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1、第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 第三节第三节 定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of I
2、nformation and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 一一. .定积分的概念与性质定积分的概念与性质 二二. .微积分基本公式微积分基本公式 本节主要内容本节主要内容: : 三三. .定积分的积分法定积分的积分法 四四. .反常积分反常积分 Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Infor
3、mation and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 一一. .积分的概念与性质积分的概念与性质( (一一) )定积分问题举例定积分问题举例 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成, 求其面积求其面积A.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and
4、 Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积矩形总面积越接近曲边梯形面积.观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系.Nanjing College of Information and Technolog
5、y Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面矩形面积和与曲边梯形面积的关系积和与曲边梯形面积的关系.播播幻灯片幻灯片75放放Nanjing College of Information and Techno
6、logy Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 解决步骤解决步骤:1)分割分割2)取近似取近似3)求和求和 4)取极限取极限Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information
7、and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 解决步骤解决步骤:1)分割分割 在区间在区间a ,b中任意插入中任意插入 n 1个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成n个小曲边梯形个小曲边梯形;2)取近似取近似 在第在第i个窄曲边梯形上任取个窄曲边梯形上任取作以作以为底为底,为高的小矩形为高的小矩形, 并以此小并以此小梯形面积近似代替
8、相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积得得Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 3)求和求和4)取极限取极限令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积Nanjing College
9、of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程解决步骤解决步骤:1)分割分割 2)取近似取近似 3)求和求和4)取极限取极限设某物体作直线运动设某物体作直线运动,上连续上连续,的路程的路
10、程s .已知速度已知速度在在求在运动时间求在运动时间内物体所经过内物体所经过Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 解决步骤解决步骤:1)分割分割将它分成将它分成在每个小段上物体经在每个小
11、段上物体经2)近似近似得得n个小段个小段过的路程为过的路程为2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,上连续上连续,的路程的路程s .已知速度已知速度在在求在运动时间求在运动时间内物体所经过内物体所经过Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technolo
12、gy 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 3)求和求和4)取极限取极限Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 上述两个问题的共性上述两个问题
13、的共性:解决问题的方法步骤相同解决问题的方法步骤相同:“分割分割,近似近似,求和求和,取极限取极限”所求量极限结构式相同所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节
14、 定积分及其计算定积分及其计算 ( (二二) ) 定积分的概念定积分的概念定义定义5.1.1设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上有定义上有定义,分割分割:任取分点任取分点把区间把区间a,b分割成分割成n个小区间个小区间xi-1,xi,第第i个小区间的长度为个小区间的长度为，记，记近似近似:在每个小区间在每个小区间xi-1,xi上任取一点上任取一点 i(i=1,2n)求和：求和：作和式作和式Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing Co
15、llege of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 取极限：取极限：当当0时时,若极限若极限存在存在(这这个极限值与区间个极限值与区间a,b的分法及点的分法及点 i的取法无关的取法无关)，则称函数则称函数f(x)在在a,b上可积上可积,并称这个极限为函数并称这个极限为函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，记作上的定积分，记作,即即Nanjing College of Information and
16、 Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和Nanjing College of Information and Technology Nanjing Colleg
17、e of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 1.闭区间上的连续函数是可积的闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的限个间断点的有界函数也是可积的2.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间和积分区间a,b，而
18、与积分变量使用的字母的选取，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有无关，即有3.在定积分的定义中在定积分的定义中,有有aa，若极限，若极限存在存在,则称此极限为函则称此极限为函数数f (x)在在a,+ )上的广义积分上的广义积分,记作记作，即即此时也称广义积分此时也称广义积分收敛收敛;如果上述极限如果上述极限不存在不存在,就称就称发散发散.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Te
19、chnology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 类似可定义类似可定义:只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在,就称就称发散发散.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Infor
20、mation and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 引入记号引入记号则有类似则有类似N L 公式的计算表达式公式的计算表达式:Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积
21、分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例30求求例例31讨论讨论的敛散性的敛散性.例例32求求例例33求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例30求求Nanjin
22、g College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例31讨论讨论的敛散性的敛散性.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College o
23、f Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例32求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Tech
24、nology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例33求求Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积
25、分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 ( (二二) ) 无界函数的广义积分无界函数的广义积分瑕积分瑕积分定义定义5.1.3设函数设函数f (x)在区间在区间(a,b上连续且上连续且.取取Aa,如果极限如果极限存在存在,则称此极限为函则称此极限为函数数f (x)在在(a,b上的广义积分上的广义积分,记作记作即即此时也称广义积分此时也称广义积分收敛收敛,否则就称广义积分否则就称广义积分发散发散.A 称为称为瑕点瑕点.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Tec
26、hnology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 类似可定义类似可定义:（1）x=b 为为f(x)的无穷间断点时的无穷间断点时:（2）无穷间断点）无穷间断点x=c位于区间位于区间(a,b)内内:Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Techn
27、ology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 若瑕点若瑕点的计算表达式的计算表达式:则也有类似牛则也有类似牛莱公式的莱公式的若若b为瑕点为瑕点,则则若若a为瑕点为瑕点,则则若若a,b都为瑕点都为瑕点,则则则则当上式右边两个广义积分都收敛当上式右边两个广义积分都收敛,称广义积分收敛称广义积分收敛.Nanjing College of Information and
28、Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例34求求所以广义积分发散所以广义积分发散.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Techn
29、ology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 例例35讨论讨论的敛散性的敛散性.Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanji
30、ng College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 内容小结内容小结:1.1.定积分的概念与性质定积分的概念与性质 2.2.微积分基本公式微积分基本公式 3.3.定积分的积分法定积分的积分法 4.4.反常积分反常积分 8 8个性质个性质 积分上限函数积分上限函数Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of I
31、nformation and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系3Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Informat
32、ion and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系13Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information an
33、d Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系23Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Tech
34、nology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology
35、 Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系43Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanji
36、ng College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系53Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing Col
37、lege of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系63Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College o
38、f Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系73Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Info
39、rmation and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系83Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Informatio
40、n and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系93Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and
41、Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系103Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Techn
42、ology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系113Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology
43、 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系123Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第
44、五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系133Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology Nanjing College of Information and Technology 第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用第一节第一节 定积分及其计算定积分及其计算 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系143
