电磁场与电磁波教案02静电场ppt课件

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1、第二章第二章 静静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、度、电位、介位、介质极化、极化、场方程、方程、边境条件、能量与力境条件、能量与力1. 电场强度、度、电通及通及电场线 电场对某点某点单位正位正电荷的作用力称荷的作用力称为该点的点的电场强度，以度，以E E 表示。表示。 式中式中q q 为实验电荷的荷的电量，量，F F 为电荷荷q q 遭到的作用力。遭到的作用力。 电场强度度经过任一曲面的通量称任一曲面的通量称为电通，以通，以 表示表示,即即 电场线方程电场线方程用电场线围用电场线围成电场管成电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的几种典型的电场线分布分布由此可由

2、此可见，电场线的疏密程度可以的疏密程度可以显示示电场强度的大小。度的大小。 2. 真空中静真空中静电场方程方程 物物理理实验阐明明，真真空空中中静静电场的的电场强度度E E 满足足以以下下两两个个积分方式的方程分方式的方程式中式中0 0 为真空介真空介电常数。常数。左式称左式称为高斯定理，它高斯定理，它阐明真空中静明真空中静电场的的电场强度度经过任一封任一封锁曲面的曲面的电通等于通等于该封封锁曲面所包曲面所包围的的电量与真空介量与真空介电常数之比。常数之比。右式右式阐明，真空中静明，真空中静电场的的电场强度沿任一条度沿任一条闭合曲合曲线的的环量量为零。零。根据上面两式可以求出根据上面两式可以求

3、出电场强度的散度及旋度，即度的散度及旋度，即左式左式阐明，真空中静明，真空中静电场的的电场强度在某点的散度等于度在某点的散度等于该点的点的电荷体密度与真空介荷体密度与真空介电常数之比。右式常数之比。右式阐明，真空中静明，真空中静电场的的电场强度的旋度度的旋度处处为零。由此可零。由此可见，真空中静，真空中静电场是有散无旋是有散无旋场。 知静知静电场的的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，定理，电场强度度E E 应为 式中式中xPzyr0将前述将前述结果代入，求得果代入，求得因此因此 标量量函函数数 称称为电位位。因因此此，上上式式阐明明真真空空中中静静电场在

4、在某某点点的的电场强度等于度等于该点点电位梯度的位梯度的负值。按照国家按照国家规范，范，电位以小写希腊字母位以小写希腊字母 表示，上式表示，上式应写写为将将电位表达式代入，求得位表达式代入，求得电场强度与度与电荷密度的关系荷密度的关系为 假假设电荷分布在一个有限的外表上，或者分布在一个有限的荷分布在一个有限的外表上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以段内，那么可以类推推获知此知此时电位及位及电场强度与度与电荷的面密度荷的面密度 S 及及线密度密度l 的关系分的关系分别为1 1高斯定律中的高斯定律中的电量量 q q 应了解了解为封封锁面面 S S 所包所包围的全部正的全部正负电荷的荷的总和。和

5、。 静静电场特性的特性的进一步一步认识：2 2静静电场的的电场线是不能是不能够闭合的合的 ，而且也不能，而且也不能够相交。相交。3 3恣意两点之恣意两点之间电场强度度 E E 的的线积分与途径无关。真空中分与途径无关。真空中的静的静电场和重力和重力场一一样，它是一种保守，它是一种保守场。 4知知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算算电场强度，度，或者可以或者可以经过电位求出位求出电场强度，或者直接根据度，或者直接根据电荷分布荷分布计算算电场强度等三种度等三种计算静算静电场的方法。的方法。 例例1 1 计算点算点电荷的荷的电场强度。度。 点点电荷就是指体荷就是指

6、体积为零，但具有一定零，但具有一定电量的量的电荷。由于点荷。由于点电荷荷的构造具有球的构造具有球对称特点，因此假称特点，因此假设点点电荷位于球坐荷位于球坐标的原点，它的原点，它产生的生的电场强度一定与球坐度一定与球坐标的方位角及无关。的方位角及无关。 取中心位于点取中心位于点电荷的球面荷的球面为高斯面。假高斯面。假设点点电荷荷为正正电荷，球荷，球面上各点的面上各点的电场强度方向与球面的外法度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律方向一致。利用高斯定律上式左端积分为上式左端积分为 得得或或 也也可可经经过过电电位位计计算算点点电电荷荷产产生生的的电电场场强强度度。当当点点电电荷荷位位于于坐坐标

7、标原原点时，点时， 。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为求得电场强度求得电场强度 E 为为 假假设直接根据直接根据电场强度公式度公式2-2-14，同，同样求得求得电场强度度E为 例例2 2 计算算电偶极子的偶极子的电场强度。度。 由前述由前述电位和位和电场强度的度的计算公式可算公式可见，无，无论电荷何种分布，荷何种分布，电位及位及电场强度度均与均与电量的一次方成正比。因此，可以利量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理用叠加原理计算多种分布算多种分布电荷荷产生的生的电位位和和电场强度。那么，度。那么，电偶极子偶极子产生的生的电位位应为 假设察看间隔远大于两电荷的间距假设察看间隔远大于两电荷

8、的间距 l l ，那么可以为，那么可以为 ， 与与 平行，平行，那么那么x-q+qzylrr-r+O式式中中l 的的方方向向规定定由由负电荷荷指指向向正正电荷荷。通通常常定定义乘乘积 q l 为电偶偶极子的极子的电矩，以矩，以 p 表示，即表示，即求得求得那么那么电偶极子偶极子产生的生的电位位为 利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为 上述上述结果果阐明，明，电偶极子的偶极子的电位与位与间隔平方成反比，隔平方成反比，电场强度的度的大小与大小与间隔的三次方成反比。而且两者均与方位角隔的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。有关。这些特点些特点与点与点电荷荷显

9、著不同。以下著不同。以下图绘出了出了电偶极子的偶极子的电场线和等位和等位线的分布。的分布。 例例3 3 设半径半径为a a，电荷体密度荷体密度为 的无限的无限长圆柱柱带电体位于真空，体位于真空，计算算该带电圆柱体内外的柱体内外的电场强度。度。 xzyaLS1 选取取圆柱坐柱坐标系，令系，令 z z 轴为圆柱的柱的轴线。由于由于圆柱是无限柱是无限长的，的，对于任一于任一 z z 值，上，上下均匀无限下均匀无限长，因此，因此场量与量与 z z 坐坐标无关。无关。对于任一于任一 z z 为常数的平面，上下是常数的平面，上下是对称的，因称的，因此此电场强度一定垂直于度一定垂直于z z 轴，且与径向坐，

10、且与径向坐标 r r 一致。再思索到一致。再思索到圆柱构造具有旋柱构造具有旋转对称的称的特点，特点，场强一定与角度一定与角度 无关。无关。 取半径取半径为 r r ，长度度为 L L 的的圆柱面与其上下端面构成高斯面。运柱面与其上下端面构成高斯面。运用高斯定律用高斯定律 因因电场强度度方方向向处处与与圆柱柱侧面面S1的的外外法法线方方向向一一致致，而而与与上下端面的外法上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面方向垂直，因此上式左端的面积分分为当当 r a r a r a 时，那么电量时，那么电量q q 为为 , , 求得电场强度求得电场强度为为 上上式式中中 a2 可可以以以以为为是是单单位

11、位长长度度内内的的电电量量。那那么么，柱柱外外电电场场可可以以看看作作为为位位于于圆圆柱柱轴轴上上线线密密度度为为 = a2 的的线线电电荷荷产产生生的的电电场场。由此我们推出线密度为由此我们推出线密度为 的无限长线电荷的电场强度为的无限长线电荷的电场强度为 由此例可由此例可见，对于于这种构造种构造对称的无限称的无限长圆柱体分布柱体分布电荷，利荷，利用高斯定律用高斯定律计算其算其电场强度是非常度是非常简便的。假便的。假设根据根据电荷分布直接荷分布直接积分分计算算电位或位或电场强度，度，显然不易。然不易。 xzyr21r0例例4 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度

12、。的均匀线分布电荷的电场强度。 令令圆柱坐柱坐标系的系的 z 轴与与线电荷的荷的长度方位一致，且中点度方位一致，且中点为坐坐标原点。由于原点。由于构造旋构造旋转对称，称，场强与方位角与方位角 无关。无关。由于由于电场强度的方向无法判度的方向无法判别，不能运，不能运用高斯定律求解其用高斯定律求解其电场强度。只好度。只好进展展直接直接积分，分，计算其算其电位及位及电场强度。度。 因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令察看点无关，为了方便起见，可令察看点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 思索到思索到求得求得当当长度度 L L 时，1 1 0 0，2 2 ，那么那么此此结果与例果与例

13、3 3 导出的出的结果完全一果完全一样。 3. 电位与等位面位与等位面 静静电场中中某某点点的的电位位，其其物物理理意意义是是单位位正正电荷荷在在电场力力的的作作用下，自用下，自该点沿任一条途径移至无限点沿任一条途径移至无限远处过程中程中电场力作的功。力作的功。 应该留留意意，这里里所所说的的电位位实践践上上是是该点点与与无无限限远处之之间的的电位位差差，或或者者说是是以以无无限限远处作作为参参考考点点的的电位位。原原那那么么上上，可可以以任任取取一一点点作作为电位位参参考考点点。显然然，电位位的的参参考考点点不不同同，某某点点电位位的的值也也不不同同。但但是是恣恣意意两两点点之之间的的电位位

14、差差与与电位位参参考考点点无无关关，因因此此电位位参参考考点点的的选择不不会会影影响响电场强度度的的值。当当电荷荷分分布布在在有有限限区区域域时，通常通常选择无限无限远处作作为电位参考点，由于此位参考点，由于此时无限无限远处的的电位位为零。零。电位的数学表示电位的数学表示式中式中q q 为电荷的荷的电量，量，W W 为电场力将力将电荷荷 q q 推到无限推到无限远处作的功。作的功。 由于由于电场强度的方向度的方向为电位梯度的位梯度的负方向，而梯度方向方向，而梯度方向总是是垂直于等位面，因此，垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定与等位面一定处处坚持垂直。假持垂直。假设规定相定相邻的等位面之的等

15、位面之间的的电位差位差坚持恒定，那么等位面密集持恒定，那么等位面密集处阐明明电位位变化化较快，因此快，因此场强较强。这样，等位面分布的疏密程度，等位面分布的疏密程度也可表示也可表示电场强度的度的强弱。弱。 电位相等的曲面称为等位面，其方程为电位相等的曲面称为等位面，其方程为电场线等位面式中常数式中常数 C C 等于等于电位位值。E有极分子无极分子4. 介介质极化极化 导体中的体中的电子通常称子通常称为自在自在电子，它子，它们所携所携带的的电荷称荷称为自在自在电荷。介荷。介质中的中的电荷是不会自在运荷是不会自在运动的，的，这些些电荷称荷称为束束缚电荷。荷。 在在电场作用下，介作用下，介质中束中束

16、缚电荷荷发生位移，生位移，这种景象称种景象称为极化。极化。通常，无极分子的极化称通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称位移极化，有极分子的极化称为取向极取向极化。化。 无极分子有极分子Ea 实践上，介践上，介质极化景象是逐极化景象是逐渐构成的。当外加构成的。当外加电场Ea 加到介加到介质中中以后，介以后，介质中出中出现的的电偶极子偶极子产生二次生二次电场Es，这种二次种二次电场 Es 又又影响外加影响外加电场，从而，从而导致介致介质极化极化发生改生改动，使二次，使二次电场又又发生生变化。不断到合成化。不断到合成电场产生的极化可以建立一个生的极化可以建立一个稳态的二次的二次电场，极，

17、极化形状到达化形状到达动态平衡，其平衡，其过程如以下程如以下图所示。所示。 介介 质合成合成场Ea+ Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea 介介质极化以后，介极化以后，介质中出中出现很多很多陈列方向大致一列方向大致一样的的电偶极子。偶极子。为了衡量了衡量这种极化程度，我种极化程度，我们定定义，单位体位体积中中电矩的矢量和称矩的矢量和称为极化极化强度，以度，以P P 表示，即表示，即 式中式中 pi pi 为体体积 V V 中第中第 i i 个个电偶极子的偶极子的电矩，矩，N N 为 V V 中中电偶极偶极子的数目。子的数目。这里里 V V 应了解了解为物理无限小的体物理无限小的体积。

18、 实验结果果阐明明，大大多多数数介介质在在电场的的作作用用下下发生生极极化化时，其其极化极化强度度 P 与介与介质中的合成中的合成电场强度度 E 成正比，即成正比，即式中式中e e 称称为极化率，它是一个正极化率，它是一个正实数。数。 由上可由上可见，这类介介质的极化的极化强度与合成的度与合成的电场强度的方向一度的方向一样。极化极化强度的某一坐度的某一坐标分量分量仅决决议于相于相应的的电场强度的坐度的坐标分量。极化分量。极化率与率与电场方向无关，方向无关，这类介介质称称为各向同性介各向同性介质。有些介。有些介质并不是并不是这样，其极化，其极化强度的某一坐度的某一坐标分量不分量不仅与与电场强度相

19、度相应的坐的坐标分量有关，分量有关，而且与而且与电场强度的其他分量也有关。度的其他分量也有关。这类介介质的极化的极化强度度 P P 与与电场强度度 E E 的关系可用以下矩的关系可用以下矩阵表示表示 这就就阐明，介明，介质的极化率与的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，度方向有关，因此，这类介介质称称为各向异性介各向异性介质。 空空间各点极化率一各点极化率一样的介的介质称称为均匀介均匀介质，否那么，称，否那么，称为非均匀非均匀介介质。极化率与极化率与时间无关的介无关的介质称称为静止媒静止媒质，否那么称，否那么称为运运动媒媒质。 介介

20、质的均匀与非均匀性、的均匀与非均匀性、线性与非性与非线性、各向同性与各向异性、性、各向同性与各向异性、静止与运静止与运动分分别代表完全不同的概念，不代表完全不同的概念，不应混淆。混淆。 因此，假因此，假设极化率是一个正极化率是一个正实常数，那么适用于常数，那么适用于线性均匀且各向性均匀且各向同性的介同性的介质。假。假设前述矩前述矩阵的各个元素都是一个正的各个元素都是一个正实常数，那么适用常数，那么适用于于线性均匀各向异性的介性均匀各向异性的介质。 极化率与极化率与电场强度的大小无关的介度的大小无关的介质称称为线性介性介质，否那么，否那么，称称为非非线性介性介质。各向异性的介各向异性的介质能否是

21、均匀的？非均匀介能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的能否是各向同性的？ 发生极化以后，介生极化以后，介质外表出外表出现面分布的束面分布的束缚电荷。假荷。假设介介质内内部是不均匀的，那么极化部是不均匀的，那么极化产生的生的电偶极子的分布也是不均匀的，在偶极子的分布也是不均匀的，在介介质内部出内部出现束束缚电荷的体分布，因此出荷的体分布，因此出现体分布的束体分布的束缚电荷。荷。这种因极化种因极化产生的面分布及体分布的束生的面分布及体分布的束缚电荷又称荷又称为极化极化电荷。可以荷。可以证明明这些极化些极化电荷荷产生的生的电位位为 式中式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷

22、的关系为 由此可由此可见，任一，任一块介介质内部体分布的束内部体分布的束缚电荷与介荷与介质块的外的外表束表束缚电荷是等荷是等值异性的。异性的。 右式又可写为积分方式右式又可写为积分方式 5. 5. 介介质中的静中的静电场方方程程 在介在介质内部，穿内部，穿过任一任一闭合面合面 S 的的电通通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自在电荷，中的自在电荷， 为闭合面为闭合面S 中的束缚电荷。那么中的束缚电荷。那么 令令 ，求得，求得此此处定定义的的 D 称称为电位移。可位移。可见，介，介质中穿中穿过任一任一闭合面的合面的电位移位移的通量等于的通量等于该闭合面包合面包围的自在的自在电荷，而与束

23、荷，而与束缚电荷无关。上式又荷无关。上式又称称为介介质中的高斯定律的中的高斯定律的积分方式，利用矢量恒等式不分方式，利用矢量恒等式不难推出其微推出其微分方式分方式为 介介质中微分方式的高斯定律中微分方式的高斯定律阐明，某点明，某点电位移的散度等于位移的散度等于该点点自在自在电荷的体密度。荷的体密度。 电位移也可用一系列曲位移也可用一系列曲线表示。曲表示。曲线上某点的切上某点的切线方向等于方向等于该点点电位移的方向，位移的方向，这些曲些曲线称称为电位移位移线。假。假设规定定电位移位移线组成成的相的相邻的通量管中的通量管中电位移的通量相等，那么位移的通量相等，那么电位移位移线的疏密程度即的疏密程度

24、即可表示可表示电位移的大小。位移的大小。值得留意的是，得留意的是，电位移位移线起始于正的自在起始于正的自在电荷，而荷，而终止于止于负的自在的自在电荷，与束荷，与束缚电荷无关。荷无关。 知各向同性介质的极化强度知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 令令 ，式式中中 称称为介介质的的介介电常常数数。知知极极化化率率 e 为正正实数数，因因此此，一一切介切介质的介的介电常数均大于真空的介常数均大于真空的介电常数。常数。那那么么 实践践中中经常常运运用用介介电常常数数的的相相对值，这种种相相对值称称为相相对介介电常常数，以数，以 r 表示，其定表示，其定义为可可见，任任何何介介质的的相相对介介电常常

25、数数总是是大大于于1。下下表表给出出了了几几种种介介质的的相相对介介电常数的近似常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr各向异性介各向异性介质的的电位移与位移与电场强度的关系可以表示度的关系可以表示为此式此式阐明，各向异性介明，各向异性介质中，中，电位移的方向与位移的方向与电场强度的方向不一度的方向不一定一定一样，电位移某一分量能位移某一分量能够与与电场强度的各个或者某些分量度的各个或者某

26、些分量有关。有关。电位移和位移和电场强度的关系与外加度的关系与外加电场的方向有关。此外，可的方向有关。此外，可以推知均匀介以推知均匀介质的介的介电常数与空常数与空间坐坐标无关。无关。线性介性介质的介的介电常数常数与与电场强度的大小无关。静止媒度的大小无关。静止媒质的介的介电常数与常数与时间无关。无关。 对于均匀介于均匀介质，由于介，由于介电常数与坐常数与坐标无关，因此无关，因此获得得此外，此外，对于均匀介于均匀介质，前述，前述电场强度及度及电位与自在位与自在电荷的关系式依然荷的关系式依然成立，只成立，只须将其中真空介将其中真空介电常数常数换为介介质的介的介电常数即可。常数即可。 6. 两种介两

27、种介质的的边境条件境条件 由于媒由于媒质的特性不同，引起的特性不同，引起场量在两种媒量在两种媒质的交界面上的交界面上发生突生突变，这种种变化化规律称律称为静静电场的的边境条件。境条件。为了方便起了方便起见，通常分，通常分别讨论边境上境上场量的切向分量和法向分量的量的切向分量和法向分量的变化化规律。律。E2E11324lh 1 2et 为了了讨论边境上某点境上某点电场强度的度的切向分量的切向分量的变化化规律，律，围绕该点且点且紧贴边境作一个有向矩形境作一个有向矩形闭合曲合曲线，其，其长度度为 l l，高度，高度为 h h，那么，那么电场强度度沿沿该矩形曲矩形曲线的的环量量为 为了求出了求出边境上

28、的境上的场量关系，必需令量关系，必需令 h h 0 0，那么，那么线积分分 为了求出了求出边境上某点的境上某点的场量关系，必需令量关系，必需令 l l 足足够短，以致于在短，以致于在 l l内可以以内可以以为场量是均匀的，那么上述量是均匀的，那么上述环量量为 式式中中E1t 和和 E2t 分分别表表示示介介质和和中中电场强度度与与边境境平平行行的的切切向向分分量。知静量。知静电场中中电场强度的度的环量量处处为零，因此由上式得零，因此由上式得此式此式阐明，在两种介明，在两种介质构成的构成的边境上，两境上，两侧的的电场强度的切向分量度的切向分量相等，或者相等，或者说，电场强度的切向分量是延度的切向

29、分量是延续的。的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 此式此式阐明，在两种各向同性的明，在两种各向同性的线性介性介质构成的构成的边境上，境上，电位移的切位移的切向分量是不延向分量是不延续的。的。 hS 为了了讨论电位位移移的的法法向向分分量量变化化规律律，在在边境境上上围绕某某点点作作一一个个圆柱柱面面，其其高高度度为 h h，端端面面为 S S。那那么么根根据据介介质中中的的高高斯斯定定律律，得得知知电位位移移经过该圆柱柱面面的的通通量量等于等于圆柱面包柱面包围的自在的自在电荷，即荷，即D2D1令令 h 0 ，那那么么经过侧面面的的通通量量为零零，又又思思索索到到 S 必

30、必需需足足够小小，那么上述通量那么上述通量应为式中式中D1t D1t 及及 D2t D2t 分分别代表代表对应介介质中中电位移与位移与边境垂直的法境垂直的法线分量。分量。边境法境法线的方向的方向 en en 规定定为由介由介质指向介指向介质。 1 2en求得求得式式中中 s 为边境境上上存存在在的的外外表表自自在在电荷荷的的面面密密度度。思思索索到到在在两两种种介介质构成的构成的边境上通常不能境上通常不能够存在外表自在存在外表自在电荷，因此荷，因此此式此式阐明，在两种介明，在两种介质边境上境上电位移的法向分量相等，或者位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是延位移的法向分量是延续的。的。

31、 对于各向同性的于各向同性的线性介性介质，得，得 此式此式阐明，在两种各向同性的明，在两种各向同性的线性介性介质构成的构成的边境上，境上，电场强度的度的法向分量不延法向分量不延续的。的。 还可可导出出边境上束境上束缚电荷与荷与电场强度法向分量的关系度法向分量的关系为 7. 介介质与与导体的体的边境条件境条件 静静电平平衡衡：当当孤孤立立导体体放放入入静静电场中中以以后后，导体体中中自自在在电子子发生生运运动，电荷荷重重新新分分布布。由由于于自自在在电子子逆逆电场方方向向反反向向挪挪动，因因此此重重新新分分布布的的电荷荷产生生的的二二次次电场与与原原电场方方向向相相反反，使使导体体中中的的合合成

32、成电场逐逐渐减减弱弱，不不断断到到导体体中中的的合合成成电场消消逝逝为零零，自自在在电子子的的运运动方方才才停停顿，因此，因此电荷分布不再改荷分布不再改动，这种形状称种形状称为静静电平衡。平衡。 由由此此可可见，导体体中中不不能能够存存在在静静电场，导体体内内部部不不能能够存存在在自自在在电荷荷的的体体分分布布。所所以以，当当导体体处于于静静电平平衡衡时，自自在在电荷荷只只能能分分布布在在导体体的的外外表表上上。由由于于导体体中中不不能能够存存在在静静电场，因因此此导体体中中的的电位位梯梯度度为零零，这就就意意味味着着导体体中中电位位不不随随空空间变化化。所所以以，处于于静静电平平衡衡形形状状

33、的的导体体是一个等位体，是一个等位体，导体外表是一个等位面。体外表是一个等位面。 既既然然导体体中中的的电场强度度为零零，导体体外外表表的的外外侧不不能能够存存在在电场强度的切向分量。度的切向分量。换言之，言之，电场强度必需垂直于度必需垂直于导体的外表，即体的外表，即介质E, D导体en 导体外表存在的外表自在体外表存在的外表自在电荷面密荷面密度度为 或写为或写为式中式中 为导体周体周围介介质的介的介电常数。常数。 知知导导体体外外表表是是一一个个等等位位面面，因因 ，求求得得外外表表电电位位与与电电荷的关系为荷的关系为 思索到思索到导体中不存在静体中不存在静电场，因此极化，因此极化强度度为零

34、。求得零。求得导体外体外表束表束缚电荷面密度荷面密度为 静静电屏屏蔽蔽：当当封封锁的的导体体空空腔腔中中没没有有自自在在电荷荷时，即即使使腔腔外外存存在在电荷荷，腔腔中中也也不不能能够存存在在静静电场。这就就意意味味着着封封锁的的导体体腔腔可可以以屏屏蔽蔽外外部静部静电场，这种效种效应称称为静静电屏蔽。屏蔽。 当然，当然，总电通通为零能零能够是由于是由于闭合面内部合面内部没有没有电荷，因此没有荷，因此没有场；或者由于正；或者由于正负电荷荷相等，但是相等，但是这是不能是不能够的。由于的。由于电荷只能荷只能够分布在分布在导体的外表上，假体的外表上，假设以正以正负电荷之荷之间任一根任一根电场线和腔壁

35、中任一根曲和腔壁中任一根曲线组成一条成一条闭合曲合曲线，由于腔壁中没有，由于腔壁中没有电场，沿，沿该条条闭合曲合曲线的的电场强度的度的环量不能量不能够为零，零，这就就违背了静背了静电场的根本特性。的根本特性。此外，此外，显然假然假设腔体接地，位于腔中的腔体接地，位于腔中的电荷也不能荷也不能够对外外产生静生静电场。 由由于于导体体内内部部没没有有静静电场，因因此此假假设沿沿腔腔壁壁内内部部作作一一个个闭合合曲曲面面，经过其外表的其外表的电通一定通一定为零。零。 例例 知半径知半径为r1 的的导体球携体球携带的正的正电量量为q，该导体球被内半径体球被内半径为 r2 的的导体球壳所包体球壳所包围，球

36、与球壳之，球与球壳之间填充介填充介质，其介，其介电常数常数为1 ，球壳的外半径球壳的外半径为 r3 ，球壳的外外表敷有一，球壳的外外表敷有一层介介质，该层介介质的外半径的外半径为r4 ，介，介电常数常数为2 ，外部区域，外部区域为真空，如左以下真空，如左以下图示。示。试求：求：各区域中的各区域中的电场强度；度； 各个外表上的自在各个外表上的自在电荷荷 和和 束束缚电荷。荷。r1r2r3r4 0 2 1解解 由于构造由于构造为球球对称，称，场也是球也是球对称的，称的，运用高斯定理求解非常方便。取球面作运用高斯定理求解非常方便。取球面作为高斯面，由于高斯面，由于电场必需垂直于必需垂直于导体外表，体

37、外表，因此也垂直于高斯面。因此也垂直于高斯面。 在在 r r1 r r1及及 r2r r3 r2r r3 区域中，区域中，因因导体中不能体中不能够存静存静电场，所以，所以E = 0E = 0。 在在 r1r r2 r1r r2 区域中，由区域中，由 ，得得 r1r2r3r4 0 2 1同理，在同理，在 r3r r4 r3r r4 r r4 区域中，求得区域中，求得 根据根据 及及 ，可以求得各个外表上的自在，可以求得各个外表上的自在电荷及束缚电荷面密度分别为电荷及束缚电荷面密度分别为r1r2r3r4 0 2 1r = r1:r = r4:r = r2:r = r3:8. 电容与部分容与部分电容

38、容 由物理学得知，平板由物理学得知，平板电容器正极板上携容器正极板上携带的的电量量 q 与极板与极板间的的电位差位差 U 的比的比值是一个常数，此常数称是一个常数，此常数称为平板平板电容器的容器的电容，即容，即电容容为 电容的单位电容的单位F法拉太大。例如半径大如地球的弧立导体的法拉太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只需电容只需 F。实践中，通常取。实践中，通常取 F 微法及微法及 pF 皮法皮法作为电容单位。作为电容单位。 对于多于多导体之体之间的的电容容计算，需求引入部分算，需求引入部分电容概念。多容概念。多导体体系系统中，每个中，每个导体的体的电位不位不仅与与导体本身体本身电荷有关，

39、同荷有关，同时还与其他与其他导体上的体上的电荷有关，由于周荷有关，由于周围导体上体上电荷的存在必然影响周荷的存在必然影响周围空空间静静电场的分布，而多的分布，而多导体的体的电场是由它是由它们共同共同产生的。生的。 q1q3qnq2 此此时，各个，各个导体上的体上的电荷与荷与导体体间的的电位位差的关系差的关系为式中式中Cii 称称为第第 i 个个导体的固有部分体的固有部分电容；容；Cij 称称为第第 i 个个导体与体与第第j 个个导体之体之间的互有部分的互有部分电容。容。 例例 知同知同轴线的内的内导体半径体半径为 a，外，外导体的内半径体的内半径为b，内外，内外导体之体之间填充介填充介质的介的

40、介电常数常数为 。试求求单位位长度内外度内外导体之体之间的的电容。容。 解解 由于由于电场强度一定垂直于度一定垂直于导体外表，因此，体外表，因此，同同轴线中中电场强度方向一定沿径向方向。又度方向一定沿径向方向。又因构造因构造对称，可以运用高斯定律。称，可以运用高斯定律。 ab 设内内导体体单位位长度内的度内的电量量为q q，围绕内内导体作一个体作一个圆柱面作柱面作为高斯面高斯面S S，那么，那么那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 9. 电场能量能量 知在静知在静电场的作用下，的作用下，带有正有正电荷的荷的带电领会

41、沿会沿电场方向方向发生运生运动，这就意味着就意味着电场力作了功。静力作了功。静电场为了了对外作功必需耗外作功必需耗费本身的本身的能量，可能量，可见静静电场是具有能量的。假是具有能量的。假设静止静止带电体在外力作用下由无体在外力作用下由无限限远处移入静移入静电场中，外力必需中，外力必需对抗抗电场力作功，力作功，这部分功将部分功将转变为静静电场的能量的能量贮藏在静藏在静电场中，使静中，使静电场的能量添加。由此可的能量添加。由此可见，根，根据据电场力作功或外力作功与静力作功或外力作功与静电场能量之能量之间的的转换关系，可以关系，可以计算静算静电场能量。能量。 首先根据外力作功与静首先根据外力作功与静

42、电场能量之能量之间的关系的关系计算算电量量为 Q 的孤的孤立立带电体的能量。体的能量。 设带电体的体的电量量 Q 是从零开是从零开场逐逐渐由无限由无限远处移入的。由于开移入的。由于开场时并无并无电场，移入第一个微量，移入第一个微量 dq 时外力无外力无须作功。当第二个作功。当第二个dq 移移入入时，外力必需抑制，外力必需抑制电场力作功。假力作功。假设获得的得的电位位为 ，那么外力，那么外力必需作的功必需作的功为 dq ，因此，因此，电场能量的增量能量的增量为 dq 。知。知带电体的体的电位随着位随着电荷的逐荷的逐渐添加而不断升高，可添加而不断升高，可见电位是位是电量量 q 的函数。的函数。 那

43、么当那么当电量增至最量增至最终值 Q 时，外力作的，外力作的总功，也就是功，也就是电量量为 Q 的的带电体具有的能量体具有的能量为知孤立知孤立导体的体的电位位 等于携等于携带的的电量量 q 与与电容容 C 的之比，的之比， 即即代入上式，求得代入上式，求得电量量为Q 的孤立的孤立带电体具有的能量体具有的能量为 或者表示为或者表示为 对于于 n 个个带电体体具具有有的的总能能量量，也也可可采采用用同同样的的方方法法进展展计算算。设每每个个带电体体的的电量量均均从从零零开开场，且且以以同同样的的比比例例增增长。假假设周周围媒媒质是是线性性的的，那那么么当当各各个个带电体体的的电量量添添加加一一倍倍

44、时，各各个个带电体体的的电位位也也升升高高一一倍倍。设第第 i 个个带电体体的的电位位最最终值为 i，电量量的的最最终值为Qi，假假设某某一一时辰辰第第 i 个个带电体体的的电量量为 qi = Qi， 1 那那么么此此时辰辰该带电体体的的电位位为 i = i 。那那么么当当各各个个带电体体的的电量量均均以以同同一一比比例例 增增长，外力必需作的功，也就是，外力必需作的功，也就是带电系系统的的电场储能增量能增量为当各个带电体的电量同时分别增至最终值当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总时，该系统的总电场能为电场能为 求得求得 当带电体的电荷为延续的体分布、面分布或线分布电荷时，当带

45、电体的电荷为延续的体分布、面分布或线分布电荷时，由由 ，求得这种分布电荷的带电体总能量为，求得这种分布电荷的带电体总能量为 式中式中 为体元体元 dV、面元、面元 dS、或、或线元元 dl 所在所在处的的电位，位，积分区分区域域为电荷分布的空荷分布的空间。 从从场的的观念来看，静念来看，静电场的能量分布在的能量分布在电场所占据的整个所占据的整个空空间，应该计算静算静电场的能量分布密度。静的能量分布密度。静电场的能量密度以的能量密度以小写英文字母小写英文字母we we 表示。表示。 设两个两个导体携体携带的的电量量为Q1和和 Q2，其外表，其外表积分分别为 S1和和 S2，如下，如下图。 SS2

46、Q2Q1S1Venen 知知电荷分布在荷分布在导体的外表上，体的外表上，因此，因此，该系系统的的总能量能量为 又知又知 ，求得求得 假假设在无限在无限远处再作一个无限大的球面再作一个无限大的球面 S S，由于，由于电荷分布荷分布在有限区域，无限在有限区域，无限远处的的电位及位及场强均均趋于零。因此，于零。因此，积分分 那么，上面的那么，上面的储能公式可写能公式可写为 式中式中 。该闭合面。该闭合面 S S 包围了静电场所占据的整个空间。那包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写么，利用高斯定理，上式可写思思索索到到区区域域 V 中中没没有有自自在在电电荷荷，所所以以 ，又又

47、，代代入入上上式，求得式，求得由此可由此可见，静，静电场的能量密度的能量密度 对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质， ，代入后得，代入后得 此此式式阐明明，静静电场能能量量与与电场强度度平平方方成成正正比比。因因此此，能能量量不不符符合合叠叠加加原原理理。虽然然几几个个带电体体在在空空间产生生的的电场强度度等等于于各各个个带电体体分分别产生生的的电场强度度的的矢矢量量和和，但但是是，其其总能能量量并并不不等等于于各各个个带电体体单独独存存在在时具具有有的的各各个个能能量量之之和和。现实上上，这是是由由于于当当第第二二个个带电体体引引入入系系统中中时，外外力力必必需需对抗抗第第一一个个

48、带电体体对第第二二个个带电体体产生生的的电场力力而而作作功功，此此功功也也转变为电场能能量量，这份份能能量量通通常常称称为互互有有能能，而而带电体体单独独存存在在时具具有有的的能能量量称称为固固有能。有能。例例 计算半径算半径为 a ，电量量为 Q 的的导体球具有的能量。体球具有的能量。导体周体周围介介质的介的介电常数常数为 。 解解 可以可以经过三种途径三种途径获得一得一样结果。果。1 1知半径为知半径为a a，电量为，电量为 Q Q 的导体球的电位为的导体球的电位为那么求得那么求得2 2知知导体外表是一个等位面，那么体外表是一个等位面，那么积分求得分求得 3 3知电量为知电量为 Q Q 的

49、导体球外的电场强度为的导体球外的电场强度为 ，能量密度为，能量密度为 ，那么沿球外整个空间积分，那么沿球外整个空间积分求得求得 10. 电场力力 知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点遭到的电场力。知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点遭到的电场力。因此，点电荷因此，点电荷 遭到的电场力为遭到的电场力为 假假设上式中上式中 E 为点点电荷荷 q 产生的生的电场强度，那度，那么么 式中式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷 遭到点电遭到点电荷荷q q 的作用力，或者说点电荷的作用力，或者说点电荷 q q 对于点电荷对于点电荷 的作用

50、力为的作用力为 式中式中er 为由为由 q 指向指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。验总结归纳的库仑定律。 知知带电体体的的电荷荷分分布布，原原那那么么上上，根根据据库仑定定律律可可以以计算算带电体体电荷荷之之间的的电场力力。但但是是，对于于电荷荷分分布布复复杂的的带电系系统，根根据据库仑定定律律计算算电场力力是是非非常常困困难的的，有有时甚甚至至无无法法求求积。为了了计算算具具有有一一定定电荷荷分分布布的的带电体体之之间的的电场力力，通通常常采采用用虚虚位位移移法法。这种种方方法法是是假假定定带电体体在在电场作作用用下下

51、发生生一一定定的的位位移移，根根据据位位移移过程程中中电场能能量量的的变化与外力及化与外力及电场力所作的功之力所作的功之间的关系的关系计算算电场力。力。 以以平平板板电容容器器为例例，设两两极极板板上上的的电量量分分别为+q +q 及及 -q -q ，板板间间隔隔为 l l 。为了了计算算方方便便，假假定定在在电场力力作作用用下下，极极板板之之间的的间隔隔增增量量为dldl。众众所所周周知知，两两极极板板间的的相相互互作作用用力力实践践上上导致致板板间间隔隔减减小小。因因此此，求求出出的的作用力作用力应为负值。dll-q+q 既然以为作用力既然以为作用力F 导致位移添加，因此，作用力导致位移添

52、加，因此，作用力F 的方向为位移的添的方向为位移的添加方向。这样，为了产生加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为位移增量，电场力作的功应为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即由此求得由此求得式式中中脚脚注注 q = 常常数数阐明明当当极极板板发生生位位移移时，极极板板上上的的电量量没没有有发生生变化化，这样的的带电系系统称称为常常电荷系荷系统。 知知平平板板电电容容器器的的能能量量为为 。对对于于常常电电荷荷系系统统，发发生生位位移移时电量时电量 q 未变，只需电容未变，只需电容 C 改动了。改动了。式式

53、中中S 为极极板板的的面面积，l 为两两极极板板的的间距距。将将这些些结果果代代入入上上式式，求求得平板得平板电容器两极板之容器两极板之间的作用力的作用力为 知平板电容器的电容知平板电容器的电容式中式中负号号阐明作用力的明作用力的实践方向是指向位移减小的方向。践方向是指向位移减小的方向。 假假设假假定定发生生位位移移时，电容容器器一一直直与与电源源相相连，这样，在在虚虚位位移移过程程中中，两两极极板板的的电位位坚持持不不变，这种种系系统称称为常常电位位系系统。根根据据这种种常常电位位的的假假定定，也也可可以以计算算平平板板电容容器器两两极极板板之之间的的作作用用力力，所得所得结果果应该与上完全

54、一与上完全一样。 设在在电场力力作作用用下下，极极板板间距距的的增增量量为dl。由由于于电容容改改动，为了了坚持持电位位不不变，正正极极板板的的电荷荷增增量量为dq，负极极板板的的电荷荷增增量量为-dq 。设正正负极板的极板的电位分位分别为 1 及及 2 ，那么，那么电场能量的增量能量的增量为式中式中 为两极板之间的电压。为两极板之间的电压。 为了了将将 dq dq 电荷荷移移至至电位位为 1 1的的正正极极板板，将将电荷荷-dq-dq移移至至电位位为 2 2的的负极板，外源必需作的功极板，外源必需作的功为 根根据据能能量量守守恒恒原原理理，外外源源作作功功的的一一部部分分供供应电场力力作作功

55、功，另另一一部分部分转变为电场能的增量，因此能的增量，因此求得求得例例 利用虚位移法利用虚位移法计算平板算平板电容器极板上遭到的外表容器极板上遭到的外表张力。力。解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥荷相斥产生的生的外表外表张力力为F。在此外表。在此外表张力力F 的作用下，使极板面的作用下，使极板面积扩展了展了dS，那么那么电场力作的功力作的功为FdS。根据能量守恒原理，。根据能量守恒原理，这部分功部分功应等于等于电场能量的减小能量的减小值，即，即知平板电容器的能量为知平板电容器的能量为 ，代入上式，得，代入上式，得 假假设虚位移虚位移时

56、，极板与外源相，极板与外源相连，因此，因此电位位坚持不持不变。那么，。那么，外表外表张力力F F 应为 那么将那么将 代入，即可获得同样结果。代入，即可获得同样结果。 假设将假设将 及及 两式中的变量两式中的变量 l l 了解为一种广义坐标，也就是说，了解为一种广义坐标，也就是说，l l 可以代表位移、可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改动这种广义坐标的作用力称为对面积、体积甚至角度。那么，企图改动这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。于该广义坐标的广义力。 显然然，对于于不不同同的的广广义坐坐标，其其广广义力力的的含含义不不同同。对于于位位移移而而言言，广广义力力就就是是

57、普普通通概概念念的的力力，单位位为N；对于于面面积，广广义力力为外外表表张力力，单位位为N/m；对于于体体积，广广义力力为膨膨胀力力或或压力力，单位位为N/m2；对于于角角度度，广广义力力为转矩矩，单位位为Nm。假假设规定定广广义力力的的方方向向依依然然为广广义坐坐标添添加加的的方方向向，那那么么，广广义力力与与广广义坐坐标的的乘乘积依依然然等等于于功。功。这样，前两式可分，前两式可分别改写改写为两式中的微分符号两式中的微分符号变为偏微分是思索到系偏微分是思索到系统的能量能的能量能够与几种广与几种广义坐坐标有关。有关。l 代表代表对应于广于广义力的广力的广义坐坐标。由上两式可。由上两式可见，带

58、电系系统的能的能量与多少种广量与多少种广义坐坐标有关，就存在多少种广有关，就存在多少种广义力。当力。当带电系系统的某一广的某一广义坐坐标发生生变化化时，假，假设带电系系统的能量没有的能量没有发生生变化，也就不存在使化，也就不存在使该广广义坐坐标发生生变化的广化的广义力。力。 例例 计算算带电肥皂泡的膨肥皂泡的膨胀力。力。解解 设肥皂泡的肥皂泡的电量量为q q ，半径，半径为a a。利用常。利用常电荷系荷系统公式，令式中广公式，令式中广义坐坐标 l l 代表体代表体积 V V，那么遭到的膨，那么遭到的膨胀力力F F 为 知半径为知半径为a，电量为，电量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为因此，携因此，携带的能量的能量为 又知球的体积为又知球的体积为 代入上式，得代入上式，得