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1、7.1直线的倾斜角和斜率1、 直线的方程与方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是 某条直线上的点 ，反过来，这条直线上的点的坐标都是 这个方程上的解 ，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。2、直线的倾斜角（1）定义在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，假如把轴绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线 重叠 时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。要求：当直线与轴 平行或重叠 时，直线的倾斜角为 0 ；（2）倾斜角的取值范围3、直线的斜率（1）定义倾斜角 不是 的直线，它的倾斜角的 正切 叫这条直线的斜率，常用表示，即 ；倾斜角是90的直线没有斜率； （2）直
2、角坐标平面内的两点公式斜率公式：当x1=x2时，直线斜率k不存在（3）直线的方向向量若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=通过两点、的直线的方向向量为或；当初，直线的方向向量又可记为4、直线的倾斜角和斜率关系（已知含参直线的斜率，求倾斜角范围：）时，时，单调递增直线倾斜角跨着时，其斜率范围要断开提成两段；在处，斜率取得直线的斜率跨着0时，其倾斜角范围要断开提成两段；在处，斜率取得经典例题直线斜率定义倾斜角定义下列说法正确的个数是（ ）A.直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾斜程度B.直线的倾斜角越大其斜率就越大C.直线的斜率k的范围是k0D.直线的倾斜角的范围是
3、0180解：由直线的倾斜角范围的要求知选D.阐明：直线的倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度.由ktan及正切函数的单调性知当090时，k是的增函数，并且k0；当90180时，k是的减函数，并且k0.由此可知k（，），k不是的单调函数.设直线l1，l2的倾斜角分别为1和2，下面给出四个命题：(1)12l1l2；(2)|12|900l1l2；(3)若l1，l2都过原点，且12，则l1和l2有关y轴对称；(4)若l1，l2都过原点，且120，则l1和l2有关x轴对称其中正确的命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案：B。（1）重叠（4）倾斜角不能为负值（年全国高考题）如图，直
4、线、的斜率分别为、，则（）（）（）（）分析直线的倾斜角是钝角，故，直线与倾斜角，均为锐角且，因此，因此有，故选求通过两点和的直线的斜率分析（）当初，直线垂直于轴，因此不存在，（）当初，已知a、b、mR+，且ab,求证：分析：观测不等式左边，结构与斜率公式显然此式为点(b,a)与点（m,m）的连线的斜率.解：如图，0ab，点P（b,a）在第一象限且必位于直线y=x下方.又m0,点M（m,m）在第三象限且必在y=x上.连OP、PM，则直线MP的倾角不小于直线OP的倾角，kMPkOP,即有倾斜角旋转问题已知直线l1的倾斜角1=15，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线
5、l1重叠时所转的最小正角为60，求直线l2的斜率k2.解：设直线l2的倾斜角为2,则由题意知：1802+15=60,2=135,k2=tan2=tan（18045）=tan45=1.阐明：列出所满足的方程是求的核心.若直线l向上的方向与y轴正方向成30角，则l的斜率为_.已知直线AB的斜率为3，将直线AB绕点A按顺时针方向旋转45得直线l,则直线l的斜率是_.倾斜角翻番问题直线的斜率为，直线的倾斜角是的倾斜角的2倍，则的斜率是_。答案：。已知两点，直线的倾斜角是直线倾斜角的二分之一，求直线的斜率分析设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由已知得：或，数形结合观测斜率范围问题怎样处理过定点的直线与
6、已知线段有公共点的问题作出草图，结合图形考虑，为使直线与已知线段有公共点，则的倾斜角应介于直线与直线的倾斜角之间，但因为的倾斜角也许越过，因此需尤其注意，当的倾斜角小于时，有；当的倾斜角不小于时，则有(其中为直线的斜率)请同学仔细观测下图形，对照了解上面一段话的意义，不要偷懒哦_ 已知两点P（2，3），Q（3，2），直线ax+y+2=0与线段PQ相交，求a的取值范围.解：如右图直线l：ax+y+2=0恒过定点M（0，2），l与线段PQ相交，故kMPk1kMQ.已知点，若直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围分析如图，要使直线与线段有公共点，则有或已知两点P（2，3），Q（3，2），直线
7、axy20与线段PQ相交，求a的取值范围.分析：已知直线axy20是一条过定点(0，2）的动直线，若与线段PQ相交，则如图所示直线PM、QM是其变化的边界直线，因此只须求出直线PM、QM的斜率即可确定已知直线的斜率a的变化范围，从而得到a的变化范围.解：如图所示,直线l：axy20恒过定点M（0，2），l与线段PQ相交，故kMPklkMQ.kla，kMP，kMQa，a.已知点A(2,3)，B,若直线过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 直线l:y=ax+2和A(1，4)、B（3，1）两点，当直线l与线段AB相交时，求实数a的取值范围是_.备课阐明：研究直线l的斜率a与直
8、线AC、BC的斜率的大小关系时，要注意观测图形。请读者研究，若将本题条件改为A（1，4）、B（3，1），结论又将怎样？ a已知实数x、y满足，求的最值数形结合：最大值2，最小值2/3函数y= ()的值域是 （ ）A（A） （B） （C） （D）求函数的值域 答案：看作过点的直线斜率；令利用斜率处理三点共线问题证明三点，在同一条直线上分析，又两直线、都过同一点，、三点在同一直线上若三点共线，则k值为 12 下面直线有关的倾斜角语斜率的有关的问题与直线有关的斜率倾斜角问题已知,则过点的直线的斜率是 设直线3x+4y5=0的倾斜角为，则它有关直线x=3对称的直线的倾斜角为 假如一条直线通过点（3，5
9、），且它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求该直线方程。解：设直线的倾斜角为所求直线方程为： 即：一条直线通过点A（2,3），它的倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求这条直线的方程。解：设所求直线方程为由已知所求直线方程为即：直线绕原点按逆时针方向旋转后，所得的直线方程是ABCD解：设直线的倾斜角为，设所求直线方程为：有即，故选A。已知直线通过点，倾斜角的正弦值为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 答案. D 由 若，直线的倾斜角满足，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 答案. B 由，则 或用排除法注：求直线方程成果应化成一般式。求过三点且为正整数的直线方程。解：设所求直线方程为
10、（1，2）在直线上是正整数时，不符题意， 时，不存在， 时，不是整数。所求直线方程为： 即：直角坐标平面内的两点公式距离公式：若都在直线上，则用表示为ABCD解：由及在直线上，据代点法，有选B。倾斜角的取值范围问题若，求直线的倾斜角。若，求直线的倾斜角。已知含参直线的斜率，求倾斜角范围：若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案： D提示：由，直线过相异两点和B(0,1)，则直线的倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围若是直线的倾斜角，则的值的范围为ABCD解依正弦曲线，知选B。直线的倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围 xyO图4已知直线L的方程为当在实数范围变动时，求L的倾斜角的取值范围。解：由已知得设直线L的倾斜角为，则，从图4中可知，直线的倾斜角的取值范围是设直线l的方程是2x+by1=0,倾斜角为.(1) 试表示将与b的关系；(2) 若，试求b的取值范围；(3) 若b,求的取值范围.（1）f（b）=（2）（3）或已知斜率求倾斜角：反三角函数直线3x+4y50的倾斜角是( ) CA.arctan B.arctan()C.arctanD.+arctan已知直线的倾斜角为，则直线的斜率k= ； = 直线的倾斜角为 直线bx+ay=ab(a0,b0)的倾斜角是 （ ）C（A）arctan() (B)arctan() (C) (D)
