圆锥曲线简介

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1、圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线(英语:conicsection),又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线,是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括圆,椭圆,抛物线,双曲线及一些退化类型。圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了,其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯,那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(离心率e)的点的集合是圆锥曲线。对于0e1得到双曲线。圆锥曲线的类型圆锥曲线方程离心率()半焦距()半正焦弦(I)焦

2、点准线距离(p)椭圆/(72-0G抛物线:.厂11-,1.2a双曲线-202/a2+/a3+62圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线椭圆,圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。抛物线:截面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。几何性质椭圆(椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。抛物线(抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。双

3、曲线(双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长(2a)。离心率有固定焦点和准线的椭圆/抛物线和双曲线。对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是,这里的八是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是宀。在圆的情况下,e=0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。对于一个给定的H,越接近于1,半短轴就越小。笛卡尔坐标在笛卡尔坐标系内,二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线,并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式-心门有

4、着参数,打和不得皆等于);如果门,方程表示椭圆(除非圆锥曲线退化了,例如t2+y2+10=0如果且打门且庁*W,方程表示圆;如果打门,方程表示抛物线;如果fFLC,方程表示双曲线;如果还有L,方程表示直角双曲线。注意这里的和就是多项式系数,不是前面定义的半长/短轴的长度。通过坐标变换这些方程可以变为标准形式:双曲线椭圆抛物线i:mH、lJ或acoshu,bsinhu标准方程-C.-一?参数方程讨iIL.N.I.r-.ilJ门i:i讥t2,;.;极坐标编辑椭圆的半正焦弦圆锥曲线的半正焦弦(semi-latusrectum)通常指示为l,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于

5、主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴a,和半短轴b通过公式山或或小-o在极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程-.(i:,或者,;亍11,如上,对于e=0得到一个圆,对于0e1得到双曲线。齐次坐标编辑在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:42孑+33,+2ixy+2B醪壬+=0或表示为矩阵:BiBi民矩阵A=det(M)=Bi去B,叫做圆锥曲线的行列式。如果A=0则这个圆叫做“圆锥曲线矩阵”。锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。例如,圆锥曲线退化为两相交直线:工2-=0=(x+y)(x-

6、y)=0=t+y=0ut-y=0。类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条):工?+2與/+护=0=(T+y)2=0=x+y=0UT+y=0=x+y=0被称为圆锥曲线的判别式。如果8=0则圆锥曲线是抛物线,如果80则是椭圆。如果80且A1=A2,圆锥曲线是圆;如果81的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是(1,i,O)和(1,-i,O),则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。

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