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1、苏教版 七年级数学有理数1.11.1 正数和负数正数和负数负数：以前学过的 0 以外的数前面加上负号“”的数叫做负数。正数：以前学过的以外的数叫做正数。既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义注：-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；1.2.11.2.1 有理数：有理数：凡能写成q(p,q为整数且p 0)形式的数，都是有理数。p(1)正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数整数和分数统称有理数.正整数正整数正有理数整数零正分数(2)有理数的分类:有理数零有理数负整数负整数正分数分数负有理数负分数负分数注
2、意：注意：1) 0 不是正数，也不是负数；2) 不是有理数；无限不循环小数不是有理数。无限循环小数是有理数；3) 小数也归为分数。4) 自然数 0 和正整数；5) a0 a 是正数；a0 a 是负数；6) a0 a 是正数或 0 a 是非负数；7) a 0 a 是负数或 0 a 是非正数.1.2.21.2.2 数轴：数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项注意事项：数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示 a 的点在原点的右边，与原点的距离距离是 a
3、个单位长度；表示数a 的点在原点的左边，与原点的距离距离是 a 个单位长度。1.2.31.2.3相反数：相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数。注意：(1)一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0 0 的相反数还是的相反数还是 0 0； (2) a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； (3)相反数的和为 0 a+b=0 a、b 互为相反数.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和 a，我们说这两点关于原点对称绝对值：绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a a 的绝对
4、值的绝对值。（1）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。注：绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。a(a 0)a(a 0) (2) 绝对值可表示为：a 0(a 0)或a a (a 0)a (a 0)；（3）绝对值的问题经常分类讨论；aa1 a 0；aa 1 a 0； (4) |a|是重要的非负数，即|a|0；注意：|a|b|=|ab|,aba.b (5）有理数比大小：正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数和 0。两个负数，绝对值大的反而小。正数的绝对值越大，这个数越大；大数-小数 0，小数-大数
5、0；在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，所以左边的数永远小于右边的数。即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大补充：倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注（1）0 没有倒数；若 a0，那么a的倒数是1；a（2）倒数是本身的数是1；（3）若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数.1.3.11.3.1 有理数加法法则：有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。（3）一个数与 0 相加，仍得这个数.有
6、理数加法的运算律：（1）加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a（2）加法的结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。（a+b）+c=a+（b+c）.补充：去括号法则：（1）括号前是“”，把括号和括号前的“”去掉，括号里各项都不改号。（2）括号前是“”，把括号和括号前的“”去掉，括号里各项都改变符号。变符（3）括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。1.3.21.3.2 有理数减法法则：有理数减法法则：（有理数的减法可以转化为加法来
7、进行）减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）.1.4.11.4.1 有理数乘法法则：有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。（4）乘积是 1 的两个数互为倒数。有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。abba（2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。（ab）ca（bc）（3） 乘法的分配律： 一个数同两个数的和相乘，
8、 等于把这个数分别同这两个数相乘， 再把积相加。a（bc）abac 1.4.2 1.4.2 有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。aba1(b0)b两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。a注：零不能做除数，即 无意义.01.5.11.5.1 有理数乘方的法则：有理数乘方的法则：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a 叫做底数，叫做指数，当 a
9、n看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂。（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。（3）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an或(a-b)n=(b-a)n .有理数混合运算的运算顺序：有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同极运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行（4）a2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 a=0
10、,b=0；0.12 0.0121 1（5）据规律2底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.10 1001.5.21.5.2 科学记数法：科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.注：用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n1。1.5.31.5.3 近似数和有效数字近似数和有效数字接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。对于用科学记数法表示的数 a10n，规
11、定它的有效数字就是 a 中的有效数字。补充：（1）混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.（2）特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.知识点知识点 1. 1.负数代表相反意义的量负数代表相反意义的量例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（）A. 一天凌晨的气温是50C，中午比凌晨上升 100C，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加 12%，记作+12%，那么12%表示生产成本降低 12%C. 如果+5.2 米表示比海平面高 5.2 米，那么6 米表示比海平面低
12、6 米D. 如果收入增加 10 元记作+10 元，那么8 表示支出减少 8 元（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（500.1）kg、（500.2）kg、（500.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差.知识点知识点 2. 2.有理数的定义有理数的定义例：把下列各数填在相应的大括号内-7，3.5，1，3.3333,0，+29,1.362109,-1.15，23非负数集合；整数集合；负分数集合；有理数集合。知识点知识点 3. 3.数轴与相反数数轴与相反数1.（1）数轴上到-2 点的距离是 3 的点是（2）在数轴上表示数a的点到原点的距离为 3，则a 3 _ .2.-
13、3 的相反数是，3- 的相反数是3.a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，a+b-cd=4.比较大小95845.（1） 有理数 a 对应点在数轴上的位置如下图所示，则 a，-a，1 的大小关系是。（2）有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（） Aa + b0 Ba + b0; Cab = 0 Dab0知识点知识点 4. 4.绝对值绝对值1.若a=-a，则 a，若a=a，则 a若 a 为有理数，且abcabc，则a1,1,=10，若 a0，则=abcabc2. 3-=若用 A、B、C 分别表示有理数 a，b，c，O 为原点，如下图所示：化简2c | a b | | c b |
14、 | c a |=。3.绝对值为 2 的数是，绝对值小于 6 的所有整数是4.若x=3，-y=3，则 x+y=5.若a=3,b=5, 且 ab0，则a+b=若|X|=2，则 X=_,若|X3|=0，则 X=_，|X3|=6，则 X=_若a=b，则 a 与 b，即。6. a+2+b-3=0，a+b=知识点知识点 5. 5.加减运算加减运算1. 1.加减混合运算：加减混合运算：先去括号，再把同号的相加，最后异号两数相加例：38+（22）+（+62）+（78）（8）+（10）+2+（1）10.5+（4）（2.75）+12（+4.3）（4）+（2.3）（+4）知识点知识点 6 6：有理数乘除运算法则：
15、有理数乘除运算法则乘法运算法则a：只要有一个因数为 0，则积为 0。 b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。54115113275654例 1、计算：（1）（2）除法是乘法的逆运算1、有理数乘法法则 ：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与零相乘都得零。2、有理数除法法则(1)：除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的倒数； 0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0有理数除法法则（2）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例 3、 (1)(-1155)(-11)(+3)(-5);(2)37523;
16、32 (3)121113(5) 6(5)1 3.（4）;3382知识点知识点 7 7：有理数的乘方：有理数的乘方1有理数乘方运算法则：na 0(n是偶数)当 a0 时，an0(n 是正整数)；当 a0 时，；na 0(n是奇数)当 a=0 时，an=0(n 是正整数)例题一例题一 计算：计算：（1111-）52|-|+（-）0+（0.25）2003420033535知识点知识点 8 8：有理数混合运算：有理数混合运算3 37211121 (12)6()3|() (4)24 2.935371.2134711133) (1)20023.()0.253( )3(51.254 )(0.45)2(2816342420014.有理数混合运算提高题一 （1）若2 a 0，化简|a2|a2|（2）若 x0，化简| x|2x| x3| x|题二：设a0，且xa，试化简| x1| | x2|a|
