《20222023高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《20222023高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、直线的两点式方程1.1.直线的两点式、截距式方程直线的两点式、截距式方程【思考思考】(1)(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示什么样的直线的方程不能用两点式表示? ?提示提示: :与与x x轴、轴、y y轴平行的直线轴平行的直线,x,x轴轴,y,y轴轴. .(2)(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示什么样的直线的方程不能用截距式表示? ?提示提示: :与与x x轴、轴、y y轴平行或重合及过原点的直线轴平行或重合及过原点的直线. . 2.2.两点的中点坐标公式两点的中点坐标公式点点P(x,y)P(x,y)是线段是线段P P1 1P P2 2的中点的中点, ,其中其中P P1 1(x(x
2、1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),则则x= x= 【思考思考】如果已知点如果已知点P(a,b)P(a,b)是线段是线段P P1 1P P2 2的中点的中点, ,其中其中P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),),那那么点么点P P2 2的坐标是什么的坐标是什么? ?提示提示: :设点设点P P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),由中点坐标公式由中点坐标公式:a= ,:a= ,b= ,b= ,所以所以x x2 2=2a-x=2a-x1 1,y,y2 2=2b-y=2b-y1 1, ,则点则点P P2 2(2a-x(2a-x1 1, ,2b-y2b
3、-y1 1).).【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)过点过点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )的直线都可以用方程的直线都可以用方程 表示表示. .( () )(2)(2)在在x x轴轴,y,y轴上的截距分别为轴上的截距分别为a,ba,b的直线方程为的直线方程为 =1.=1. ( () )(3)(3)任何一条直线都有在任何一条直线都有在x x轴轴,y,y轴上的截距轴上的截距. (. () ) 【提示提示】(1).(1).当当x x1 1=x=x2 2或或y y
4、1 1=y=y2 2时时, ,直线不能用方程直线不能用方程 表示表示. .(2).(2).当当a=0a=0或或b=0b=0时时, ,在在x x轴轴,y,y轴上的截距分别为轴上的截距分别为a,ba,b的的直线不能用方程直线不能用方程 =1=1表示表示. .(3).(3).例如与例如与x x轴平行的直线只有在轴平行的直线只有在y y轴上的截距轴上的截距. .2.2.直线直线 =1=1在在y y轴上的截距是轴上的截距是( () )A.3A.3B.-3B.-3C.4C.4D.-4D.-4【解析解析】选选D.D.直线直线 =1=1即即 =1=1在在y y轴上的截距是轴上的截距是-4.-4.3.3.已知已
5、知A(-5,4),B(3,-2),A(-5,4),B(3,-2),则线段则线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为_._.【解析解析】设线段设线段ABAB的中点为的中点为M,M,其坐标为其坐标为(x,y),(x,y),又因为又因为A(-5,4),B(3,-2),A(-5,4),B(3,-2),则则 即线段即线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为(-1,1).(-1,1).答案答案: :(-1,1)(-1,1)类型一直线的两点式方程类型一直线的两点式方程【典例典例】1.1.经过经过A(-2,3),B(4,-1)A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点式方程的直线的两点式方程为为( () )2.(20
6、192.(2019南京高一检测南京高一检测) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,已已知直线知直线l经过点经过点(-1,0),(1,4),(-1,0),(1,4),则直线则直线l的两点式方程是的两点式方程是_._.3.3.已知在已知在ABCABC中中, ,点点A(-1,0),B(0, ),C(1,-2),A(-1,0),B(0, ),C(1,-2),则则ABAB边中线所在直线的两点式方程为边中线所在直线的两点式方程为_._.【思维思维引引】1.1.判断是否符合直线的两点式方程的形判断是否符合直线的两点式方程的形式式. .2.2.根据直线的两点式方程公式写方程根据直线的两点式
7、方程公式写方程. .3.3.先求出先求出ABAB的中点的中点, ,再写两点式方程再写两点式方程. .【解析解析】1.1.选选D.D.由题意可得直线的两点式方程为由题意可得直线的两点式方程为 2.2.根据两点式方程可得根据两点式方程可得 答案答案: : 3.3.点点A(-1,0),B(0, ),A(-1,0),B(0, ),中点中点D D 所以所以ABAB边中线所在直线的方程为边中线所在直线的方程为 答案答案: : 【内化内化悟悟】直线的两点式方程中直线的两点式方程中, ,分子与分母有什么相同之处分子与分母有什么相同之处? ?提示提示: :方程两侧的分式中方程两侧的分式中, ,分子分母的中间运算
8、符号相分子分母的中间运算符号相同同, ,算式的后一个因式相同算式的后一个因式相同. .【类题类题通通】求直线的两点式方程的策略以及注意点求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)(1)适用条件适用条件: :两点的连线不平行于坐标轴两点的连线不平行于坐标轴, ,若满足若满足, ,则则考虑用两点式求方程考虑用两点式求方程. .(2)(2)差的顺序性差的顺序性: :常会将常会将x,yx,y或数字的顺序错位而导致错或数字的顺序错位而导致错误误. .在记忆和使用两点式方程时在记忆和使用两点式方程时, ,必须注意坐标的对应必须注意坐标的对应关系关系. .提醒提醒: :已知两点坐标已知两点坐标, ,求过这两点
9、的直线方程也可以先求过这两点的直线方程也可以先求斜率求斜率, ,再代入点斜式得到直线的方程再代入点斜式得到直线的方程. . 【习练习练破破】已知已知ABCABC三顶点坐标为三顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),MA(1,2),B(3,6),C(5,2),M为为ABAB的中点的中点,N,N为为ACAC的中点的中点, ,则中位线则中位线MNMN所在直线的两点式方所在直线的两点式方程为程为_._.【解析解析】由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),M(2,4),N(3,2),再由两再由两点式可得直线点式可得直线MNMN的方程为的方程为 答案答案: : 【加练加
10、练固固】(2019(2019成都高一检测成都高一检测) )已知直线已知直线l过点过点(-2,1)(-2,1)与与(2,3),(2,3),则直线的两点式方程为则直线的两点式方程为_._.【解析解析】直线直线l过点过点(-2,1)(-2,1)与与(2,3),(2,3),则直线的两点式方则直线的两点式方程为程为 答案答案: : 类型二直线的截距式方程类型二直线的截距式方程【典例典例】1.(20191.(2019武侯高一检测武侯高一检测) )过点过点P(2,3),P(2,3),并且在并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( () )A.x-y+1=0A.x-
11、y+1=0或或3x-2y=03x-2y=0B.x+y-5=0B.x+y-5=0C.x-y+1=0C.x-y+1=0D.x+y-5=0D.x+y-5=0或或3x-2y=03x-2y=02.2.直线直线l过点过点(1,2)(1,2)和第一、二、四象限和第一、二、四象限, ,若若l的两截距之的两截距之和为和为6,6,求直线求直线l的方程的方程. .【思维思维引引】1.1.分截距等于分截距等于0 0、不等于、不等于0 0两种情况分别两种情况分别求方程求方程. .2.2.利用已知条件设出截距式方程求截距利用已知条件设出截距式方程求截距, ,整理得方程整理得方程. .【解析解析】1.1.选选A.A.过点过
12、点P(2,3),P(2,3),且在两坐标轴上的截距且在两坐标轴上的截距互为相反数互为相反数, ,当横截距当横截距a=0a=0时时, ,纵截距纵截距b=0,b=0,直线过点直线过点P(2,3),(0,0),P(2,3),(0,0),所以直线方程为所以直线方程为 即即3x-2y=0.3x-2y=0.当横当横截距截距a0a0时时, ,纵截距纵截距b=-a,b=-a,直线方程为直线方程为 =1,=1,因为直因为直线过点线过点P(2,3),P(2,3),所以直线方程为所以直线方程为 =1,=1,解得解得a=-1,a=-1,所所以直线方程为以直线方程为-x+y=1,-x+y=1,即即x-y+1=0.x-y
13、+1=0.综上综上, ,所求直线方程所求直线方程为为x-y+1=0x-y+1=0或或3x-2y=0.3x-2y=0.2.2.设直线设直线l的横截距为的横截距为a,a,则纵截距为则纵截距为6-a,6-a,l的方程为的方程为 =1,=1,因为点因为点(1,2)(1,2)在直线在直线l上上, ,所以所以 =1,=1,即即a a2 2-5a+6=0.-5a+6=0.解得解得a a1 1=2,a=2,a2 2=3.=3.当当a=2a=2时时, ,直线的方程为直线的方程为 =1,=1,当当a=3a=3时时, ,直线的方程为直线的方程为 =1,=1,直线直线l都经过都经过第一、二、四象限第一、二、四象限,
14、,符合题意符合题意, ,综上知综上知, ,直线直线l的方程为的方程为 【内化内化悟悟】设直线的截距式方程时需要注意什么问题设直线的截距式方程时需要注意什么问题? ?提示提示: :需要注意直线的截距不能为需要注意直线的截距不能为0,0,如果不能确定如果不能确定, ,则则分情况讨论分情况讨论. .【类题类题通通】直线的截距式方程在解题中的应用直线的截距式方程在解题中的应用(1)(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中题中, ,常设直线的截距式方程常设直线的截距式方程. .(2)(2)当直线与当直线与x x轴、轴、y y轴平行轴平行, ,过原
15、点时不能设截距式方过原点时不能设截距式方程程, ,可以利用点斜式等形式解题可以利用点斜式等形式解题. .【习练习练破破】直线直线l过点过点P(1,3),P(1,3),且与且与x,yx,y轴正半轴围成的三角形的面轴正半轴围成的三角形的面积等于积等于6 6的直线方程是的直线方程是 ( () )A.3x+y-6=0A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0 D.x-3y+8=0C.3x-y=0 D.x-3y+8=0【解析解析】选选A.A.设所求的直线方程为设所求的直线方程为: =1(a0,: =1(a0,b0).b0).因为过点因为过点P(1,3)P(1,3)
16、且与两坐标轴的正半轴所且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于围成的三角形面积等于6,6,所以所以 解得解得a=2, a=2, b=6,b=6,所以直线的截距式方程为所以直线的截距式方程为 =1,=1,故所求的直故所求的直线方程为线方程为:3x+y-6=0.:3x+y-6=0.【加练加练固固】直线直线l经过点经过点A(-3,4),A(-3,4),且在且在y y轴上的截距是在轴上的截距是在x x轴上的截轴上的截距的距的2 2倍倍, ,则直线则直线l的方程是的方程是( () )A.2x+y+2=0A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0B.2x+y+2=0或或4x+3y=04x+3y=0C.x-
17、2y+11=0C.x-2y+11=0D.x-2y+11=0D.x-2y+11=0或或4x-3y=04x-3y=0【解析解析】选选B.B.当直线经过原点时当直线经过原点时, ,直线方程为直线方程为:y=- x,:y=- x,即即4x+3y=0;4x+3y=0;当直线不经过原点时当直线不经过原点时, ,设直线方程为设直线方程为 =1,=1,把点把点A(-3,4)A(-3,4)代入代入, ,得得 =1,=1,解得解得a=-1,a=-1,所以直所以直线方程为线方程为 =1,=1,即即2x+y+2=0.2x+y+2=0.类型三直线方程的简单应用类型三直线方程的简单应用角度角度1 1图象的辨析图象的辨析【
18、典例典例】(2019(2019涪城高一检测涪城高一检测) )两条直线两条直线l1 1: : =1=1和和l2 2: =1: =1在同一直角坐标系中的图象可以是在同一直角坐标系中的图象可以是( () )【思维思维引引】根据图根据图象象中中l1 1, ,l2 2的位置的位置, ,确定截距的关系、确定截距的关系、符号符号, ,判断是否符合判断是否符合. .【解析解析】选选A.A.由截距式方程可得直线由截距式方程可得直线l1 1的横、纵截距分的横、纵截距分别为别为a,-b,a,-b,直线直线l2 2的横、纵截距分别为的横、纵截距分别为b,-a,b,-a,选项选项A,A,由由l1 1的图象可得的图象可得
19、a0,a0,可得直线可得直线l2 2的截距均为正数的截距均为正数, ,故正故正确确; ;选项选项B,B,只有当只有当a=-ba=-b时时, ,才有直线平行才有直线平行, ,故错误故错误; ;选项选项C,C,只有当只有当a=ba=b时时, ,才有直线的纵截距相等才有直线的纵截距相等, ,故错误故错误; ;选项选项D,D,由由l1 1的图象可得的图象可得a0,b0,a0,b0,可得直线可得直线l2 2的横截距为正数的横截距为正数, ,纵截距为负数纵截距为负数, ,图象不对应图象不对应, ,故错误故错误. .【素养素养探探】在利用方程辨析函数的图象时在利用方程辨析函数的图象时, ,常常用到核心素养中
20、的常常用到核心素养中的直观想象直观想象, ,需要根据直线的方程想象图象特征需要根据直线的方程想象图象特征, ,根据图根据图象特征得出直线的方程性质象特征得出直线的方程性质. .若将本例中的条件变为若将本例中的条件变为“直线直线 =1=1的图象如图的图象如图所示所示”, ,则关于截距则关于截距a,ba,b的关系中一定正确的是的关系中一定正确的是_._.|a|b|; (b-a)(b+a)|b|; (b-a)(b+a)0; 【解析解析】由题图可知由题图可知,a0,a0,且且|a|b|,|a|b|,正确正确; ;-ab0,-ab0,所以所以 , ,正确正确;b-a0,b+a0,b+a0,所以所以(b-
21、a)(b+a)0,(b-a)(b+a)0,正确正确; 0 ,; 0 ,错误错误. .答案答案: :角度角度2 2在几何图形中的综合应用在几何图形中的综合应用【典例典例】已知直线已知直线l过点过点P(-2,1).P(-2,1).(1)(1)当直线当直线l与点与点B(-5,4),C(3,2)B(-5,4),C(3,2)的距离相等时的距离相等时, ,求直线求直线l的方程的方程. .(2)(2)当直线当直线l与与x x轴、轴、y y轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为 时时, ,求直线求直线l的方程的方程. .【思维思维引引】(1)(1)首先分析直线与两点距离相等的情况首先分析直线与两点距离相
22、等的情况, ,再分情况求直线方程再分情况求直线方程. .(2)(2)设出截距式方程设出截距式方程, ,利用截距表示出面积、直线过已利用截距表示出面积、直线过已知点列出方程组解题知点列出方程组解题. .【解析解析】(1)(1)当直线当直线lBCBC时时,k,kl=k=kBCBC= = 所以直线所以直线l的方程为的方程为y-1=- (x+2)y-1=- (x+2)化为化为x+4y-2=0.x+4y-2=0.当直线当直线l过线段过线段BCBC的中点时的中点时, ,由线段由线段BCBC的中点为的中点为M(-1,3),M(-1,3),所以直线所以直线l的方程为的方程为y-1= (x+2),y-1= (x
23、+2),化化为为2x-y+5=0.2x-y+5=0.综上可知综上可知: :直线直线l的方程为的方程为x+4y-2=0x+4y-2=0或或2x-y+5=0.2x-y+5=0.(2)(2)设直线设直线l的方程为的方程为 =1.=1.则则 解得解得 所以直线所以直线l的方程为的方程为x+y+1=0x+y+1=0或或x+4y-2=0.x+4y-2=0.【类题类题通通】求直线方程时方程形式的选择技巧求直线方程时方程形式的选择技巧(1)(1)已知一点的坐标已知一点的坐标, ,求过该点的直线方程时求过该点的直线方程时, ,通常选用通常选用点斜式方程点斜式方程. .(2)(2)已知直线的斜率已知直线的斜率,
24、,通常选用点斜式或斜截式通常选用点斜式或斜截式, ,再由其再由其他条件确定一个定点的坐标或在他条件确定一个定点的坐标或在y y轴上的截距轴上的截距. .(3)(3)已知直线在两坐标轴上的截距时已知直线在两坐标轴上的截距时, ,通常选用截距式通常选用截距式方程方程. .(4)(4)已知直线上两点时已知直线上两点时, ,通常选用两点式方程通常选用两点式方程. . 【发散发散拓拓】点点P(a,b)P(a,b)关于直线关于直线y=xy=x的对称点的对称点PP的坐的坐标是什么标是什么? ?关于直线关于直线y=-xy=-x的对称点的对称点PP的呢的呢? ?提示提示: :点点P(a,b)P(a,b)关于直线
25、关于直线y=xy=x的对称点的对称点PP的坐标是的坐标是(b,a);(b,a);关于直线关于直线y=-xy=-x的对称点的对称点PP的坐标为的坐标为(-b,-a).(-b,-a).【延伸延伸练练】已知已知ABCABC的一个顶点是的一个顶点是A(3,-1), A(3,-1), B,CB,C的平分线方程分别为的平分线方程分别为x=0,y=x.x=0,y=x.(1)(1)求直线求直线BCBC的方程的方程. .(2)(2)求直线求直线ABAB的方程的方程. .【解析解析】(1)(1)因为因为B,CB,C的平分线分别是的平分线分别是x=0,y=x,x=0,y=x,所所以以ABAB与与BCBC关于关于x=
26、0x=0对称对称,AC,AC与与BCBC关于关于y=xy=x对称对称.A(3,-1).A(3,-1)关关于于x=0x=0的对称点的对称点A(-3,-1)A(-3,-1)在直线在直线BCBC上上,A,A关于关于y=xy=x的对的对称点称点A(-1,3)A(-1,3)也在直线也在直线BCBC上上. .由两点式由两点式, ,所求直线所求直线BCBC的方程的方程:y=2x+5.:y=2x+5.(2)(2)因为直线因为直线ABAB与直线与直线BCBC关于关于x=0x=0对称对称, ,所以直线所以直线ABAB与与BCBC的斜率互为相反数的斜率互为相反数, ,由由(1)(1)知直线知直线BCBC的斜率为的斜
27、率为2,2,所以直线所以直线ABAB的斜率为的斜率为-2,-2,又因为点又因为点A A的坐标为的坐标为(3,-1),(3,-1),所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y-(-1)=-2(x-3),y-(-1)=-2(x-3),即即2x+y-5=0. 2x+y-5=0. 【习练习练破破】已知已知ABCABC的三个顶点分别为的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).C(-8,0).(1)(1)求边求边ACAC和和ABAB所在直线的方程所在直线的方程. .(2)(2)求求ACAC边上的中线边上的中线BDBD所在直线的方程所在直线的方程. .(3)
28、(3)求求ACAC边上的中垂线的方程边上的中垂线的方程. .【解析解析】(1)(1)由截距式由截距式, ,得边得边ACAC所在直线的方程为所在直线的方程为 =1,=1,即即x-2y+8=0.x-2y+8=0.由两点式由两点式, ,得边得边ABAB所在直线的所在直线的方程为方程为 即即x+y-4=0.x+y-4=0.(2)(2)由题意由题意, ,得点得点D D的坐标为的坐标为(-4,2),(-4,2),由两点式由两点式, ,得得BDBD所在所在直线的方程为直线的方程为 即即2x-y+10=0.2x-y+10=0.(3)(3)由由k kACAC= ,= ,得得ACAC边上的中垂线的斜率为边上的中垂
29、线的斜率为-2.-2.又又ACAC的的中点坐标为中点坐标为(-4,2),(-4,2),由点斜式由点斜式, ,得得ACAC边上的中垂线的方边上的中垂线的方程为程为y-2=-2(x+4),y-2=-2(x+4),即即2x+y+6=0. 2x+y+6=0. 【加练加练固固】已知三角形的顶点坐标是已知三角形的顶点坐标是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试试求这个三角形的三条边所在直线的方程求这个三角形的三条边所在直线的方程. .【解析解析】直线直线ABAB的斜率的斜率k kABAB= = 过点过点A(-5,0),A(-5,0),由点斜式得直线由点斜式得直线ABAB的方程为的方程为y=- (x+5),y=- (x+5),即即3x+8y+15=0;3x+8y+15=0;同理同理,k,kBCBC= k= kACAC= = 直线直线BC,ACBC,AC的方程分的方程分别为别为5x+3y-6=0,2x-5y+10=0.5x+3y-6=0,2x-5y+10=0.
