大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 3月19日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每题7分，共35分）每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设，则的整数部分为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B 【解答】由，知于是，，因此，的整数部分为2注：）2．方程的所有实数根之和为（ ）A． B．3 C．5 D．7【答案】 A 【解答】方程化为经检查是原方程的根∴ 原方程所有实数根之和为13．如图，、、三点均在二次函数的图像上，为线段的中点，，且设、两点的横坐标分别为、（），则的值为（ ）A．3 B． C． D．【答案】 D （第3题）【解答】依题意线段的中点的坐标为由，且，知点坐标为由点在抛物线上，知整顿，得，即结合，得4．如图，在中，，为线段的中点，段内，与交于点若，且，，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】 B 【解答】如图，过作与的延长线交于点。
则由可得，∴（第4题） 又由为中点，得为中点或解：对直线及应用梅涅劳斯定理得，由为线段的中点，知又，因此，结合，，利用勾股定理得，5．如图，为的外接圆的圆心，为外接圆半径，且直线、、分别交的边于、、，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】 C 【解答】由条件及等比定理，得，（第5题）同理，，又，∴ 二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）6．记函数（）的最大值为，最小值为，则的值为 答案】 8 【解答】∵ ，，∴ 时，取最小值，即；时，取最大值，即7．已知二次函数（）的图像与轴交于不一样的两点、， 为二次函数图像的顶点，若是边长为2的等边三角形，则 答案】 【解答】依题意有两个不一样的实根，设为，，则∵ ，，∴ ，即又由，及，知，即∴ ，8．如图，在中，为边上的高，为线段的中点，且若，则内切圆的半径为 答案】 【解答】依题意，易知为中点，又平分，∴ 结合，得第8题）∴ ，∴ ，∴ 内切圆半径为9．若二次函数（）的图像与直线在轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有的值的和为 。
答案】 【解答】依题意，有关的方程，即恰有1个负根或者两个相等的负根有下列三种情形：（1）方程有两个相等的负根则，解得或因此，，符合要求2）方程两根中一根为零，另一根为负数则，解得因此，符合要求3）方程两根中一根为正数，另一根为负数则，解得综合（1）、（2）、（3），得符合条件的的值为，，因此，符合条件的所有的值的和为10．若正整数恰有90个不一样的正因数（含1和自身），且在的正因数中有7个连续整数，则正整数的最小值为 答案】 【解答】∵ 任意连续7个正整数的乘积能被整除，∴ 的正因数中必然有，，，这四个数∴ 正整数具备形式：（，，，为正整数，）由正整数恰有90个正因数，知，其中为正整数而90分解为4个不小于1的正整数的乘积的分解式只有一个：∴ ，∴ 的最小值为，此时有连续正因数1，2，3，4，5，6，7三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．求方程的正整数解解答】方程化为将方程视为的方程，得为完全平方数…………………… 5分∴ 为完全平方数设（为非负整数），则∵ 为质数，∴ ，或…………………… 10分又为非负整数，且。
∴ ，或…………………… 15分∴ （舍去），或将代入方程，得，解得，或∴ 原方程的正整数解为，或…………………… 20分12．如图，在等腰三角形中，，是边的中点，是边上一点，直线、交于点，且求证：（1）；（2）解答】（1）如图，连结由条件知，第12题）∴ …………… 5分∵ ，∴ 又，∴ …………… 10分又由，，知由此可得，，即∵ ，∴ …………… 15分（2）由（1），，知，∴ 又由（1），知结合（1）中，可得…………… 20分13．若存在正整数，（）使得成立，其中，为不超出的最大整数1）求的最小值；（2）当取最小值时，求使成立，且的正整数的个数解答】（1）∵ 对任意正整数，，，，…………………… 5分∴ 对任意正整数，∵ 存在正整数，（）使得成立，∴ 存在正整数，使得于是，， 又时，，∴ 的最小值为12 …………………… 10分（2）时，由知，，，∴ （为非负整数）∴ 当取最小值12时，当且仅当（为非负整数）时，成立 …………………… 15分由知，。
因此，符合条件的正整数有个 …………………… 20分 14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色证明：（1）对任意正数，无论怎样染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段；（2）无论怎样染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；（3）无论怎样染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为的直角三角形？【解答】（1）在平面内任作一个边长为的等边则的三个顶点、、中必有两点同色因此，存在两端点同色，且长为的线段因此，对任意正数，无论怎样染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段…………………………………………… 5分（2）对任意正数，如图，设、同色，且（由（1）知，、存在）以为直径作圆，设为圆的内接正六边形若、、、中存在一点与、同色，不妨设点与、同色，则为直角三角形，其中，，且三顶点同色……………………… 10分若、、、都与、异色，则、、、四点同色.则为直角三角形，其中，，且三顶点同色因此，无论怎样染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形……………… 15分（3）由（2）知，对任意正数，无论怎样染色总存在斜边长为，有一个内角为，且三个顶点同色的直角三角形当初，该三角形面积。
因此，无论怎样染色，平面上总存在三个顶点同色且面积为的直角三角形……………………………………… 20分。