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1、第一章第一章 函数与极限函数与极限主讲人：张少强主讲人：张少强计算机与信息工程学院计算机与信息工程学院二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节 数列的极限数列的极限数学语言描述数学语言描述:一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为设有半径为 r 的圆的圆 ,逼近圆面积逼近圆面积 S .如图所示如图所示 , 可知可知当当 n 无限增大时无限增大时, 无限逼近无限逼近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术) , 当当 n N 时时,用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积总有总有给定 ，从101项
2、起，都有一般地，不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数N，当nN时，总有不等式（距离要多小的就会有多小，或说：要多近就有多近）（距离要多小的就会有多小，或说：要多近就有多近）（如果 ？ ）定义定义: 自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作记作或或称为称为通项通项(一般项一般项) .若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散 .几何解释几何解释 :即即或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a ,例如例如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散演示演示例例
3、1. 已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1. 证证: 欲使欲使即即只要只要因此因此 , 取取则当则当时时, 就有就有故故例例2. 已知已知证明证明证证:欲使欲使只要只要即即取取则当则当时时, 就有就有故故故也故也可取可取也可由也可由N 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 取取例例3. 设设证明等比数列证明等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即因此因此 , 取取, 则当则当 n N 时时, 就有就有故故的极限为的极限为 0 . 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法用反证法.及及且且取取因因故故存在存在 N1 , 从而从而同
4、理同理, 因因故故存在存在 N2 , 使当使当 n N2 时时, 有有1. 1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一. .使当使当 n N1 时时, 假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时, 故假设不真故假设不真 !满足的不等式满足的不等式例例4. 证明数列证明数列是是发散的发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛 , 则有则有唯一极限唯一极限 a 存在存在 .取取则则存在存在 N ,但因但因交替取值交替取值 1 与与1 , 内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在长
5、度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时 , 有有因此该数列发散因此该数列发散 .2. 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界收敛数列一定有界收敛数列一定有界. .证证: 设设取取则则当当时时, 从而有从而有取取 则有则有由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 . 例如例如,虽虽有界但不收敛有界但不收敛 .有有数列数列3. 3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性收敛数列的保号性收敛数列的保号性. .若若且且时时, 有有证证: 对对 a 0 , 取取推论推论: 若若数列从某项起数列从某项起(用反证法证明用反证法证明)
6、*4. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . .证证: 设数列设数列是是数列数列的的任一子数列任一子数列 .若若则则当当 时时, 有有现取现取正整数正整数 K , 使使于是当于是当时时, 有有从而有从而有由此证明由此证明 *由此性质可知由此性质可知 , 若若数列有两个子数列收敛于不同的极数列有两个子数列收敛于不同的极限限 ,例如，例如， 发散发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .说明说明: 内容小结内容小结1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及定义及应用应用2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限作业作业P30 3 (2) , (3) , 4 ,5， 6
