数字Butterworth滤波器的设计

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1、相关知识 MATLAB 包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包。 工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充 MATLAB 的符号计算，可视化建模仿真，文字处理及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包，控制工具包，信号处理工具包，通信工具包等都属于此类。 本次课设要用到的是 matlab 的信号处理工具箱，它提供了 IIR 滤波器设计的完全工具函数，用户只要调用这些工具函数即可一次性完成设计，而不需像上面分步实现。MATLAB 提供的函数有：Butter、cheby1、cheby2、ellip 等。这些函数即可用于模拟滤波器也适用于数字滤波器。 在使用这些函数

2、设计数字滤波器时，数字频率采用标准化频率（归一化频率） 。matlab的信号处理工具箱，它提供了有关巴特沃斯滤波器的函数 buttap、buttord、buttter 。 利用 , , ( )z p kbttap n可设计 出 n 阶 巴特沃斯低通滤波器原型，burrord 函数 可在给定滤波器性能的情况下， 选择巴特沃斯滤波器的阶数 n 和截止频率 c， 从而可利用 butter 函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。 利用 ,(, )cpspsnbuttordRRs 可得到满足性能的模拟巴特沃斯滤波器的最小阶数 n 及截止频率c， p其中为通带的拐角频率 ，s为阻带的拐角频率，p和s的单位均为

3、 rad/s； sR为通带区的最大波动系数 ，pR为sR阻带 区的最小衰 减 系数 ，sR和pR 的单位都为 dB。 利用 , ( , )sb abutter ns 可设计截止频率为c的 n 阶低通模拟巴特沃斯滤波器。 2.设计 1：低通巴特沃斯模拟滤波器设计。设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器： 指标如下： 通带截止频率：pf=3400HZ, 通带最大衰减：pR=3dB 阻带截至频率：sf=4000HZ，阻带最小衰减：SA=40dB 数字滤波器的工作原理 数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。它的输入和输出均为离散的数字信号，借助数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输

4、入信号的波形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。如果加上 A/D、D/A 转换，则可以用于处理模拟信号。 低通巴特沃斯模拟滤波器设计程序 根据设计要求写出如下的 matlab 实验程序： Wp=2*pi*3400; % 通带截止角频率 Ws=2*pi*4000; % 阻带截止角频率 Rp=3; % 通带最大衰减 Rs=40; % 阻带最小衰减 n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); % 求巴特沃斯阶数和 3db 截止角频率 b,a = butter(n,Wn,s); % 求传递函数 z,p,k = butter(n,Wn,s); % 求零极点及增益 w=li

5、nspace(1,15000)*2*pi; H =freqs(b,a,w); % 频率响应 magH=abs(H); % 频率响应的幅度 phaH=unwrap(angle(H); % 频率响应的相位(平滑处理) plot(w/(2*pi),20*log10(magH); % 频率响应的幅度的曲线图 title(巴特沃斯低通滤波器的幅频特性); xlabel(频率/Hz); ylabel(幅度/db) matlab 仿真结果 巴特沃斯低通滤波器的低通特性分析 巴特沃斯低通滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高而单调地下降。它的平方幅度响应为 221|()|1()ncH

6、j 其 中 ， n 为整数， 称为滤波器的阶数， n 值越大通带和阻带的近似性越好， 过渡带也越陡 。c为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质 ： 对所有的 n ， 都有 当 =0 时 ，2|()|H j=1 ； 对所有的 n ， 都有 当 =c时 ，2|()|H j=12，即在c处有 3dB 的衰减； 2|()|H j 是的单调递减函数 ，即不会出现幅度响应的起伏； 当 n 时 ， 巴特沃斯滤波器趋向于理想的低通滤波器 ； 在 =0 处平方幅度响应的各级导数均存在且等于 0， 因此2|()|H j在该点上取得最大值， 且具有最大平坦特性。 3.设计 2、模拟低通转换为数字低通滤波

7、器已知一模拟滤波器的系数函数为 1000( )1000asSH 分别用冲激响应不变法和双线性变换法将( )asH转换成数字滤波器系统函数( )H z，并图示( )asH和 ( )H z的幅度相应曲线。分别取采样频率sF1000Hz 和sF500Hz，分析冲激响应不变法中存在的频率混叠失真和双线性变换法存在的非线性频率失真等。 冲激响应不变法原理 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列( )h n模仿模拟滤波器的单位冲激响应( )ah t，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使( )h n正好等于( )ah t的抽样值，即满足： ( )()ah nh nT 式中：T 为抽样周期。

8、冲激不变法把稳定的( )aHs转换为稳定的( )H z。 由此方法可得到一阶系统的最基本的转换关系为： 1111aTssaez 双线性变换法原理 双线性变换法是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应,进而求得H(z)。 先将 s 平面压缩成 s 平面上一个宽度为 2/T 的水平带状区域，然后通过将这个带状区域映射到整个 z 平面，实现 s 平面到 z 平面的单值映射。 引入正切变换 将 s 平面的虚轴变换到s1平面虚轴/T 之间 改写成 延拓到整个 s 平面和 s 平面，令，则得 再将 s 平面映射到 z

9、平面，应用，从而实现了 s 平面到 z 平面的单值映射。 或 （简单的代数关系） 设计程序 clear; %清除变量 close all %关闭所有窗口 b=1000;a=1,1000; %模拟滤波器分子分母的系数 w=0:1000*2*pi; %定义频带宽度 hf,w=freqs(b,a,w); %把频域转化到复频域 subplot(2,3,1) %分割窗口画图 plot(w/2/pi,abs(hf); %画滤波器的幅频特性 title(模拟滤波器的幅频特性) %给这个图加个标题 grid on %打开网格 fs0=1000,500; %定义两个变化频率 for m=1:2 fs=fs0(m

10、) d,c=impinvar(b,a,fs) %脉冲响应不变法求滤波器系数 f,e=bilinear(b,a,fs) %双线性变化法求滤波器系数 wd=0:512*pi/512; %频率归一化 hw1=freqz(d,c,wd); %求脉冲响应不变法的数字滤波器的频率分量 hw2=freqz(f,e,wd); %求双线性变化法的数字滤波器的频率分量 subplot(2,3,2); %分割窗口画图 plot(wd/pi,abs(hw1)/abs(hw1(1); %画滤波器的幅频特性 hold on %保持图形不清除 grid on %打开网格 title(脉冲响应不变法); %给这个图加个标题

11、subplot(2,3,3)%分割窗口画图 plot(wd/pi,abs(hw2)/abs(hw2(1) %画滤波器的幅频特性 hold on; %保持图形不清除 title(双线性变化法); %给这个图加个标题 end 仿真结果 fs = 1000 d = 1 c = f = e = fs = 500 d = 2 c = f = e = 1 0 冲激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析 数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应间的关系为： 12()()jakH eHjkTT 上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的周期延拓，根据奈奎斯特抽样定理，只有当模拟滤波器的频率响应是严格限带的，

12、 且带限于折叠频率/ 2,/ 2ss以内时， 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。但是，任何一个实际的模拟滤波器响应都不是严格限带的，变换后都会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，因此模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上衰减越大、越快，变换后频率响应混叠失真就越小。 优点：1h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好 2线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 缺点：1对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大， 2不能用来设计高通和带阻滤波器。只适用于

13、限带的低通、带通滤波器 双线性变换法存在的非线性频率失真和优缺点分析 如仿真波形图可知，在零频率附近，arctan(/ 2) 的频率变换关系接近线性关系外，当增加时，变换关系就是非线性的了，也就是说，与之间存在严重的非线性关系。这就是双线性变换法存在的非线性频率失真。 优点：1避免了频率响应的混迭失真现象 2在特定数字滤波器和特定模拟滤波器处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。 3它是一种简单的代数关系，设计十分方便。 缺点：1除了零频率附近，与之间严重非线性，即线性相位模拟滤波器变为非线性相位数字滤波器 2要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变 3对于分段

14、常数型 AF 滤波器，经双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。 4.设计 3、设计一个 10 阶的 Butterworth 滤波器，通带为 100250Hz，采样频率为 1000Hz，绘出滤波器的单位脉冲响应。 设计原理分析 由题目可知，要求设计一个 10 阶的带通的巴特沃斯滤波器，理论上所用的方法可以是先设计出模拟低通滤波器，再转变成数字带通滤波器。然而，这里我们可以直接利用butter 函数直接设计 IIR 数字带通滤波器。 , (,)nb abutter N Wftype用于设计高通、带通或带阻滤波器

15、，并由参数ftype确定滤波器的形式。 当 ftype（2）=band (默认值) 时，为带通滤波器，此时Wn=wl wh ，则返回的b，a 所构成的滤波器是阶次为 2N 的带通滤波器，带通范围为：lh。 matlab 设计程序 n=10; Wn=100 250/1000; b,a=butter(n,Wn); y,t=impz(b,a,101); stem(t,y) matlab 仿真结果 5.设计分析 数字滤波器分为 IIR 数字滤波器和 FIR 数字滤波器。 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法是很不同的。IIR 滤波器设计方法有两类，经常采用的第一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计

16、方法来进行。这一类方法相对容易一些，这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表可供查阅，并且还有一些典型的滤波器类型可供设计者使用。另一类设计方法是直接在频域或者时域中进行设计，由于要解联立方程，设计时则需要计算计做辅助设计。而 FIR 滤波器不能采用先设计模拟滤波器然后在转换为数字滤波器的方法，经常使用的设计方法窗函数法和频率取样法，还有一种比较有效的方法是切比雪夫等波纹逼近法，需要通过计算机辅助设计来完成。 本次课设要设计的是数字 Butterworth 滤波器， 而设计的内容分为三步： 先设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器，然后将模拟低通转换为数字低通滤波器

17、，最后完成设计一个 10 阶的 Butterworth 带通滤波器。通过这次课程设计就是要我们掌握 IIR 滤波器第一类设计方法的步骤。 6.设计体会 作为电子信息工程专业的学生，数值信号处理是我们重要的专业课程，是我们将来从事通信事业的基本保障。通过此次的课程设计，我对数字通信理论有了更进一步的理解。 在课程设计的过程中，我学到了很多东西，比如设计滤波器的一些基本函数的用法，各种模拟滤波器的特性，设计滤波器的一些基本方法。但更为重要的是，我对于解决一个问题的思路更加清晰，找到了属于自己的方法。当然，在设计的过程中，不可能避免的遇到了很多问题，如刚开始思路比较混乱，没有明确的方向。主要是如何将

18、理论计算的模型转换为仿真模型。因为在理论上，将低通转换成高通，一般是变换将高通频率特征转换成低通原型频率特征；而在软件设计中，是对其传递函数进行修改，即变换其 z 域的表达式，设计初期一直不知道如何将其联系起来。后来发现，其实变换传递函数，也就是变换频率特征，是将变换后的频率代入原低通模型，而后得到高通模型的。 总的来说，通过这次课程设计，无论是对课本知识的掌握还是 MATLAB 的应用，我都有了很大程度的提高。对数字滤波器的设计流程有了大致的了解，掌握了一些设计滤波器的基本方法，提高了理论用于实践的能力，掌握了更多专业相关的使用知识与技能。 7.参考文献 1陈怀琛MATLAB在电子信息课程中的应用（第二版） 电子工业出版社2006 2 刘泉数字信号处理原理与实现（第二版） 电子工业出版社2008 3 陈贵明用 MATLAB 语言处理数字信号与数字图像科学出版社2000 4 王家文图形图像处理国防工业出版社2006 5 苏金明MATLAB图形图像电子工业出版社2005 6 朱铭锆DSP 应用系统设计M 电子工业出版社2002. 本科生课程设计成绩评定表 姓 名 性 别 专业、班级 课程设计题目：基于 MATLAB 的数字 Butterworth 滤波器的设计 课程设计答辩或质疑记录： 成绩评定依据： 最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定） 指导教师签字： 年 月 日