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1、 专题21二次函数与三角函数综合问题【例1】（2022泰安二模）抛物线的顶点在轴上，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；（3）如图2，已知（2）中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由【例2】（2022江岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值【例3】（2022沈阳模拟）如图1，直线分别交轴
2、，轴于点，经过点，的抛物线交轴正半轴于点（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图2，是第三象限内的抛物线上动点，轴交直线于点，若是等腰三角形，求点坐标；（3）是抛物线的顶点，直线上存在点，使，请直接写出点坐标【例4】（2022湖北）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为（1）直接写出点和点的坐标；（2）如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；（3）如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，与直线交于点设和的面积分别为和，求的最大值【例5】（2022南充）抛物线与轴分别交于点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为
3、某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，连接并延长到点，使交轴于点，与均为锐角，求点的坐标【例6】（2022无锡）已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点（点在点的左侧），且（1）求该二次函数的表达式；（2）若点与点重合，求的值；（3）点是否存在其他的位置，使得的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由一解答题（共20题）1（2022秋工业园区期中）已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点（1）当时，知，求的长；（2）当时，
4、若，求抛物线的解析式；2（2022春德化县期中）在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且（1）已知求二次函数的解析式；直线平行于，且将分成面积相等的两部分，求直线的解析式（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点3（2021秋朝阳区校级期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点、，（1）若点的坐标为；求该抛物线的解析式；点是线段上的动点过点作，交线段于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；当的面积最大时，求点的坐标；（2）已知、是抛物线上两点；将抛物线上位于、两点间的部分记为；把的最高点
5、与最低点的纵坐标的差记为，当时，求的取值范围4（2022长春模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点（1）如果抛物线经过点求的值；直接写出“区域”内整数点的个数；（2）当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；（3）当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值5（2022长沙二模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“三角形”
6、（1）判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“”，如果不是，请在对应横线上画“”；其中有两内角分别为，的三角形 ；其中有两内角分别为，的三角形 ；其中有两内角分别为，的三角形 ；（2）如图1，点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，为轴负半轴上一点，若求的值，并求证：为“三角形”；若与相似，直接写出的坐标；（3）如图2，在中，为边上一点，且是“三角形”，已知，记，过，作抛物线，在右侧，且在轴上，点在抛物线上，使得，若符合条件的点个数为3个，求抛物线的解析式6如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，过点，作直线（1）求抛物线的解析式及的值；（2）当点到直线的距离为
7、时，求点的坐标；（3）过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标7（2022中山市三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；（3）点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标8（2022松江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，抛物线经过、两点，顶点为（1）求抛物线的表达式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；（3）将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满
8、足，求点的坐标9（2022沈阳模拟）如图，已知点，点，直线过点，交轴于点，抛物线经过点，（1）求抛物线的解析式；（2）为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）平面内任意一点，与点距离始终为2，连接，直接写出的最小值10（2022春西山区校级月考）已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；（3）如图2，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标11（2022春汉川市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的左侧）（1）求抛物线的解析式；（
9、2）求的值；（3）点在第二象限内的抛物线上，点在轴上，且，当与相似时，求点的坐标12（2022秋道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（3）在（2）的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长13（2022荆门模拟）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平
10、分四边形的面积，求点的坐标；（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标14（2022春磐安县期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由15（2022合肥模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点（1）求该抛物线的解析式；（2）点是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接、，当的面积最大
11、时，求点的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由16（2022高州市一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点（1）求该抛物线的解析式（2）如图1，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标17（2022夏津县模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点
12、，与交于点，设点的横坐标为（1）求抛物线的表达式；（2）当线段的长度最大时，求的值；（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由18（2022黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若在直线上方，轴于，交于求的值；求线段的最大值（3）如图2，连接，当与相似时，直接写出点的坐标19（2022广东模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点（1）连接，交轴于点，是抛物线上的一个
13、动点如图一，点是第一象限的抛物线上的一点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标如图二，点在第四象限的抛物线上，连接、交于点，设，则有最大值还是最小值？的最值是多少？（2）如图三，点是第四象限抛物线上的一点，过、三点作圆，过点作轴，垂足为，交圆于点，点在运动过程中线段是否变化？若有变化，求出的取值范围；若不变，求线段长度的定值（3）点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标20（2022瓯海区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒，抛物线经过点和点（1）求，（用的代数式表示）；（2）抛物线与直线和分别交于，
14、两点，当时，在点的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；的面积与的函数关系式；是否存在这样的值，使得以，、，为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【例1】（2022泰安二模）抛物线的顶点在轴上，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；（3）如图2，已知（2）中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据，求得的值，从而得出抛物线的解析式；（2）以为斜边作等腰直角三角形，设，从而表示出，将点坐标代入抛物线的解析式求得的值，进而求得，两点坐标，进一步求的面积；（3）作直角三角形，使，作轴于，作轴于，可证得，进而求得点的坐标，进一步求得的解析式，进一步可求得结果【解答】解：（1）由题知，；（2）如图1，由题意得：，是等腰直角三角形，以为斜边作等腰直角三角形，设，为抛物线上，当时，延长交轴于，作轴于，；（3）如图2，作直角三角形，使，作轴于，作轴于，的解析式为：，由得，（舍取），当时，【例2】（2022江岸区
