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1、第一节第一节 向量的内积向量的内积扬州大学数学科学学院定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义内积的运算性质内积的运算性质定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质解解单位向量单位向量夹角夹角 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法证
2、明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基. 向量空间的正交基向量空间的正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如例如 同理可知同理可知（1）正交化正交化，取，取 ， 求规范正交基的方法求规范正交基的方法（2）单位化单位化，取，取例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程再
3、再单位化单位化， 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例解解再把它们单位化，取再把它们单位化，取几何解释几何解释例例解解把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取证明证明定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩
4、阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于例例解解1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题解答第二节 方阵的特征值与特征向量扬州大学数学科学学院说明说明一、特征值与特征向量的概念解解例例1 1 例例 解解例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解得基础解
5、系为：得基础解系为：例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的
6、，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结思考题思考题解答第三节 相似矩阵扬州大学数学科学学院一、相似矩阵与相似变换的概念1. 等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质证明证明推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个个利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便
7、地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .定理定理证明证明证明证明三、利用相似变换将方阵对角化命题得证命题得证.说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解
8、系求得基础解系解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运
9、算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵思考题思考题解答第四节 对称矩阵的相似矩阵扬州大学数学科学学院定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明一、对称矩阵的性质说明说
10、明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵于是有于是有两式相减，得两式相减，得定理定理1 1的意义的意义证明证明于是于是证明证明它们的重数依次为它们的重数依次为根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定）和定理理3( 如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为由定理由定理2知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向
11、量构成正交矩阵 ，则，则根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.1.解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单
12、位化于是得正交阵于是得正交阵1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2) (2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3) (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4) (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)
13、将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化思考题思考题解答第五节 二次型及其标准形扬州大学数学科学学院一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型. .只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为都为二次型；二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形. .1 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任
14、给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系解解例例设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形证明证明即即 为对称矩阵为对称矩阵.说明说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 2从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特
15、征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为于是所求正交变换为解解例例3 3五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交
16、实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题解答第六节第六节 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形扬州大学数学科学学院一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方
17、法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可
18、逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为所用变换矩阵为解解例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得再配方，得所用变换矩阵为所用变换矩阵为二、小结将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变
19、换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩
20、项数等于所给二次型的秩思考题思考题解答第七节 正定二次型扬州大学数学科学学院一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型二、正(
21、负)定二次型的概念例如例如证明证明充分性充分性故故三、正(负)定二次型的判别必要性必要性故故推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例例1 1 判别二次型判别二次型
22、是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩
23、阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导思考题思考题解答第五章 习题课扬州大学数学科学学院定义定义向量内积的定义及运算规律定义定义向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：向量的长度定义定义向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定理定义定义正交向量组的性质施密特正交化方法施密特正交化方法第
24、一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化定义定义正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变定义定义方阵的特征值和特征向量有关特征值的一些结论定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论定义定义矩阵之
25、间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似实对称矩阵的相似矩阵定义定义二次型二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的定义定义二次型的标准形化二次型为标准形定义定义正定二次型惯性定理注意注意正定二次型的判
26、定一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形一、证明所给矩阵为正交矩阵证明证明将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关
27、向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组解一解一先正交化，再单位化先正交化，再单位化解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；解解第一步计算
28、的特征多项式第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量解解四、已知A的特征值，求与A相关 矩阵的特征值解解五、求方阵的特征多项式解解六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形式解解第五章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共3232分分) )二、计算题（共二、计算题（共40分）分）三、证明题（共三、证明题（共2020分）分）四、（四、（8 8分）设二次型分）设二次型经正交变换经正交变换 化成化成测试题答案
