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1、aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 为这个区为这个区间内的间内的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0,那么函数那么函数y=f(x) 为这个区为这个区间内的间内的减函数减函数.函数函数 f (x)在区间在区间(a, b)内：内：f(x)在在(a, b)内单调递内单调递减减f(x)在在(a, b)内单调递内单调递增增例：已知函数例：已知函数 f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7，求，求f( (x) )的单调区的单调区间间, ,并画出其图象并画出其图象; ;探究：探究：解：解：令令 ，解得，解得
2、或或 ，当当 时，时， 是增函数；是增函数；因此，因此，当当 时，时， 是增函数；是增函数；再令再令 ，解得，解得 ，当当 时，时， 是减函数；是减函数；因此，因此，探究：探究：观察图象，回答下面问题：观察图象，回答下面问题：问题问题1：在点在点x=0附近的图象附近的图象有什么特点？有什么特点？问题问题2：函数在函数在x=0处的函数处的函数值和附近函数值之间有什么值和附近函数值之间有什么关系？关系？问题问题3：在点在点x=0附近的导数附近的导数符号有何变化规律？符号有何变化规律？问题问题4：函数在函数在x=0处的导数处的导数是多少？是多少？x=0x0单调递增单调递增f (x)0单调递减单调递减
3、f (x)2x2x0f (x) =0 f (x) 0极大值极大值f (x) 0左正右负为左正右负为极大极大左负右正为左负右正为极小极小极极大大值与极值与极小值的小值的概念：概念：思考：观察图思考：观察图1.3.10，回答以下问题：，回答以下问题：问题问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？为极大值点，哪些点为极小值点？问题问题2：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？问题问题3：函数在其定义域内的极大值和极小函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？值具有唯一性吗？问题问题4：区间的端点能成为极值点吗？区间的端点能成为极值
4、点吗？(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念, ,反映了函数在某一点附反映了函数在某一点附近的大小情况近的大小情况; ;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值; ;(3)(3)函数的极大函数的极大( (小小) )值可能不止一个值可能不止一个, ,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值; ;【关于极值概念的几点说明关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，函数的极值点一定在区间的内部，区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点。例例1.（1）下图是）下图是函数函数f(x)的图象的图象,试找出函数的
5、极值试找出函数的极值点点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？哪些是极小值点？（2 2）如果把函数图象改为）如果把函数图象改为导函数导函数的图象，哪些是的图象，哪些是极大值点极大值点, ,哪些是极小值点哪些是极小值点? ?y=f （x）例题讲解例题讲解例例2 2、求函数求函数 的极值的极值 例题讲解例题讲解解：解：当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：+00+极大值极大值y2(-2,2)-2x极小值极小值令令 ，解得，解得当当 时，时，y有极大值，并且有极大值，并且当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且由表格写出函由表格写出函数的单调区间数的单
6、调区间函数图像-2oxy2+-+f(x)= x3-4x+4求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右左正右负，则f(x)为极大极大值； 若若 f (x)左左负右正，右正，则f(x)为极
7、小极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:解解: 解得解得 列表列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .x yOf (x)=3x2虽然f (0)=0，但x=0不是该函数的极值点.f (x0) =0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 注意：注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得
8、极值的必要不充分条件思考：思考：导数为导数为0 0的点一定是极值点吗？的点一定是极值点吗？例例3 3、求函数求函数 的极值的极值 解：解：令令 ，解得，解得当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：无极值无极值极小值极小值0无极值无极值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1x当当 时，时，y有极小值，并且有极小值，并且导函数的正负是交替出现的吗？不是不是例题讲解例题讲解 函数函数 在在 时有极有极值1010，则a，b的的值为（ ）A A、 或或 B B、 或或C C、 D D、 以上都不对以上都不对 C，解解:由由题设条件得：条件得：解之得解之得通通过验证，都合要求，故，
9、都合要求，故应选择A。 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 1.练一练：练一练：2.(2.(2006年年北京卷北京卷) )已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）, 求：求：（1） 的值；（的值；（2）a,b,c的值；的值；.略解：略解：(1)由图像可知：由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用注意：数形结合以及函数与方程思想的应用3.函数函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又既有极大值，又有极小值，则有极小值，则a的取值范围为的取值范围为 .o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x)f (x) 0f (x) =0 f (x) 0极大值极大值f (x) 0左正右负为极大左正右负为极大，左负右正为，左负右正为极小极小（1）极大值极小值的概念）极大值极小值的概念（2）如何求函数的极值）如何求函数的极值求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值
