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1、2.1.2求曲线的方程求曲线的方程圆锥曲线2021/6/201复复 习习 曲线的方程和方程的曲线曲线的方程和方程的曲线. .一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C上的点与上的点与一个二元方程一个二元方程 F(x F(x，y)=0y)=0的实数解建立了如下的关的实数解建立了如下的关系：系：（1 1）曲线）曲线 C C 上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 F(xF(x，y)=0y)=0 的解的解, ,（2 2）以方程）以方程F(xF(x，y)=0 y)=0 的解为坐标的点都是的解为坐标的点都是曲线曲线 C C 上的点上的点，那么方程那么方程 F(x，y)=
2、0 叫做叫做曲线曲线 C 的方程的方程； 曲线曲线 C 叫做叫做方程方程 F(x，y)=0 的曲线（图形）。的曲线（图形）。2021/6/202 我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标用曲线上点的坐标(x,y)(x,y)所满足的方程所满足的方程F(x,y)=0F(x,y)=0表示曲表示曲线。线。在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线在数学中，建立
3、曲线方程，然后用方程研究曲线的方法，叫做的方法，叫做解析法（或坐标法）。解析法（或坐标法）。解析几何的两大基本问题解析几何的两大基本问题（1）据已知条件，求表示平面曲线的方程）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程）。（由曲线求方程）（2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）。（由方程来研究曲线）解析几何的本质解析几何的本质用代数的方法来研用代数的方法来研究几何问题究几何问题2021/6/2030xyABM曲线的方程曲线的方程曲线的方程曲线的方程解解:设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分的垂直平分线上任意一点线上任意一点,也就是点也就
4、是点M属于集合属于集合由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M所适合所适合条件可表示为：条件可表示为：将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得： x+2y7=0 例例1：如果如果A,B两点的坐标是两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点，动点M到到A,B的距离相等的距离相等. 你知道动点你知道动点M的轨迹是什么的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？吗？如何证明你的结论？2021/6/204思考：思考：如果给出如果给出A,B两点的坐标是两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点动点P到到A,B的距离相等的距离相等. 你知道动点你知道动点P的轨迹是什的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？
5、么吗？如何证明你的结论？x+2y7=0 （1 1）由求方程的过程可知，垂直平）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程分线上每一点的坐标都是方程解；解；我们证明方程我们证明方程是线段是线段AB的垂的垂直平分线的方程直平分线的方程.（2 2）设点）设点 的坐标的坐标 是方程是方程的解，即的解，即: :点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是2021/6/205问题：问题：如果给出如果给出A,B两点的坐标是两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点，动点P到到A,B的距离相等的距离相等. 你知道动点你知道动点P的轨迹是的轨迹是什么吗？如何证明你的结论？什么吗？如何证明你的结论？点点
6、M1到到A、B的距离分别是的距离分别是即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.由由(1)、(2)可知方程可知方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.2021/6/206变式变式1 1：已知等腰三角形底边的两个端点是：已知等腰三角形底边的两个端点是(-1, -1) 、(3,7) ，求第三个顶点求第三个顶点C的轨迹方的轨迹方程程ABC0xyx+2y7=0，且不过点（，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点注：求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应的轨迹一一对应, ,否则要否则要“多多退少补退少补”,”,多余的点要剔除多余的点要剔除( (用用x,yx,y的取值
7、范围来限制的取值范围来限制),),不足不足的点要补充的点要补充. .2021/6/2073.3.如果曲线（或轨迹）有如果曲线（或轨迹）有对称中心对称中心，通常以，通常以对称中心对称中心为原点为原点. .5.5.尽可能使曲线上的尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上关键点在坐标轴上. .4.4.如果曲线（或轨迹）有如果曲线（或轨迹）有对称轴对称轴，通常以，通常以对称轴为坐对称轴为坐标轴标轴. .建立坐标系的要点：建立坐标系的要点： 通常以已知线段所在直线为坐标轴通常以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或轴或y轴轴)，以已，以已知线段的知线段的中点中点为原点为原点;2.如果已知两定直线如果已知两定直线互相垂
8、直，互相垂直，我们通常把他我们通常把他们选为坐标轴们选为坐标轴;6.让尽量多的点在坐标轴上让尽量多的点在坐标轴上.1.合理的选择合理的选择原点原点与与坐标轴坐标轴;2021/6/208 动点具有的动点具有的几何条件比较明显几何条件比较明显时，由题设所给时，由题设所给(或或通过分析图形的几何性质而得出通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几的动点所满足的几何条件列出等式，再用何条件列出等式，再用坐标代替这等式坐标代替这等式，化简得曲线，化简得曲线的方程，这种方法叫的方程，这种方法叫直接法直接法适用范围适用范围:任何情况任何情况2021/6/2091. 建系建系：建立适当的直角坐标系：建立适
9、当的直角坐标系(如果已给出，本步如果已给出，本步骤省略骤省略);. 设点设点：设曲线上任意一点的坐标：设曲线上任意一点的坐标(x,y);. 列式列式：根据曲线上点所适合的条件：根据曲线上点所适合的条件,写出等式写出等式;4. 化简化简：用坐标：用坐标x、y表示这个等式表示这个等式,并并化方程为最简化方程为最简形式形式;. 证明证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲 上的点上的点.（一般变为确定点的范围即可）（一般变为确定点的范围即可）直接法直接法求曲线方程的求曲线方程的一般步骤：一般步骤：2021/6/2010B2021/6/2011例例2.已知一条直线
10、已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每的上方，它上面的每一点到一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建立建立适当的坐标系，求这条曲线的方程适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解解：因因为为曲曲线线在在x轴轴的上方，所以的上方，所以y0, 所以曲所以曲线线的方程是的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，2021/6/
11、2012练习练习1.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨轴的距离相等的动点的轨迹方程是迹方程是_ 解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得，则由题设得化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .2021/6/2013练习练习2. 在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边的边的中线中线AD的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(x，y)，又，又D(0，0)，所以，所以化简得化简得 :x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂的中垂线
12、为线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.2021/6/20143. 3. 将几何特征转化为数量关系而将几何特征转化为数量关系而得出方程得出方程. .2. 2. 准确写出几何特征准确写出几何特征p(M).本节课的关键问题本节课的关键问题1. 如何建立平面直角坐标系？如何建立平面直角坐标系？4. 简化方程的过程是否同解变形简化方程的过程是否同解变形.2021/6/2015求曲线的方程（求曲线的方程（2）2021/6/2016解解:解法解法1:设点设点M的坐标为的坐标为(x,y).M为线段为线段AB的中点的中点,A的坐标为的坐标为(2x,0),B的坐标为的坐标为(0,2y).l1l2,且且l1
13、、l2过点过点P(2,4),例例1.过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1,l2,若若l1交交x轴轴于于A点点,l2交交y轴于轴于B点点,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.PAPB,kPAkPB=-1.2021/6/2017整理得整理得x+2y-5=0(x1).当当x=1时时,A B的坐标分别为的坐标分别为(2,0) (0,4),线段线段AB的中点坐标是的中点坐标是(1,2),它满足方程它满足方程x+2y-5=0.综上所求综上所求,点点M的轨迹方程是的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧规律技巧:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,遇到垂直问题遇到
14、垂直问题,常利用斜率常利用斜率之积等于之积等于-1解题解题,但需注意斜率是否存在但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论即往往需要讨论,如解法如解法1.求轨迹方程有时利用求轨迹方程有时利用平面几何知识平面几何知识更为方便快捷更为方便快捷.2021/6/2018解法解法2:l1l2,OAOB,O,A,P,B四点共圆四点共圆,且该圆的圆心为且该圆的圆心为M.|MP|=|MO|.点点M的轨迹为线段的轨迹为线段OP的中垂线的中垂线. 的中点坐标为的中点坐标为(1,2),点点M的轨迹方程是的轨迹方程是即即x+2y-5=0.在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何
15、特征，利用平面平面几何知识几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做叫做几何法。几何法。2021/6/2019例例2.2.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 , , 求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程. .xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM特征特征: :所求所求( (从从) )动点随已知曲线上的动点随已知曲线上的( (主主) )动点的动点的变化而变化变化而变化方法方法: :用用从动点从动点的坐标的坐标(x,y)(x,y)表示表示主动点主动
16、点的坐标的坐标(x(x0 0,y,y0 0), ),然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程. .代入法代入法( (坐标转移法坐标转移法): ):2021/6/2020练习练习:点点A(3,0)为圆为圆x2+y2=1外一点外一点,P为圆上任意一为圆上任意一点点,若若AP的中点为的中点为M,当当P在圆上运动时在圆上运动时,求点求点M的的轨迹方程轨迹方程.分析分析:利用中点坐标公式利用中点坐标公式,把把P点的坐标用点的坐标用M的坐标的坐标表示表示,利用代入法利用代入法,代入圆的方程即可代入圆的方程即可.2021/6/2021练习练习2.已知已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨的重心的轨迹方程迹方程.2021/6/20222021/6/2023部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
