平面问题的极坐标解答学习教案

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1、会计学1平面问题平面问题(wnt)的极坐标解答的极坐标解答第一页，共112页。第六节第六节 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力(yl)(yl)第八节第八节 圆孔的孔口应力圆孔的孔口应力(yngl)(yngl)集中集中第九节第九节 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力第十节第十节 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力例题例题第七节第七节 压力隧洞压力隧洞第1页/共111页第二页，共112页。区别:直角坐标(zh jio zu bio)中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有

2、不同的方向;相同(xin tn):两者都是正交坐标系。 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(x,y)(zh jio zu bio)(x,y)与极坐与极坐标标 比较：比较：第2页/共111页第三页，共112页。 坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引起弹性力学(l xu)基本方程的区别。 对于(duy)圆形，弧形，扇形及由径向线和环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单，使边界条件简化。应用(yngyng)第3页/共111页第四页，共112页。41 极坐标中的平衡(pnghng)微分方程 在A内任一点（ ， ）取出一个微分(wi fn)

3、体，考虑其平衡条件。微分体-由夹角(ji jio)为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成。第4页/共111页第五页，共112页。第5页/共111页第六页，共112页。两 面不平行(pngxng)，夹角为 ；两 面面积不等，分别为 ， 。 从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。注意(zh y)：第6页/共111页第七页，共112页。平衡条件：平衡条件：平衡条件考虑(kol)通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件:注意(zh y)： -通过形心C的力矩(l j)为0，当 考虑到二阶微量时，得第7页/共111页第八页，共112页。-通过(tnggu)形心C的 向合力

4、为0，整理，略去(l q)三阶微量，得第8页/共111页第九页，共112页。同理，由 通过(tnggu)形心C的 向合力为0可得：极坐标下的平衡(pnghng)微分方程：第9页/共111页第十页，共112页。 几何方程-表示微分线段上形变(xngbin)和位移之间的几何关系式 。42 几何(j h)方程及物理方程 极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得，也可以采用(ciyng)坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系，有第10页/共111页第十一页，共112页。注意(zh y)：可求得根据张量的坐标(zubio)变换公式第11页/共111页第十二页，共1

5、12页。对平面(pngmin)问题：第12页/共111页第十三页，共112页。几何(j h)方程由此可得比较(bjio)可知第13页/共111页第十四页，共112页。 极坐标中的物理极坐标中的物理(wl)方方程程 直角坐标中的物理(wl)方程是代数方程，且 x 与 y 为正交， 故物理方程形式(xngsh)相似。物理方程 极坐标中的物理方程也是代数方程,且与 为正交，第14页/共111页第十五页，共112页。 平面应力问题的物理(wl)方程：物理(wl)方程 对于(duy)平面应变问题，只须作如下同样变换，第15页/共111页第十六页，共112页。 边界条件-应用(yngyng)极坐标时，弹性

6、体的边界面通常均为坐标面，即：边界条件故边界条件形式(xngsh)简单。第16页/共111页第十七页，共112页。平面平面(pngmin)应力问题在极坐标下的应力问题在极坐标下的基本方程基本方程物理(wl)方程第17页/共111页第十八页，共112页。物理(wl)方程对于平面(pngmin)应变问题，只须将物理方程作如下的变换即可。第18页/共111页第十九页，共112页。 以下建立直角坐标系与极坐标系的变换(binhun)关系，用于：43 极坐标中的应力函数(hnsh) 与相容方程 1、 物理量的转换(zhunhun); 2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。第19页/共111页第

7、二十页，共112页。函数函数(hnsh)的变换：将式的变换：将式 或或 代入，代入，坐标坐标(zubio)变量的变换：变量的变换：反之(fnzh) 1. 1.从直角坐标系到极坐标系的变换从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变换第20页/共111页第二十一页，共112页。或矢量的变换矢量的变换(binhun)：位移位移坐标(zubio)变换第21页/共111页第二十二页，共112页。将对 的导数(do sh)，变换为对 的导数(do sh)： 可看成是 ，而 又是 的函数(hnsh)，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数(hnsh)。有:坐标(zubio)变换导数导数的变换：第22页/共111页第二

8、十三页，共112页。而代入，即得一阶导数的变换(binhun)公式,一阶导数(do sh) ，。第23页/共111页第二十四页，共112页。 展开(zhn ki)即得： 二阶导数的变换(binhun)公式，可以从式(e) 导出。例如二阶导数(do sh)第24页/共111页第二十五页，共112页。拉普拉斯算子拉普拉斯算子(sun z)的变换：由式的变换：由式（f）得）得二阶导数(do sh)第25页/共111页第二十六页，共112页。3.3.极坐标中应力极坐标中应力(yngl)(yngl)用应力用应力(yngl)(yngl)函函数数 表示表示可考虑几种(j zhn)导出方法：2.2.极坐标中的

9、相容极坐标中的相容(xin rn)(xin rn)方程方程 从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。相容方程应力公式第26页/共111页第二十七页，共112页。(2) 应用(yngyng)特殊关系式，即当x轴转动到与 轴重合时，有:(3) 应用应力(yngl)变换公式（下节）应力(yngl)公式第27页/共111页第二十八页，共112页。(4) 应用(yngyng)应力变换公式（下节），而代入式 ( f ) ，得出(d ch) 的公式。比较两式的 的系数(xsh)，便得出 的公式。应力公式第28页/共111页第二十九页，共112页。当不计体力时应力用应力函数表示(biosh)的公式

10、应力(yngl)公式第29页/共111页第三十页，共112页。4.4.极坐标系中按应力函数极坐标系中按应力函数(hnsh) (hnsh) 求解，应求解，应满足：满足：(1) A (1) A 内相容内相容(xin rn)(xin rn)方程方程 (2) 上的应力(yngl)边界条件（设全部为应 力边界条件）。(3)(3) 多连体中的位移单值条件。 按 求解第30页/共111页第三十一页，共112页。 应力分量不仅(bjn)具有方向性，还与其作用面有关。应力分量的坐标变换(binhun)关系：44 应力分量的坐标(zubio)变换式1、已知 ，求 。第31页/共111页第三十二页，共112页。（含

11、 ）的三角形微分(wi fn)体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件。取出一个(y )包含x、y面(含 )和 面第32页/共111页第三十三页，共112页。得同理，由得第33页/共111页第三十四页，共112页。 类似地取出包含(bohn)x 面,y 面和 面的三角形微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件，得第34页/共111页第三十五页，共112页。 应用相似的方法(fngf)，可得到2、已知 ，求第35页/共111页第三十六页，共112页。3、可以用前面得到的求一点应力(yngl)状态的公式推出。 4、也可以用应力坐标变换(binhun)公式得到 第36页/共111页第三十七页，共11

12、2页。 轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何(rnh)面均为对称面。轴对称应力轴对称应力(yngl)问题：问题：45 轴对称应力和相应(xingyng)的位移轴对称应力问题应力数值轴对称应力数值轴对称- - 仅为仅为 的函数，的函数，应力方向轴对称应力方向轴对称- 第37页/共111页第三十八页，共112页。展开(zhn ki)并两边同乘 得： 相应(xingyng)的应力函数 ，所以 应力公式为：（1 1）相容）相容(xin rn)(xin rn)方程方程第38页/共111页第三十九页，共112页。的通解(tngji) 这是一个典型的欧拉方程，引入变量 ，则 。则原方程变为第39页/共111

13、页第四十页，共112页。 此方程解的形式为解的形式为代入整理得特征方程为代入整理得特征方程为 由此可得应力函数的通解为 （4-10）第40页/共111页第四十一页，共112页。 (2) 应力(yngl)通解：（4-11）第41页/共111页第四十二页，共112页。 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分， 应变通解：将应力代入物理方程，得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。(4)(4)求对应的位移：第42页/共111页第四十三页，共112页。分开(fn ki)变量，两边均应等于同一常量F,将 代入第三(d sn)式，第43页/共111页第四十四页，共112页。由两个(lin )常微分

14、方程，第44页/共111页第四十五页，共112页。其中(qzhng)代入 ，得轴对称应力对应(duyng)的位移通解，I，K为x、y向的刚体(gngt)平移，H 为绕o点的刚体(gngt)转动角度。位移通解（4-12）第45页/共111页第四十六页，共112页。说明说明(shumng)（2）在轴对称应力(yngl)条件下，形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。（3）实现轴对称应力(yngl)的条件是，物体形状、 体力和面力应为轴对称。（1）在轴对称应力条件下，(4-10、11、12),为应力函数、应力和位移的通解，适用于任何轴对称应力问题。说明说明第46页/共111页第四十七页，共112页。

15、(4) 轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程，它们还必须满足边界条件(tiojin)及多连体中的位移单值条件(tiojin)，并由此求出其系数A、B及C。说明说明(shumng)(5) 轴对称应力及位移(wiy)的通解，可以用于求解应力或位移(wiy)边界条件下的任何轴对称问题。(6) 对于平面应变问题，只须将 换为第47页/共111页第四十八页，共112页。 圆环(平面(pngmin)应力问题)和圆筒(平面(pngmin)应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。 46 圆环或圆筒受均布压力(yl)问题(wnt)第48页/共111页第四十九页，共112

16、页。问题(wnt)第49页/共111页第五十页，共112页。边界条件是边界条件第50页/共111页第五十一页，共112页。 考察(koch)多连体中的位移单值条件： 圆环或圆筒，是有两个连续(linx)边界的多连体。而在位移解答中， 式(b)中的 条件是自然满足(mnz)的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。 单值条件第51页/共111页第五十二页，共112页。是一个多值函数：对于 和 是同一点(y din)，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点(y din)的位移只能为单值，因此 B = 0。单值条件(tiojin)第52页/共111页第五十三页，共112页。由B=0 和边界

17、条件 (b) ，便可得出(d ch)拉梅解答，单值条件(tiojin) (4-13) 第53页/共111页第五十四页，共112页。解答(jid)的应用：（1）只有(zhyu)内压力（2）只有(zhyu)内压力 且 ，成为 具有圆孔的无限大薄板（弹性体）。 （3）只有外压力单值条件第54页/共111页第五十五页，共112页。 单值条件单值条件(tiojin)的说明：的说明：（1）多连体中的位移单值条件(tiojin)，实质上就 是物体的连续性条件(tiojin)（即位移连续性 条件(tiojin)）。（2）在连续体中，应力、形变(xngbin)和位移都 应为单值。单值条件 按位移求解时：取位移为

18、单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。第55页/共111页第五十六页，共112页。 按应力求解(qi ji)时：取应力为单值，求形变（物理方程）也为单值，求位移（由几何方程积分），常常会出现多值项。 所以(suy)，按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。单值条件(tiojin) 对于单连体，通过校核边界条件等，位移单值条件往往已自然满足； 对于多连体，应校核位移单值条件，并使之满足。第56页/共111页第五十七页，共112页。47 压力(yl)隧洞 本题是两个(lin )圆筒的接触问题，两个(lin )均为轴对称问题（平面应变问题）。1.1.压力压力(yl)(

19、yl)隧洞隧洞-圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力受有均布内压力(yl)(yl)。圆筒和无限大弹性体。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为的弹性常数分别为压力隧洞第57页/共111页第五十八页，共112页。 因为(yn wi)不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：圆筒无限大弹性体压力(yl)隧洞第58页/共111页第五十九页，共112页。应考虑(kol)的条件：（1）位移(wiy)单值条件：（2）圆筒内边界条件：（3）无限远处(yun ch)条件，由圣维南原理,压力隧洞第59页/共111页第六十页，共112页。由（1）（4）条件(tiojin)，解出解答（书中

20、式（4 -16）。（4） 的接触(jich)条件，当变形后两弹性体 保持连续时，有压力(yl)隧洞第60页/共111页第六十一页，共112页。2.2.一般一般(ybn)(ybn)的接触问题。的接触问题。 (1) 完全接触：变形后两弹性体在s上仍然(rngrn)保持连续。这时的接触条件为：在s上 当两个弹性体 ，变形前在s上互相接触(jich)，变形后的接触(jich)条件可分为几种情况：接触问题第61页/共111页第六十二页，共112页。 (2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生(chnshng)有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为 其中(qzhng)C为凝聚力。接

21、触(jich)问题第62页/共111页第六十三页，共112页。 (4) 局部(jb)脱离：变形后某一部分边界上两弹性体脱开，则原接触面成了自由面。在此部分脱开的边界上，有 (3) 光滑接触：变形后法向保持连续(linx)，但切向产生无摩阻力的光滑移动，则在s上的接触条件为 接触(jich)问题第63页/共111页第六十四页，共112页。 在工程上，有许多接触问题的实际例子。如机械中轴与轴承的接触，基础结构与地基(dj)的接触，坝体分缝处的接触等等。一般在接触边界的各部分，常常有不同的接触条件，难以用理论解表示。我们可以应用有限单元法进行仔细和深入的分析。接触(jich)问题第64页/共111页

22、第六十五页，共112页。3. 有限有限(yuxin)值值条件条件图（a） 设图（a）中半径为r的圆盘受法向均布压力q作用(zuyng)，试求其解答。有限(yuxin)值条件第65页/共111页第六十六页，共112页。 引 用 轴 对 称 问 题 的 解 答 ， 并 考 虑 边 界 上的条件，上述问题还是难以得出(d ch)解答。这时，我们可以考虑所谓有限值条件，即除了应力集中点外，弹性体上的应力应为有限值。而书中式(4-11)的应力表达式中，当 时， 和 中的第一、二项均趋于无限大，这是不可能的。按照有限值条件， 当 时，必须有A=B=0。有限(yuxin)值条件第66页/共111页第六十七页

23、，共112页。 在弹性力学问题中，我们是在区域内和边界上分别(fnbi)考虑静力条件、几何条件和物理条件后，建立基本方程及其边界条件来进行求解的。一般地说，单值条件和有限值条件也是应该满足的，但是这些条件常常是自然满足的。而在下列的情形下须要进行校核： (1)按应力(yngl)求解时，多连体中的位移单值条件。有限(yuxin)值条件第67页/共111页第六十八页，共112页。 在弹性力学的复变函数解法中，首先排除不符合(fh)单值条件和有限值条件的复变函数，从而缩小求解函数的范围，然后再根据其他条件进行求解。 (2)无应力(yngl)集中现象时， 和 ，或 处的应力(yngl)的有限值条件(因

24、为正、负幂函数在这些点会成为无限大)。有限(yuxin)值条件第68页/共111页第六十九页，共112页。 工程结构中常(zhngchng)开设孔口最简单的为圆孔。 本节研究小孔口问题(wnt)，应符合（1 1）孔口）孔口(kn ku)(kn ku)尺寸弹性体尺寸，尺寸弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内。48 圆孔的孔口应力集中小孔口问题第69页/共111页第七十页，共112页。（2 2）孔边距边界）孔边距边界(binji)(binji)较远（较远（1.51.5倍倍孔口尺寸）孔口尺寸）孔口与边界不相互(xingh)干扰。 当弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中(jzhng)现象

25、。小孔口问题第70页/共111页第七十一页，共112页。1.带小圆孔的矩形(jxng)板，四边受均布拉力q， 图(a)。双向受拉第71页/共111页第七十二页，共112页。内边界条件为，将外边界(binji)改造成为圆边界(binji)，作则有利用(lyng)圆环的轴对称解答，取且Rr，得应力(yngl)解答：双向受拉（4-17）第72页/共111页第七十三页，共112页。2. 带小圆孔的矩形(jxng)板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。所以应力(yngl)集中系数为2。内边界条件为最大应力(yngl)发生在孔边，作 圆，求出外边界条件为双向受拉压第73页/共111页第七十四页，共11

26、2页。 应用半逆解法求解(qi ji)（非轴对称问题）:由边界条件， 假设(jish)代入相容(xin rn)方程，由 关系，假设 ，所以设双向受拉压第74页/共111页第七十五页，共112页。除去 ，为典型欧拉方程，通过与前面45相同的处理(chl)方式，可以得解然后(rnhu)代回式（d),即可求出应力。双向受拉压第75页/共111页第七十六页，共112页。校核边界条件 (b) , (c) ，求出 A, B, C, D，得应力(yngl)解答：在孔边 ， ，最大、最小应力为 ，应力集中(jzhng)系数为 。双向受拉压（4-18）第76页/共111页第七十七页，共112页。3.带小圆孔的矩

27、形(jxng)板，只受x向均布拉力q。单向(dn xin)受拉第77页/共111页第七十八页，共112页。应用图示叠加原理(yunl)（此时令 ）得应力解答:单向(dn xin)受拉（4-19）第78页/共111页第七十九页，共112页。 讨论讨论(toln)：（1）孔边应力(yngl)， 最大应力(yngl) 3q ，最小应力(yngl)-q。单向受拉第79页/共111页第八十页，共112页。（2) y轴 上应力(yngl)，可见，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力(yngl)扰动5%。单向(dn xin)受拉第80页/共111页第八十一页，共112页。（3） x 轴 上应力(yngl)

28、，同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力(yngl)扰动远处的应力，孔口附近(fjn)应力无孔时的应力。（2）局部性局部性-应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般 。第105页/共111页第一百零六页，共112页。410 半平面(pngmin)体在边界 上受分布力当半平面体表面有分布荷载(hzi) 作用 时，其应力和位移解答(jid)可从集中力的解答(jid)得出。第106页/共111页第一百零七页，共112页。F（原集中力）代之为微分(wi fn)集中力 （ 作用点为 ）。x（原表示F作用点到M 的铅直(qinzh)距离）仍为x;y（原表示(bi

29、osh)F作用点到M 的水平距离） 应代之为 应力 （式（4-24）的推广：然后对 积分，从 。第107页/共111页第一百零八页，共112页。 （原M点到F作用点的水平(shupng)距离） 代之为s（原B点到F作用点的水平(shupng)距离） 代之为然后(rnhu)对 积分，从 相对沉陷解答 的推广：F （原集中力） 代之为第108页/共111页第一百零九页，共112页。半平面(pngmin)体在边界上受有均布单位力作用第109页/共111页第一百一十页，共112页。书中用上述方法，导出了基础梁计算中的公式(gngsh)。如点K在均布力之外，则沉陷为若基点(jdin)B取得很远 ，有 其中(qzhng)：第110页/共111页第一百一十一页，共112页。内容(nirng)总结会计学。区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有。几何方程-表示(biosh)微分线段上形变和位移之间的几何关系式。（2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称。且Rr，得应力解答：。它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别。力场)作用下，椭圆类孔口、矩形类孔口和廊道。为基点 ,s。时，其应力和位移解答可从集中力的解答得出。F（原集中力）代之为微分集中力。x（原表示(biosh)F作用点到M 的铅直距离）仍为x。其中：第一百一十二页，共112页。