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1、一、函数极限的定义一、函数极限的定义一、函数极限的定义一、函数极限的定义一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质二、函数极限的性质高等数学同济七版第一章第三节一、函数极限的定义一、函数极限的定义在上一节我们讨论了数列的极限，在上一节我们讨论了数列的极限，而数列而数列 x xn n =f f( (n n) )可以看成是函数可以看成是函数 y y=f f( (x x) )当自变量当自变量 x x 取正整数的特殊情取正整数的特殊情形形. . 所以，可以用研究数列极限完全相同的思想和方法所以，可以用研究数列极限完全相
2、同的思想和方法来研究函数在自变量的某一变化过程中，来研究函数在自变量的某一变化过程中， 函数值的变化函数值的变化情况，情况，即函数的极限即函数的极限. . 自变量的变化过程主要有两种：自变量的变化过程主要有两种：(1)(1)(1)(1) 自变量趋于有限值自变量趋于有限值自变量趋于有限值自变量趋于有限值( ( ( (x x x xx x x x0 0 0 0) ) ) )；(2)(2)(2)(2) 自变量趋于无穷大自变量趋于无穷大自变量趋于无穷大自变量趋于无穷大( ( ( (x x x x). ). ). ).高等数学同济七版第一章第三节1. 1. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时
3、函数的极限x xy yO1 11.961.42.251.691.211.0210.980.810.490.360.25y y1.51.31.11.0110.990.90.70.60.5x x引例引例 设设 y y=f f( (x x)=)=x x2 2, ,x x0 0=1=1，观察当观察当 x xx x0 0 时，时，y y 的变化的变化趋势趋势. .高等数学同济七版第一章第三节则一定可求出则一定可求出 x x 与与x xy yO1 1 2 2 2 2 由此可以看出：由此可以看出： 当当 x x 无限接近无限接近 x x0 0时，时，函数值函数值 f f( (x x) )无无限接近限接近1.
4、 1.f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )无限接近无限接近无限接近无限接近1 1 1 1|f |f|f |f( ( ( (x x x x)1|)1|)1|)1| x x x x 无限接近无限接近无限接近无限接近 x x x x0 0 0 0|x|x|x|xx x x x0 0 0 0| 如果给定如果给定 f f( (x x) )与与1 1的接近程度的接近程度 ，x x0 0 的接近程度的接近程度 . .例如例如 =0.3=0.3，则可求出一个则可求出一个 =0.1=0.1，当当|x|xx x0 0| =0.1=0.1时，时，就有就有|f |f( (x x)1|)1| =0.
5、3=0.3成立成立. .比如比如 x x=0.91=0.91时，时，|f |f(0.91)1|=0.1719(0.91)1|=0.1719 =0.3.=0.3.则一定可求出则一定可求出 x x 与与高等数学同济七版第一章第三节定义定义1 1 设函数设函数设函数设函数 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )在点在点在点在点 x x x x0 0 0 0 的某一去心邻域内有定的某一去心邻域内有定的某一去心邻域内有定的某一去心邻域内有定义义义义如果存在常数如果存在常数如果存在常数如果存在常数 A A A A，对于任意给定的正数对于任意给定的正数对于任意给定的正数对于任意给定的正数
6、( ( ( (不论它不论它不论它不论它多么小多么小多么小多么小) ) ) )，总存在正数总存在正数总存在正数总存在正数 ，使得当使得当使得当使得当 x x x x 满足不等式满足不等式满足不等式满足不等式0 0 0 0 |x|x|x|xx x x x0 0 0 0| 时，时，时，时，对应的函数值对应的函数值对应的函数值对应的函数值 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )都满足不等式都满足不等式都满足不等式都满足不等式|f |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A| ，那么常数那么常数那么常数那么常数 A A A A 就叫做就叫做就叫做就叫做函数函数函数函数
7、f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )当当当当 x x x x x x x x0 0 0 0 时的极限时的极限时的极限时的极限， 记作记作记作记作或或或或 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) A A A A( ( ( (当当当当 x x x x x x x x0 0 0 0).).).).高等数学同济七版第一章第三节注意注意定义中的定义中的定义中的定义中的 0 0 0 0 |x|x|x|xx x x x0 0 0 0|0000， 0000，当，当，当，当 0 0 0 0 |x|x|x|xx x x x0 0 0 0| 时，时，时，时，有有有有 |f |f
8、|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|00时，时，高等数学同济七版第一章第三节左极限与右极限左极限与右极限x xx x0 0x xx xx x0 0x xx xx x0 0 且且 x xx x0 0, ,记作记作 x xx x0 0+ + 0000， 0000，当，当，当，当 x x x x0 0 0 0 xxxxx x x x0 0 0 0 时，时，时，时，有有有有 |f |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|0000， 0000，当，当，当，当 x x x x0 0 0 0 xxxxx x x x0 0 0 0+ 时，时，时，时，有有有有 |f |f
9、|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|X X X X 时，时，时，时，对应的函数值对应的函数值对应的函数值对应的函数值 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )都满足不等式都满足不等式都满足不等式都满足不等式|f |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|0000， X X X X0000，当，当，当，当 |x|x|x|x|X X X X 时，有时，有时，有时，有 |f |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|0000， X X X X0000，当，当，当，当 x x x x X X X X 时，有时，有时，有时，有 |f
10、 |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|0000， X X X X0000，当，当，当，当 x x x xX X X X 时，有时，有时，有时，有 |f |f|f |f( ( ( (x x x x)A A A A|0000和和和和 0000， 使得当使得当使得当使得当 0|0|0|0|x x x xx x x x0 0 0 0|0(0(0(0(或或或或 A A A A0)0)0)0)，0|0|0|0|x x x xx x x x0 0 0 0|0(0(0(0(或或或或 f f f f( ( ( (x x x x)0000，使得当使得当使得当使得当由定理由定理3 3的证明，
11、可得到如下更强的结论：的证明，可得到如下更强的结论：定理定理3 3 如果如果如果如果那么就存在着那么就存在着那么就存在着那么就存在着 x x x x0 0 0 0的某一去心邻域的某一去心邻域的某一去心邻域的某一去心邻域当当当当时，就有时，就有时，就有时，就有高等数学同济七版第一章第三节推论推论 如果在如果在如果在如果在 x x x x0 0 0 0 的某去心邻域内的某去心邻域内的某去心邻域内的某去心邻域内 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) 0(0(0(0(或或或或f f f f( ( ( (x x x x) ) ) ) 0) 0)0) 0)而且而且而且而且那么那么那么那
12、么 A A A A 0(0(0(0(或或或或 A A A A 0).0).0).0).* *定理定理4 4( ( ( (函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) ) ) )如果极限如果极限如果极限如果极限存在，存在，存在，存在， x x x xn n n n为函数为函数为函数为函数 f f f f( ( ( (x x x x) ) ) )的定义域内任一收敛的定义域内任一收敛的定义域内任一收敛的定义域内任一收敛于于于于 x x x x0 0 0 0 的数列，的数列，的数列，的数列，且满足：且满足：且满足：且满足：x x x xn n n n x x x x0 0 0 0(n n n n N N N N+ + + +) ) ) )， 那么相应的函那么相应的函那么相应的函那么相应的函数值数列数值数列数值数列数值数列 f f f f( ( ( (x x x xn n n n)必收敛，且必收敛，且必收敛，且必收敛，且高等数学同济七版第一章第三节高等数学同济七版第一章第三节
