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1、专题限时集训(二十三)A 第23讲几何证明选讲(时间:30分钟) 1如图231,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A作AP垂直于直线OM,垂足为P.(1)证明:OMOPOA2;(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直于直线ON,且交圆O于B点,过B点的切线交直线ON于K.证明:OKM90.图2312如图232,O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证:PM2PAPC;(2)若O的半径为2,OAOM,求MN的长图2323如图233,AB是O的一条切线,切点为B,C为圆外一点,ADE,CFD,CGE都是O的割线,ACAB.(
2、1)证明:AC2ADAE;(2)证明:FGAC.图2334如图234,O1与O2相交于A,B两点,AB是O2的直径,过A点作O1的切线交O2于点E,并与BO1的延长线交于点P,PB分别与O1,O2交于C,D两点求证:(1)PAPDPEPC;(2)ADAE.图234专题限时集训(二十三)A1证明:(1)因为MA是圆O的切线,所以OAAM.又因为APOM,在RtOAM中,由射影定理知,OA2OMOP.(2)因为BK是圆O的切线,BNOK.同(1),有OB2ONOK,又OBOA,所以OPOMONOK,即.又NOPMOK,所以ONPOMK,故OKMOPN90.2解:(1)证明:连接ON,则ONPN,且
3、OBN为等腰三角形,则OBNONB,PMNOMB90OBN,PNM90ONB,PMNPNM,PMPN.由条件,根据切割线定理,有PN2PAPC,所以PM2PAPC.(2)OA2,OAOM,OM2,在RtBOM中,BM4.延长BO交O于点D,连接DN,由条件易知,BOMBND,于是,即,得BN6.MNBNBM642.3证明:(1)AB是O的一条切线,AB2ADAE.又ACAB,AC2ADAE,(2)AC2ADAE,又DACCAE,CADEAC,ACDAEC.又四边形DEGF是O的内接四边形,CFGAEC,ACDCFG,FGAC.4证明:(1)PAE,PDB分别是O2的割线,PAPEPDPB,又PA,PB分别是O1的切线和割线,PA2PCPB,由得PAPDPEPC.(2)连接AC,ED,设DE与AB相交于点F,BC是O1的直径,CAB90,AC是O2的切线由(1)知,ACED,ABDE,CADADE.又AC是O2的切线,CADAED,AEDADE,ADAE.