一条棱， 把底面沿着该棱平移形成一个棱柱.如图，三棱锥S -M e 可以得到三棱柱S D K - A B C ,而在三棱柱中连接DC,可 知 此 时 棱 柱 被 分 为 了 三 个 三 棱 锥S - B C D , S
11、- C D E .而通过转换顶点和底面，可知：S-ABC = C-SAB = Vf-SDB = S-BCD = S-ECD，即分成的三个三棱锥体积相同，从而可知三棱锥的体积为等底面积等高从而对于底面积和高都相等的棱锥和棱的棱柱体积的三分之柱，有限推=3%柱 ,经典精讲考点4 ：棱锥的基本概念【 例4】 * 下 列关于棱锥的命题，其 中 真 命 题 的 序 号 是 .棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥;棱锥的高线可能在几何体之外；若底面为正多边形，则该棱锥为正棱锥；若各侧棱都相等，则该棱锥为正棱锥；若各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥；【
12、 解析】【 备选】若各侧面与底面都是全等的正三角形，则该棱锥为正棱锥；若底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥 若各侧面都是全等的等腰三角形，则该棱锥为正棱锥.【 解析】 正确； 不 正 确 ； 不 正 确 .考点5 ： 正棱椎的结构与性质提高班学案1【 铺1】 正四棱锥的斜高为2 , 侧棱长为石，求中截面（ 即过高线的中点且平行于底面的截面） 的面积.【 解析】1 .【 例5】 己知正三棱锥S -A 8 C 的高SO = / z ,斜高SM = / , 求经过SO的中点且平行于底面的截面A 4 G 的面积，并求匕【 解析】匕 的 = 向 7（ / - 町 .尖子班学案2【 拓
13、2】 已知棱锥V - ABC的底面积是64cm2, 平行于底面的截面面积是4cm2, 棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是Q 、O ,过。 0 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积.【 解析】两截面的面积分别为16cm2和36cm2.目标班学案1【 拓3】（ 2010年清华自主招生）在正四棱锥中，片，R 分别为侧棱PB, PD 的中点,则四面体A 8C Q 的体积与四棱锥P - A 8 8 的体积之比为（ ）A. 1:6 B. 1:5 C. 1:4 D. 1:3【 解析】C.知识点睛3 . 棱台:82概念棱铢被平行于底面的平面所截后,根面和地面之间的部分棱台. 各侧棱延长后交于一点结构
14、性质 上下底面平行且对应边成比例上底面正棱台：由正棱锥截得的棱台.正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.右图为一个正三棱台，记为棱台侧棱A 4 , B B , C C 延长后必 交 于 一 点 .O , 0为上下底面的中心，它们的连线O O是棱台的高，是棱台的斜高. 教师备案 有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：即正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形（ 梯形0 0 7 7 7 7 , O O C C , H H R B ）和两个直角三角形( O H B , O / f f i
15、 ) .例 ：判断下列说法是否正确. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（ x）用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（ X） 上 、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台.（ X）表中c 、C分别表示上、下底面周长，表示高，”表示斜高.名称侧面积（ SM）全面积（ S全 ）体 积（ V）棱台棱台各侧面面积之和s侧+ s上 底+s下底上 底+s下 底+ Js味 S下 底）正棱台器i 一. 餐典精讲考点6： 正棱台的结构与性质【 例6】 * 正四棱台的侧棱长为1 9 ,两底面边长分别是4和1 6 ,它的表面积和体积分别为（ 2 ） * 正六棱台的上， 下底面
16、的边长和侧棱长分别为“，b, c ,则它的高和斜高分别为【 解析】（ 1 ）表面积为5 = 2 7 2 + 2 00小，体积为V = 1 9 04 . / 2 一（ 6 - 6 ,Jc 2 y “ ）一 ；提高班学案2【 拓 1 】如图，正三棱台ABC -ABC 的侧棱长为旧，o , q分别是上下底面的中心， 房为斜高,H H , = 2 ,上下底面面积比为1 : 4 , 求这个棱台的上下底面边长.【 解析】6 , 1 2 ；7.3旋转体的结构特征知识点睛1 . 圆柱、圆锥和圆台:形成史X ）-柱锥台圆圆圆圆柱：矩形绕其 边所在. 直线旋转周圆锥：直角三角形绕其 条直角边所在直线旋转 周圆台：
17、直角梯形绕其垂直底的腰所在直线旋转 .周_ 平行于底面的截面都是网T 结构性质 H轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形表中/ 、人 分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，八弓分别表示圆台上、下底面半径.名称圆柱圆锥圆台s例2 兀 ”7 1rl兀 （ 4 + ） /S 全2 口（ / +厂 ）7 ir（ / + r）兀 （ 4 + 4 ） / + 兀 （ 4 2 +片）V冗 产 力 （ 即nr2l） n r2/ ?3： 兀 （ 片 + 代 + 片 ）例 ：判断下列命题的正误： 用一个平面去截一个圆柱，悔出的面一定是圆；（ x）用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；（ x）8
18、4经典精讲考 点 7 ： 旋转体的结构与性质【 例7 】 ( D 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1 ： 4,截去的圆锥的母线长是3,求圆台的母线长. 如果一个圆锥的底面半径为3,侧面积为1 8兀，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于;* 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于3 9 2 c mZ ,母线与底面的夹角是4 5。 ，求这个圆台的母线长.【 解析】9 .( 2 ) 3 0 :( 3 ) 1 4 7 2 .【 例8 】 已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. 有一个轴截面是边长为4的正方形的圆
19、柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积. C* 如图，在四边形 中，Z Z M B =9 0 , Z A D C = 13 5 , A B = 5,C D = 26. , A D = 2 ,求四边形A B C D绕4)旋 转 一 周 所 成 几 何 体 的 表 面积及体积. I 【 解析】 丝 4r 7( 2 )表面积为S = 4 ( 5 +后) 兀. 体积为V =% 兀.3( 3 ) S = 6 0兀 + 4应兀；V = 527i -= .3 3目标班学案2【 拓3 】如图所示，己知等腰梯形498的上底4 ) = 2cm ,下底3 c = 1 0 c m ,
20、底角N A B C = 6 0。 ，现绕腰他旋转一周，求所得的旋转体的体积. 解析】所得的旋转体的体积为2 4 8兀c m? .知识点睛2.球与球面:1 半圆绕其宜在所在宜线旋转一周, - - - - - - - : 形 成 方 式I - -， 大圆：经过球心的截面圆球I 相 关 概 念H小圆：不过球心的截面圆两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长-结 构 性 质H球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面 教师备案 球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合. 教师备案 （ 1 ） 纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是0。
21、纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数.圆o是赤道面，圆O 是纬线圈，P点的纬度就等于NPQ4的度数，也等于NOPO的度数. 上 广 卞 厂 一 、经线与经度：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都相等，如 图 P点的经度与A点的经 * B度相等，在地球上确立了一条经线为本初子午线（ 0。 经线） .任意点P的经度就定义为经过它的经线与本初子午线在同一个纬线圈上的交点与该纬线圈的圆心连线所成的角. （ 以后能证明，这样的角必然相等，定义是合理的）如图，如果经过8的经线是本初子午线，
22、则 P点的经度就等于NPOC的度数，也等于NAO3的度数. 教师备案 （ 1 ） 球面与球体是两个不同的概念，要注意它们的区别与联系.球面的概念可以用集合的观点来描述.球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（ 轨迹）叫球面.如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部，否则在外部.地球上的经线的分布从本初子午线开始，往 东往西分别是东经与西经，本初子午线既是东经0。 线，又是西经0。 线，转半圈后的东经1 8 0与西经1 8 0又重合成一条经线，与本初子午线合成一个大圆.如果球面上两点的连线不是直径，则经过这两点有且只有一个大圆，如果恰为直径，
23、则可以作无数个大圆.球的表面积和体积公式：5； . = 4nR2, V = TIR）.3 教师备案 （ 1 ） 球的体积的推导方法.由上图可知，裁到的每一个圆片的面积为兀/=7T （ /?2-/?2） ,每一个圆环的面积为兀斤-1th2 ,由祖陶原理可知半球的体积V=兀 /? 2 .氏 一1 兀代.R = 2一 旅3 从而球的体积为卜= 一4兀/? 3 .3 3 386球的表面积公式推导把球面任意分割为一些“ 小球面片” ，它们的面积分别用 , 邑表示,则球的表面积为5= / 笠+ /52+ + + , 皿 .以这些“ 小球面片” 为底, 球心为顶点的“ 小锥体” 的体积的和等于球的体积.而“
24、 小锥体 的高,近似等于球半径R,底面积近似等于“ 小球面片” 的面积， Ml 所以匕小纳二而球的体积 y = gR（ ZS|+ZS2 + +& + ） = g/?S,所以3T TR3=LRS ,从而 S = 4?tR2.3 3经典精讲 教师备案 新课标对球面距离的要求不高，只需了解球面距离的定义，及简单的球面距离的计算即可.我们只在备选安排了一道题介绍球面距离，老师可以结合本班的情况选择讲解.考点8：球的截面【 例9 由已知半径为1 0的球的两个平行截面的周长分别为1 2兀和1 6兀，求这两个截面间的距离. 内 设M , N是球O的半径OP上的两点，且 N P = M N = O M ,分别
25、过N , M ,。作垂直于OP的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（）A . 3 :5 :6B . 3 :6 :8C . 5 :7 :9D . 5 :8 :9【 解析】（ 1 ） 2或1 4 ;（ 2） D ;【 备选】（ D半径为R的球面上有A , 8两点，已知4 5 = /?,则A , 3两点间的球面距离为半径为尺的球面上有4 , 8两点，已知A , 8两点间的球面距离为 兀R ,则4 ? =2【 解析】（ 1 ） 17 r R;3( 2)扬 ?.判断下列说法是否正确，并说明理由：四边相等的四边形是菱形；若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形.将一个矩形沿竖直方向平移
26、一段距离可形成一个长方体；平行四边形是一个平面.多面体至少有四个面.下列说法正确是（ ）A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成C .圆柱的母线和它的底面不垂直.D .圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的.【 解析】错误；正确.（ 2） D.应实战演练_【 演 练1】设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体.以上命题中真命题的个数是（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【 解析】B；【 演练2】一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（）A .三棱锥 B
27、.四棱锥 C .五棱锥 D .六棱锥【 解析】D.【 演练3】直三棱柱A B C -A B C各侧棱和底面边长均为。，BD， A。，A. - a36A D ,则三棱锥A -A ftD的体积为（B. a3 C. a3 D.6 12点 。是C G上任意一点，）- a312连结A B，【 解析】C：【 演练4】如 图 所 示 的 正 四 棱 锥 它 的 高 丫 。= 后 ，侧 棱 长 为 近 ，求侧面上的斜高与底面面积.o 是高v o的中点， 求过。 点且与底面平行的截面（ 即中截面） 的面积.【 解析】（1）斜高为 逐 ，底面面积为8;（ 2） 2.【 演练5】已知球的半径为2 5 ,有两平行截面的面积为49兀 ，400兀，则平行截面间的距离是.【 解析】9或39;【 演练6】球O的球面上有三个点A, B, C, AB = 6, AC = 8, BC = 10, O到截面A8C的距离为5 ,则球O的表面积为.【 解析】200兀；J 大千世界1 . 把正方体的每个面延展为平面能把空间分成多少份？882 .把正四面体的每个面延展为平面能把空间分成多少份？【 解析】1. 27;2. 15 .按照和原来的几何体共一面，一 一 条棱，一个点分类计数.正多面体的剪纸正六面体正八面体90正二十面体
