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1、一、概念教学应当注意的几个问题概念对于数学的特殊重要性：1.“数学知识”的具体内涵：（1）事实性结论（公理定理）；（2）概念（原始概念派生概念）。2.“数学活动”的基本形式：（1）数学概念的生成、分析与组织；（2）问题的提出与解决。1. 应当清楚地指明概念的具体涵义相关现象：教学中人们往往只是注意了如何引导学生通过自主探究去发现相关对象的性质，却忽视了还应帮助学生很好地认识与把握相关概念的准确涵义。 例例 11 “长方形与正方形特性”的教学教学实录1：学生预习：（1）做一个长方形。（2）比一比。发现长方形的特征性质是什么？（3）如何对此进行验证？（4）你还有哪些发现？教学实录2：教师在课堂上首
2、先通过全班讨论指明了这样一点：我们主要应从角和边这样两个角度去从事平面图形性质的研究。 教学实录3然后，在教师的指引下，全班同学又很快将精力集中到了“如何对相关猜想进行验证”之上，学生们表现出了很大的创造力，即是设想出了多种不同的检验方法，如折一折，用直尺和量角器量一量，等等，直至最终建立起了这样的共识：“对边相等”和“四个角都是直角”是长方形的特征性质。 教学实录4就正方形特征性质的认识而言，教师所采取的也是基本相同的方法，即是集中于相关性质的发现和检验，包括通过实际动手（选4根小棒围成一个长方形或正方形等）帮助学生更好地认识长方形与正方形的特征性质。 问题与思考 长方形与正方形的特征性质真
3、的是量出来的吗？在学生尚未清楚地知道究竟什么是“长方形”（和“正方形”）的情况下，就要求学生通过实际动手去发现两者的特征性质是否有点“本未倒置”？ 与三角形的类比在三角形的研究中，我们是如何获得“等腰三角形两腰相等”这一结论的？ 可能的启示（1）正如三角形的分类，我们在此或许也应更加重视四边形的分类，也即应当通过各种四边形的比较将学生的注意力逐步引向较为特殊的四边形，包括如何对这些特殊四边形（这不仅指长方形与正方形，也包括菱形、平行四边形等）作出明确的定义。可能的启示（2）正如由等腰三角形的定义我们即可直接引出“两腰相等”这样一个结论（与此不同，“等腰三角形两个底角相等”是证明的结果，即有一个
4、发现和检验的过程）；我们也可由长方形和正方形的定义直接引出它们的某些特征性质。总之，在此需要的主要是动脑、而不是外部的操作或动手实践。例2 正方形的认识教师：“什么是正方形？”学生：“方方正正就是正方形。”教师：“什么是方方正正？”学生：“就是四边相等。”教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形是否是正方形？”学生：“不是，因为它不正。”教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是否正方形？”学生：“不是！因为这个图形不方。”教师将学生回答得正确的结论写在黑板上，回答不正确的不写，最后加以补充总结，抽象出正方形的定义。例3 “圆的认识”的教学先前的评论：“圆的半径和直径的性质事实上也不能被看成动手画一画、
5、折一折或量一量的直接结果，而是主要依赖于活动的内化，也即如何能够让学生借助经验展开数学的想象，从而清楚地认识到这一动作可以予以一般化的特征，如圆的半径都相等等等。”两个相关的事实（1）在现实世界中我们能否找到真正的圆？（2）圆有多少条半径？具体的教学建议我们是否也可通过“什么是圆？”的具体讨论帮助学生很好地掌握“圆的定义”，并由此而引出“圆的半径都相等”这样一个性质？2. 正确理解数学概念的作用相关现象：教学中人们往往只是强调了概念在日常生活中的应用，却忽视了数学概念还有这样一个十分重要的作用，即是为我们深入地开展认识活动提供了必要的理论工具。相关的论述（爱因斯坦） “人们总想以最适当的方式来
6、画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”两个十分重要的认识（1）数学：科学的语言；（2）概念：“认识之网”上的结点。例4 “认识比”的教学问题与思考：在事先已经学习了“除法”与“分数”的情况下，我们为什么还要专门引入“比”这样一个概念？相关现象：教材中并普遍地使用了如下的表格（或其它类似表格）以帮助学生弄清“比”、“除法
7、”与“分数”这三个概念之间的联系和区别。但这究竟产生了怎样的效果？比 前项后项比号比值除法分数关键：不同的研究视角如果说这正是“除法”与“分数”的主要区别：分数的引入体现了由“过程”向“结果”的转变：在尚未完成计算（除法）的情况下我们也可用一个确定的数（分数）表示相关的结果；那么，这就是引入“比”的主要原因：人们在此所关注的主要是两个量之间的关系，而不十分在意如何能将此归结为一个确定的数。 相关的事实现实中的确存在这样的情况，在此有必要用一个特定的数更为简洁地去表明两个量之间的比，如路程与时间的比，成本与利润的比，等等，但是，这恰恰更为清楚地表明：正是不同的研究视角（或需要）促使人们分别引入了
8、“比”、“除法”与“分数”这样三个概念，包括其它一些附属性的概念，如“比值”等。 一点提醒“比”的教学并可被看成小学数学教学渗透“函数观念”的很好契机。因为，这正是“函数观念”的核心，即是我们应当注意分析（变）量之间的关系，而且，所谓的“正比例函数”又正是最为简单的函数之一。 例5 “三角形任意两边的和大于第三边”的教学问题情境：小明上学时究竟是走中间的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近？ 相关现象：尽管从一开始被提问的学生就能立即对上述问题作出正确解答，大多数学生还能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行检验，包
9、括重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这样一个猜想。在课后的点评中，还有教师提出：“在此重要的并非上述的结论，而是要让学生体会发现的过程。” 问题与思考什么是真正的探究？什么又是数学教学中提倡学生自主探究的主要意义？在学生几乎可以说已经完全掌握了相关知识的情况下，我们究竟又应如何去从事“三角形任意两边的和大于第三边”的教学？具体建议在此我们也应更加注重研究的视角，这就是指，从一开始就应将学生的注意力引向这样一个问题：我们应从哪些角度从事三角形的研究？并引导学生逐步建立起这样一个认识：我们主要应从角和边这样两个角度从事三角形的研究。在形成了这样的共识以后，剩余的工作就十分简单了：在此需要的只
10、是帮助学生回忆起“两点间直线最短”这样一个已有知识，并使用“三角形”的相关语言对此作出转译或重新表述。 相关的经验（范午英，小学教学，2013年第12期） “我在黑板上画出两个点B、C，并问：同学们，从点B到点C的最短距离怎么画？学生画出了一条线段。我顺势画了一条折线，问道：如果走其它路线，还有更短的吗？为什么？“两个点之间走直线是最短的，其他的路线多多少少拐弯了。学生说。“我在折线的拐点处标出字母A：这就是三角形ABC，如果不看A点，三角形就可以看成是B、C之间的一条线段和一条折线。你有什么发现？BCBAC“折线一定比线段长，即便是微微撑起也是折线。“BC一定是最短的，BA+AC一定比BC长
11、。“换一个角度看，任何一个三角形都可以看成是由两点之间的一条线段和一条折线组成的。“不费吹灰之力，就得到了下面的结论：任意三角形的两边之和一定大于第三边。” 例 6 “认识方程”的教学问题与思考：在“认识方程”的教学中应当如何能够帮助学生很好地认识“方程”的作用?相关事实：由于“认识方程”是学生首次正式接触到了“方程”这样一个概念，因此，在此时就期望学生清楚地认识方程方法相对于算术方法的优越性应当说完全不切实际。具体建议在此我们也应更加突出“方程”所体现的研究视角：如果说先前的学习主要集中于如何能够通过具体计算去求得相应的未知数（“过程操作性观念”），那么，这就是“方程”所体现的特殊视角：我们
12、在此已将分析的着眼点转向了各个数量之间的等量关系（“结构性观念”）。关于“=”的具体考察在算术中我们主要是从“操作（过程）的观点”看待“=”的：等号的左边表明我们应当实施哪些计算，得出的结果则应写在右边；也正因此，等式的两边就是不对称的，即有明确的方向性。与此不同，方程中对于“=”的理解则体现了这样一种观念：这主要代表了一种关系：等量关系，其本身也不具有任何的方向性。上述的观念对立并可被看成代数思维与算术思维的主要区别之一。也正因此，“方程”的教学就可被看成为我们在小学阶段初步渗透“代数思想”提供了重要契机。具体的教学建议（1）“认识方程”的教学应当突出“天平”这样一个比喻。具体地说，我们可以
13、通过天平在日常生活中的应用帮助学生初步地领会方程方法的本质，包括对照天平称重时的不同情况（等与不等）对相应的算式作出分类，从而引入方程这样一个概念。具体的教学建议（2）在教学中我们并应有意识地引入一些“非标准变式”，从而帮助学生很好地实现由“过程（操作）性观念”向“结构性观念”的重要转变。具体地说，在给出了“方程”的定义以后，教师往往会引入如下练习以帮助学生掌握这一定义，也即要求学生具体地去判断以下一些式子是否为方程： 6+x=14, x3=20, 60-48=12, 8+x, y-28=35, 5y+320,相应的“非标准变式”一些新的实例：6=14-3x， 6+x=14-7x， 25+x=
14、 y-28，等等。我们还应用不同的字母、包括一些更为复杂的符号表达式或特殊符号去替代经常使用的字母x。如将4x+7 = 35变形为4y+7 = 35，以及进一步变形为4（2r+1）+7 = 35，4*+7=35，等等，另一值得思考的问题在“方程”定义的两个要素之中，究竟何者更加重要？3. 注意概念间的联系与区别应当的思考：我们为什么应当高度重视概念间的联系与区别？理由之一：这正是实现“理解学习”的关键。相关的论述（J. Hiebert，& P. Carpenter）数学中的“理解”并非一种全有或全无的现象，而是主要取决于主体头脑中所建立的“联系”的数目和强度：“如果潜在地相关的各个概念的心理表
15、征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限的；随着网络的增长或联系由于强化的经验或网络的精致化得到了加强，这时理解就增强了。”教学涵义应当用“联系”的观点指导具体教学，特别是，“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”就数学概念的教学而言，这也就是指，我们不应只是强调概念的生成，但却忽视了概念的分析与组织。“数学活动”的基本涵义之一：概念的生成、分析与组织。一些值得思考的问题（1）在已经掌握了长方形特征性质的情况下，我们是否还应用同样的方法去研究正方形的性质？（2）在掌握了半径的性质情况下，我们是否还应用同样的方法去研究直径的性质？（3）在学生几乎可以说已经完全掌
16、握了相关知识的情况下，我们是否还应“从头开始”去研究“三角形三条边之间的关系”？专业成长的重要一环：由“知识”走向“知识包”例例7 两位数的退位减法两位数的退位减法：一个相关的调查（引自马立平，小学数学的掌握和教学，华东师范大学出版社，2011 ）：“如果你是二年级的老师，你会怎样教学生做52-25、91-79这样的题目？你觉得学生在学习退位减法之前，需要具备怎样的知识和技能调查的具体结果绝大多数中国教师都认为应从“数的重组”这一角度对相应算法（“退位”）的合理性作出说明，从而帮助学生真正实现理解学习这也是中国数学教师的一个普遍做法，即是将“退位”这一算法与加法运算中的“进位”联系起来进行教学
17、。 与“数的重组”一样，很多教师认为这一内容的教学还应突出“进率”这样一个概念，因为，后者与学生将来的学习密切相关。 更为普遍的认识“利用退法做减法运算，是用了几个概念而不是单独一个概念。这是知识包，而不是知识的序列。”“在教一个知识点的时候应该把知识看作一个包，而且要知道当前的知识在知识包中的作用。你还要知道你所教的这个知识受到哪些概念或过程的支持。所以你的教学要依赖于、强化并详细描述这些概念的学习。当教那些将会支持其他过程的重要概念的时候，你应该特别花力气以确保你的学生能够很好地理解这些概念，并能熟练地执行这些过程。” 另一应当重视的问题由于教材中往往是按照一定的逻辑线索对概念（和知识）进
18、行组织的，因此，我们在教学中也就应当注意突破这样一个局限性，即是应当帮助学生从更为广泛的角度去认识各个概念（和知识）之间的联系。特别是，这更应成为复习课的一个重要目标，即是通过复习帮助学生形成整体性的知识结构。例 8“平面图形的整理和应用”这是6年级的一堂复习课，其主要目标是对学生已学过的各个相关图形（长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆）的面积公式作出整理，特别是，即是帮助学生更好地掌握图形与相应的面积计算公式之间的联系。教学实录任课教师在课堂上发挥了很好的引导和组织作用，包括明确提出了这样一个工作任务，即是要求每个小组用图形演示的方式表明各个面积公式之间的联系，然后又组织学生进行全
19、班汇报，包括对自己与其它人的工作作出评价，等等。从当时的情况看，学生应当说也已较好地掌握了相关的知识，特别是，各个小组都能正确地回忆出各个面积公式的推导过程，也即大致地体现出如下的逻辑线索： 正方形 三角形长方形 平行四边形 梯形 圆问题与思考但是，这一教学活动又如何能够真正超出单纯回忆的范围，并为学生的积极思考与研究提供更大的空间？事实上，就所提到的各个面积公式而言，除去以长方形为核心这一“标准作法”以外，我们显然也可以三角形的面积公式为核心将其它各个图形联系起来。进而，通过两种方式的比较与“互补”，我们又不仅可以帮助学生建立更为丰富和合理的认知结构，也可促进他们积极主动地去进行探索，从而表
20、现出更大的“开放性”。总结概念教学最为基本的三个问题：（1）概念的定义（是什么？）；（2）为什么要引入这样一个概念？（有什么用？）（3）这一概念与其它概念的联系和区别？愿大家都能紧扣这样三个问题更为深入地去从事数学概念教学的研究。二、数学思维的教学一些相关的方面:（1 ）“问题解决”的教学，如 “植树问题”、“找次品问题”，等等。（2 ）“找规律”的教学。 （3）“解题策略”的教学，如“画图”、“列表”、“替换”等。（4）数学思维在各类课中的渗透。基本认识（1）尽管在适当的时间与场合确有必要进行数学思维的专门教学，但更为重要的是，我们又应努力做到将数学思维的教学很好地渗透于全部的教学活动之中，
21、因为，这不仅有助于我们将数学课真正“教活”、“教懂”、“教深”，也可使我们的学生更为深切地感受到数学思维的力量，从而真正起到身教重于言教的作用。 相应的原则：“数学思维的学习，不应求全，而应求用”。因为，如果我们不能真正做到用数学思想和数学思想方法的分析带动具体数学知识内容的教学，那么，无论是所谓的“解题策略”、还是一般性的数学思想或数学思想方法，就都是纸上谈兵、空中楼阁，我们自然也不可能期望我们的学生通过我们的教学即能真正“学会数学地思维”。 基本认识（2）当前的紧迫任务：数学思想和数学思想方法的清楚界定和合理定位。这也就是指，就小学数学教学而言，究竟哪些数学思想和数学思想方法是最为重要的，
22、我们又如何能够依据学生的认知发展水平对此作出适当定位，也即清楚地指明小学各个阶段在上述各个方面我们究竟应当帮助学生达到怎样的水平？ 1. “找规律”教学的若干误区 （1）所谓的“找规律”，事实上根本不包含规律。（2）以“发现规律、检验规律”统一处理相关内容的教学，却未认识到不同的内容与场合应有不同的教学重点。（3）在很多情况下我们又在不知不觉之中将“学生的自主探究”变成了“假探究”。 例9“找规律”的教学教学实例（1）研究盆花。师：我们一起来学习“找规律”。从左边起，盆花是按什么顺序摆放的？照这样摆下去，左起第15盆是什么颜色的花？（2）研究彩灯。师：从左边起，彩灯是按什么顺序摆放的？照上面那
23、样排下去，从左边起第17盏灯是什么颜色？（3）研究彩旗。师：我们再来看一看彩旗。（4）交流问题。师：这个规律在数学上叫做“周期现象”。（5）创造规律。师：（出示改动的灯笼图：红、紫、绿、紫、紫、绿、红、红、绿）：从左边起第17盏灯笼是什么颜色？生：灯笼颜色没有规律。师：从左边起，分别两个两个、三个三个、四个四个圈一圈。灯笼颜色确实没有按一定的规律悬挂。怎样让这道题目有办法解答呢？生：把灯笼出现的次序改一改，变得有规律。 问题与思考什么是“规律”？上面所提到的各个实例是否包含一定的规律？我们又是否可以随意地去“创造规律”？什么又是“找规律”此类教学活动的意义？具体分析“客观性”与“普遍性”（“可
24、应用性”）可以被看成“规律”最为重要的两个特征；我们所希望的则又在于通过揭示现象背后的规律即可更好地认识世界和进行新的实践活动，也即更好地理解并作出预测。正因为此，盆花、彩灯和彩旗的摆法等，就都很难被看成包含真正的规律，因为，在此显然有很大的随意性，或者说，即是对于规律的一种“泛化”；我们更不应随意地去提及所谓的“创造规律”。例10 “找规律”的更多实例（1）（引自幼儿“数学思维训练”）一、填一填：1，2，3，？，5，？，？，8，？，？；1，3，5，7，？，11，？，？，17；1，2，4，7，？，161，2，3，5，？，13二、填一填：11，12，13，？，15，？，？，18，？，？；11，1
25、3，15，17，？；19，16，13，10，？，4；20，19，17，14，？，5；例10 “找规律”的更多实例（2）一、找规律，写出第三个数：61，52，？，94，46，18，二、写出数列：1， 1，1， 2，1，1，2，1，1 1，1，1，2，2，1的下一行。应有的思考究竟什么是此类教学活动的主要意义？结论：应当切实防止“规律”的泛化！一个相关的论述（引自张奠宙数学教育随想录，2013）背景：小旗的排列：黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、？）相关的问题：“后面一个应是什么？”（人教版一年级）评论：“这里的应字，是不妥当的。它意味着找的规律只有一种，第一排第10面旗只能是红色。事实上，我们
26、可以找到许多其它的规律，使得第10面是黄色：如9个一组，周期重复，于是第9、第10；第18、第19边续两面都是黄旗。“实际上，找规律问题是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种的规律，认为只有一个规律，推断出必须是什么？和应该是什么？，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。”相关内容的不同处理与“规律”相比，“模式”应当说是更为合适的一个词语。“重复的奥妙”（北师大版），特别是，不同的教学重点：（1）生活中有哪些重复出现的现象？（2）我们又应当如何去表达所说的重复现象？例 11“运算律（加法和乘法的交换律与结合律 ）”的教学相关现象：任课教师对于这一内容的处理往往与
27、一般的“找规律”并无区别，也即主要集中于规律的发现和检验，特别是，应当如何对相关的猜想作出检验，如“有了猜想，还需要举很多例子来验证，这样得出的结论才准确”；“举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论者更可靠。”相关的事实无论就教材、或是实际的教学活动而言，所说的“运算律”早已得到了默认。如学生自一年级开始学习自然数的加法以来就已反复地接触到了9+1 =1+9 =10等事实，另外，这显然也是各种“简便算法”的直接基础，如9+7 =9 +（1+6）=（9 +1）+6 =10+6 =16等；教师在教学中往往也会给学生这样的建议：为了保证运算的正确性，可以通过交换
28、加数（和乘数）的次序对已结果进行检验。问题与思考在这样的情况下，我们究竟是否仍有必要进行“运算律”的教学？正面的建议：这一教学活动不应集中于“规律的发现和检验”，而应通过教学促成学生由原先对于相关规律的不自觉认识转向更为自觉的状态。那么，究竟什么又是这里所说的对于规律的“自觉认识”的主要内涵？具体分析（1）规律的清楚表述，包括由自然语言向符号语言的必要过渡；我们又不仅应当鼓励学生用自己的语言对此作出清楚表述，还可要求学生说出自己的理解和感受等，乃至给出自己的比喻，等等。 （2）规律的必要检验。 应有的思考：举例与理解？我们是否应当特别重视实例的考察，这又是否可以被看成真正的证明：“可以举出无数
29、多个这样的例子（正例），同时又举不出一个反例”。具体主张尽管小学数学教学不应强调严格的证明，我们还是应当鼓励学生对所说的规律作出自己的理解与说明。例如，我们在此或许就可联系运算的现实意义（物体的聚集或合并，平面图形的面积，等等）帮助学生很好地理解相关运算律的合理性。（3）清楚地认识“运算律”的作用。正如数学中的分类，数学中对于规律的寻找也是一种具有明确目的性的活动，而决非为了找规律而找规律。（4）进一步的思考：我们能否对已发现的规律作出新的推广或发展等等。显然，通过这方面的思考我们即可帮助学生更好地认识相关规律的适用范围，从而切实防止对于规律的不恰当推广，即如将“交换律”和结合律”错误地推广到
30、了减法和除法。 例 12 “加法运算律”的教学（中山市香晖园小学刘林源）1. 唤起学生已有经验（1）拆数。师：同学们，我们在一年级时学过拆数；还记得吗？比如3这个数，可以怎么拆成哪两个数？（2）加法验算。师：我们在前面也学过加法验算。我们是怎么验算的，比如12+28？（3）简单实际问题。课件出示：李叔叔上午骑了40千米，下午骑了56千米，一共骑了多少千米？2. 观察算式，找异同。师：观察这三个等式，左右两边有什么相同点和不同点？3. 观察算式，总结规律。师：通过上面和你们刚才举的例子，你发现了什么？师：知道这个规律叫什么名字吗？师：你能用自己喜欢的方式表示出加法交换律吗？比如可以用图形、字母等
31、符号表示出来。同桌商量一下，然后在练习纸上写出来。分析与思考特点：相对于规律的发现应当说更加强调总结；相对于检验更加强调规律的表述和说明。关键：如何能够引导学生更为积极、深入地去进行思考？（动手或动脑？）一些有意义的问题你怎么知道两边是相等的啊？（可以算啊！）是不是每次都要算啊？你为什么这么肯定？如何进行表述才更加有效？例13 “韦达定理”的教学两种不同的提问方式和教学设计：（1）先列表让学生填充，然后问：你认为根与系数有什么关系？ 方程 X1X2X1 +X2X1 X2X2X -12 = 0X2 6X +5 = 0X2 2X -35 = 0另一种提问方式（2）什么是一元二次方程的主要成分？在一
32、元二次方程的根与系数可能存在什么样的关系？如何去作出发现？又应如何去证明？例 14 关于“圆周率”的两个教学设计（祝中录）（1）教师直接要求学生测量几个大小不同的圆的周长和直径，用周长除以直径，把结果填写在设计好的表格里。要求学生对结果进行比较，并问学生：你有什么发现？（2）师：同学们，前面我们已经学过如何画圆。要画出一个圆，一般应具备怎样的条件？这些条件起什么作用？生：画出一个圆，要知道圆心和圆的半径（直径），圆心决定圆的位置，半径（直径）决定圆的大小。师：“半径（直径）决定圆的大小”，这句话你是怎么理解的？ 生：圆的半径（直径）与圆的大小是有联系的，圆的半径（直径）越大，圆就越大，半径（直
33、径）越小，与圆就越小。师：在没有学习圆面积之前，这里所说的圆的大小，我们可以理解为圆的周长大小，也就是说圆的半径（直径）越长，周长就越长；圆的半径（直径）越短，周长就越短，那么它们之间有没有一定的关系呢？（观察左图）因为周长的1/2大于直径，所以圆的周长肯定大于直径的2倍。（观察右图）因为周长的1/4小于直径，所以，圆的周长肯定小于直径的4倍。生：圆的周长应该在直径的2倍与4倍之间。不论是什么样的圆应该都是这样。师：真是是这样吗？请同学们拿出课前准备好的圆形卡片，测量它们各自的周长和直径，找出这个大于2、小于4的数。例 15 “3的倍数的特征”相关的事实：如果没有教师的启发引导，学生往往很难通
34、过自主探究得出相关的结论，问题与思考：那么，我们究竟应当如何给学生必要的启示呢？相关的教学设计师：看来，个位数字是3、6、9的数不一定就是3的倍数。那3的倍数到底与什么有关？今天我们就来研究这个问题：3的倍数的特征。我们要借助一个学具计数器。怎么研究呢？请看屏幕。（课件出示拨珠实验一：同桌合作，用4棵算珠拨数。） 师：是的，用4棵算珠拨不出3的倍数。那么是不是不管用多少颗算珠都拨不出3的倍数呢？我们再来做一次实验。（课件出示拨珠实验二：同桌合作，任选棵数拨数。）应有的思考我们究竟应当放手让学生去进行探究，还是为学生的探究指定一个明确的方向，甚至加上一个硬性的框框？有益的思考：如果不是事先知道了
35、结果，我们是否会还想到“画一个计数器”、或是仔细考察“各个数位上数的和”呢？ 发现探究的关键积极的尝试，及时的总结与反思，特别是，应当善于从“错误”中学习，因为，即使是一些不很成功的探究，其中也可能包含一些十分重要的思想或启发性的成分，从而就可为最后的成功提供直接的基础。相关的教学实例（张良朋，小学教学，2014年第1期） 教学片断师：看来只看一个数的个位判断是不是3的倍数行不通，还有别的想法吗？你这样想的根据是什么？学生操作3分钟后，开始全班交流。生：3的倍数的特征应该和每个数位上的数都有关系。大家看，150是3的倍数，可个位上的0变成1，151就不再是3的倍数了。生：3的倍数与一个数中数字
36、的排列顺序没有关系。13不行，31也不行。12行，21也行。120、102、201都是由0、1、2这三个数字构成的，都是3的倍数。成功的基础一旦认识到“3的倍数的特征与每个数位上的数都有关系”、但“与数中数字的排列顺序没有关系”，即使不用计数器，进一步的探究方向应当说已是较为明显的了。当然，要真正弄清其中的道理我们还应更为深入地去思考：为什么看是不是3的倍数不能只看个位，而要看各个数位上的数的和？小结：“找规律”教学的若干误区 1. 应当防止“规律”的泛化。2. 防止不适当的“模式化”，也即将“找规律”统一地归结为“发现规律、检验规律”。3. 应当防止将“学生的自主探究”变成了“假探究”，并切
37、实增强教师指导性工作的启发性。 插入：“找规律”与归纳思想的应用背景：这是2011年版数学课程标准诸多解读的一个普遍特征，即是对于“归纳思想”的突出强调。正面的建议：相对于归纳思想的简单提倡而言，我们应当更加重视如何能够促成学生由归纳思想的“素朴应用”转向归纳思想的“科学应用”。关键：规律的发现不能依靠简单的重复。例16 “植树问题”的教学 相关的现象：在“植树问题”的教学中，为了找出相应的“规律”（为了讨论的方便，在此仅限于“两端都种”这样一种情况，并规定“每隔5米种1棵树”），教师往往会要求学生分别就多个不同的情况去进行研究，即如道路全长20米、25米、30米、50米，包括通过列表以作出归
38、纳。 问题与思考由于所说的各种情况十分类似，我们在此是否真有必要让学生再三地去重复所谓的“研究”？事实上，只需围绕“所说的规律为什么是真的？”去进行思考，我们就可清楚地看出在此实在没有必要就所说的各种情况要求学生再三地去重复所谓的“研究”，因为，这里的关键并不在于道路的实际长度，而是“一一对应”这样一个思想。我们必须注意引导学生由单纯的计算（“动手”）转向更为深入的思考（“动脑”）。三、聚焦专业成长1.教学研究的几个关键；2.教学方法、教学模式与教学能力；3.必要的观念转变；1. 教学研究的几个关键（1）增强问题意识；（2）用案例说话;（3）努力做到“小中见大”，即应以各个具体课例作为背景并从
39、更为一般的角度进行分析思考，从而引出具有更大普遍性的问题和结论。这也正是“教学实践的理论性反思”的基本意义。 例17 “解决问题的策略画图”的教学（2） 问题1：小明和小芳同时从两地沿一条公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？问题3：小刚和小星同时从学校出发去少年宫。小刚每分钟走64米，小星每分钟走60米。经过6分钟，小刚到了少年宫，这时小星距少年宫还有多少米？ 课例实录教师在上课前首先安排学生对上述三个问题进行了“小研究
40、”，在发给学生的“研究表”中教师并特别强调了这样一点：“你能先画图，再解答下面的问题吗？”进而，在学生在实际从事了上述三个问题的研究之后，教师又要求他们进一步去思考：“你觉得画图对于解决问题有什么帮助？” 问题与思考所说的“小研究”在此究竟起到了什么样的作用，特别是，这是否真正起到了启发和导引的作用，还是一种“包办代替”？我们究竟又应如何去理解所谓的“解题策略”和“问题解决”？相关的认识“问题解决”并非是指解题者无需任何认真努力就可顺利地求解所面临的问题，而是一种创造性劳动，也即“要去找出适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标”。这又是“解题策略”的一个基本定位：如果你对于如何解题已经有
41、了一定想法，就完全不用去理睬任何一种“解题策略”，而只需按照自己的想法直接尝试着去做；但如果你想不到任何一种办法，所说的“解题策略”就可能给你一定启示。 启发性与“硬性的规范”与所说的启发性相对照，在上述的情况下所谓的“解题策略”事实上已经变成了学生必须严格遵循的“硬性规范”，“问题解决”也已演变成了一种常规性的练习，即是如何能用教师（教材）指定的方法去求解教师（教材）给出的问题，包括按照教师（教材）的提示对相应的“解题策略”作出理解。 具体的思考如果我们不是“硬性地”要求学生用画图的方法去进行求解，面对上述的问题（1），究竟有多少学生会想到用这样一个策略？ 问题1：小明和小芳同时从两地沿一条
42、公路相对走来。小明每分钟走70米，小芳每分钟走65米，经过6分钟两人相遇。两地相距多少米？后一结论对于上述的问题（2）恐怕也是成立的，这就是指，学生在此之所以使用“画图”这样一个方法，主要也是“服从”的结果。问题2：小华和小丽同时从同一地点出发。小华向东走，每分钟走60米；小丽向西走，每分钟走55米，经过3分钟，两人相距多少米？ 更为一般的思考问题（1）：我们如何才能将“先学后教”这样一种教学方式很好地应用于此类内容的教学？特别是，“导学案”在此究竟应当发挥怎样的作用？问题（2）：与当前普遍采用的“小组讨论”、“全班交流”等方法相比较，我们又如何能够通过自己的讲述使学生的认识得到进一步的深化？
43、具体建议就“画图”这一策略的掌握而言，我们不能期望通过由较简单问题向较复杂的问题的过渡，就能自然而然地实现所说的目标；而是应当更加重视如何能够随着学习的开展对学生的注意力作出必要的引导。关键：教学中我们究竟应当如何去处理这样两个问题之间的关系：（1）为什么要“画图”？（2）我们又应如何去“画图” ？相关的认识尽管这是两个不同的问题，但我们又应清楚地看到两者之间的联系，特别是，就只有通过后一个问题的研究，我们才能更为深入地认识“画图”的作用，包括什么时候才真正需要画图。例如，就上述的问题1而言，为了清楚地表明小明和小芳每个人都走了6分钟，画图时是否应当要求学生具体地画出6个相等的间隔（由于是两人
44、相对而行，事实上就需画26个小的间隔）？另外，我们在画图时是否又应特别强调“小明比小芳走得快”这样一个事实，并在图中清楚地加以反映？等等。必要的变化如果问题1中的相遇时间是20分钟或100分钟，我们又应如何去求解，特别是，这时是否仍然需要具体地画出220（或2100）个相等的小间隔？再则，如果小明和小芳的行进速度分别是每分钟90米和65米，这时又应如何去解题，特别是，我们在此又是否需要对原来的图形作出新的改变或调整？等等。 结论这正是教师在这一内容的教学中所应发挥的一个重要作用，即是应当随着学习的开展将学生的注意力由前一问题逐步引向第二个问题，因为，后者事实上即可被看成前者的必要深化与细化。相
45、关的认识：“画图”不用太复杂、精准；只要能够很好地体现题意、特别是问题中的各个主要因素（已知数和未知数，两者之间的等量关系）就可以了。 2. 教学方法、教学模式与教学能力基本认识：相对于教学方法与教学模式的学习与应用，我们应当更加重视自身教学能力的提高。相关的工作：数学教师的“三项基本功”。 例 关于“模式潮”的若干思考一个新的发展趋势：“外面的世界，模式潮汹涌澎湃 。”“现在，教育教学都讲究个模式。有模式，是学校改革成熟的标志，更是教师成名的旗帜。许多人对模式顶礼膜拜，期盼把别人的玫瑰移栽到自己花园里。”（人民教育，2012年第9、12期）应有的思考由教学方法的改革转向教学模式的研究能否被看
46、成真正的进步？我们又应如何去看待所说的“模式潮”，特别是各个在当前最为流行的教学模式？我们并应如何去促进教学模式研究的深入发展？一线教师的困惑“时下，各地课改轰轰烈烈，高效课堂、智慧课堂、卓越课堂、魅力课堂、和美课堂绚丽追风，模式、范式眼花缭乱。一线教师困惑、苦闷，越发感觉自己不会上课。”（何绪铜， “品味全国大赛，悟辨课改方向全国第十一届深化小学数学教学改革观摩交流会侧记”，小学数学教育，2014年第1期）认识的重要进步“的确，没有可以操作的模式，再好的思想、理论都无法实现，但模式不能成为束缚手脚的镣铐 。”“模式！模式！是解放生命还是禁锢生命？”更为深入的分析：聚焦“先学后教”无论是邱学华
47、的“尝试教学”、卢仲衡的“自学辅导教学实验”、段力佩的“读读、议议、练练、讲讲”，顾冷沅的“青埔实验”，李庾南的“自学、议论、引导”教学法，都有这样三个共同点：“一是增加了学生（自主）学习的环节；二是教学以学生的学习为基础（教与学的顺序发生变化）。三是增加了学生议论、讨论的环节。”（余慧娟，人民教育，2011年第13-14期）一些具体的思考我们是否应当特别重视“先学后教”这样一个顺序，并在教学中严格地加以遵循？为了确保“以学为主”，我们又是否应对每一堂课中教师的讲课时间做出硬性规定，即如不能超过10分钟或15分钟等？为了切实强化“学生议论”这样一个环节，对教室中课桌的排列方式我们也应做必要的调
48、整，也即应当由常见的“一行行”变为“之字形”：座位摆在教室中间，教室四周都是黑板，。有益的回顾（1）课堂上学生的座位究竟应当排成传统的一行行，还是一个个小圈？（2） 课堂上的“问题”究竟应当来自学生，还是也可由“教师适当地引导”？结论：相对于课堂教学的各种“显性”成分而言，我们应当更加重视深层次的思考。更为深入的思考以下的说法是否真有道理：“凡是学生能够学会的，教师就不应教？”问题的细化：（1）“学生自主学习（探究）”是否也有共一定的局限性？（2）在强调“学生自主学习”的同时，教师又应如何去发挥作用？另外一些应当深入研究的问题我们应当如何去处理学生“课前学习（研究）”与“努力减轻学生负担”这两
49、者之间的矛盾？要求学生“自主阅读”如何能够防止由“讲灌”变成“书灌”？“导学案”又如何能够防止成为束缚学生思想的桎梏？“尝试教学”是否应当特别强调“尝试与成功”，我们并是否应当对此与“尝试与错误”作出明确的区分？我们又如何才能更好地发挥“学生议论、讨论”的作用？结论与教学方法一样，任何一种教学模式也必定有其一定的适用范围和局限性。我们并应超出具体教学方法与模式的研究，从更为一般的角度去研究数学教学的各个基本问题。相对于模式和方法而言，我们又应更加重视自身教学能力的提高，因为，就只有这样，我们才能创造地应用各种教学模式和方法。插入：数学教师的“三项基本功”（1）善于善于举例； （2）善于善于提问
50、；（3）善于善于比较与优化。相关的工作：“数学教师的三项基本功”，人民教育，2008年第18、19、20期；数学教师的三项基本功，江苏教育出版社，20113. 必要的观念转变（1）相对于单纯强调理论的指导作用而言，应当更加重视理论与实践之间的辩证关系，努力做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”。（2）相对于“实、活、新”这一关于教师教学工作的传统要求而言，我们在当前又应更加强调一个“深”字！建议之一 面对任一新的时髦口号或潮流，我们都应冷静地去思考：什么是这一新的主张或口号的主要内涵？这一主张或口号为我们改进教学提供了哪些新的启示和教益？什么是其固有的局限性或可能的错误？建议之二聚
51、焦数学思维，即是我们应当以数学思维的分析带动具体知识内容的教学，从而帮助学生不仅能够较好地掌握相关的知识与内容，也能逐步学会数学地思维我们并应超出每一堂课的具体设计并从更大的范围进行分析思考，因为，没有一定的“广度”，也就不可能达到更大的“深度”。结语立足专业成长，关注基本问题；坚持独立思考，努力做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”；牢牢抓住数学教学的根本，在“深”字上狠下功夫！一线教师的体会与感想（1）教师的成长不可能被归结为数学方法或教学形式上的简单模仿；但大多数教师事实上都处于这一水平。（2）应当用数学思想的分析带动具体知识内容的教学，从而真正教懂、教活、较深；但大多数情况下我们只是在教知识之后贯上一个名头，说是渗透了什么思想。（3）理论的学习与实践的总结与反思相结合是成长的基本途径；但大多数教师有学习，也有实践，却很少会去总结和反思。
